二步冪零Leibniz代數的自同構

扈全瑜，任 斌

（蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州215009）

二步冪零Leibniz代數的自同構

扈全瑜，任 斌*

（蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州215009）

主要研究有限維二步冪零Leibniz代數N的自同構，運用矩陣表述的方式，得到了N2的維數等于1時，N自同構的充要條件，并給出了某些低維二步冪零Leibniz代數自同構群的分解。

冪零Leibniz代數；基；自同構

Leibniz代數是李代數的推廣，最早是由Bloch在文獻[1]中考慮，當時被稱為D-代數。1992年，Loday在文獻[2]中研究類似于李代數同調的Leibniz代數同調時，提出了這個概念。近年來，對Leibniz代數的研究越來越多，其中包括Leibniz代數的分類[3-5]和自同構[6-8]問題。文中主要研究的是冪零Leibniz代數中的二步冪零Leibniz代數N，在已有分類的基礎上，通過矩陣表述的方式得到了N2的維數等于1時，N自同構的充要條件，并給出了某些低維二步冪零Leibniz代數自同構群的分解。

文中所討論的都是復數域上的有限維冪零Leibniz代數。

1 基本概念

定義1[7]設N是一個線性空間，若定義的雙線性映射[，]：N×N→N滿足Leibniz等式

則稱N是一個Leibniz代數。

定義2[9]設N是一個Leibniz代數，則N的理想序列{Ns}滿足

其中：N1=N，Ni+1=[Ni，N]，i=1,2，3，…。 如果存在正整數 s＞1 使得 Ns=0，則稱 N 是冪零的；若 N3=[N2，N]=0，其中N2≠0，則稱N是二步冪零的。

定義3[10]設φ為Leibniz代數N的一個可逆線性變換，且滿足

則稱φ為N的自同構，N的全體自同構組成的自同構群，記作Aut（N）。

2 主要結果

這里主要討論了二步冪零Leibniz代數自同構的充要條件，并利用該結果確定了一些三維二步冪零Leibniz代數的自同構群及群的分解。

2.1 自同構定理

引理 1 設N是Leibniz代數，{e1，e2，…，en}為N的一組基，φ是N的一個可逆線性變換，則φ是自同構當且僅當 φ[ei，ej]=[φ（ei），φ（ej）]，1≤i，j≤n。

證明 必要性顯然成立。下面僅證充分性，

設N是一個n維的二步冪零Leibniz代數，且dimN2=1，取N2的一組基{en}，將en擴充得到N的一組基{e1，e2，…，en}，則有矩陣 D＝（Dij），使得

這里In表示n級單位矩陣。

令φ是N上的一個線性變換，則有矩陣A=（aij），使得

定理1 設N是一個n維的二步冪零Leibniz代數，dimN2=1，若φ是N的一個可逆線性變換，則φ是自同構的充要條件是可逆矩陣A滿足：

（1）ain=0，i＝1，2，…，n-1；

（2）ATDA＝annD。

這里A，D如上，AT是矩陣A的轉置。

證明 必要性 由于φ是自同構，所以φ（en）∈N2，從而

并有

因為[ei，ej]=Dijen，于是

于是，有

充分性 由必要性的證明過程，易證（1）式，即

由引理1知，φ是N的一個自同構，證畢。

2.2 自同構群的分解

定理2[11]在同構意義下，不可分解的三維冪零Leibniz代數有以下四種：

N1：[e1，e1]＝e2， [e2，e1]＝e3；

N2（α）：[e2，e1]＝e3， [e1，e2]＝αe3， α≠α－1；

N3：[e1，e2]＝e3， [e2，e1]＝-e3；

N4：[e1，e1]＝e3， [e2，e1]＝e3，[e1，e2]＝－e3。

由此定理可知，dimN2=1的3維二步冪零Leibniz代數有三類，分別為N2（α），N3，N4，下面對這三類的自同構群做進一步研究。

（i）Aut（N2（α）） 的分解

而 α≠α－1，則（1+α）≠0，所以 a12=0，a21＝0，a33＝a11a22。 故

證明 由已知，G21?Aut（N2（α））。 ?φa，φb∈G21，有

所以 φaφb∈G21，并且 φaφb=φbφa。

故 G21是 Aut（N2（α））的交換子群。

定理 4 Aut（N2（α））=G21G22G23，｜G2i∩G2j｜=1，i≠j。

證明 顯然 G2i∩G2j＝{I3}，i≠j，故｜G2i∩G2j｜=1。

?φ∈Aut（N2（α）），由定理 3，有

因為 a11a22≠0，取

那么 φ＝φ1－1φ2－1φ3－1，從而 Aut（N2（α））?G21G22G23。 故 Aut（N2（α））=G21G22G23。

（ii）Aut（N3）的分解

則 G31，G32，G33，G34，G35，G36是 Aut（N,3）的交換子群。

定理 6 Aut（N3）＝G31G32G33G35G36G34，且｜G3i∩G3j｜=1，i≠j。

證明 ?φ∈Aut（N3），根據定理 5，有

（1）當 a11≠0 時，可得 φ=φ1-1φ2-1φ3-1（證明過程與定理 4 的證明過程類似），其中 φi∈G3i。

即得 φ6φ5φ1φ′=φ6φ5φ1φφ4=I3，則 φ=φ1-1φ5-1φ6-1φ4-1。

由（1）、（2）知 Aut（N3）?G31G32G33G35G36G34。 故 Aut（N3）＝G31G32G33G35G36G34。

（iii）N4自同構群的分解

由于N4自同構群的分解與Aut（N2（α））的分解過程類似，因此，其定理、引理的證明過程不再贅述。

定理 8 Aut（N4）＝G41G42G43，且｜G4i∩G4j｜=1，i≠j。

[1]BLOCH A.On a generalization of Lie algebra[J].Math in Doklady，1965，165（3）：471-473.

[2]LODAY J L.Cyclic Homology[M].Berlin：Springer-Verlag，1992.

[3]CA?ETE E M，KHUDOYBERDIYEV A K.The classification of 4-dimensional Leibniz algebras[J].Linear Algebra and Applications，2013（439）：273-288.

[4]ALBEVERIO S，OMIROV B A，RAKHIMOV I S.Classification of 4-dimensional nilpotent complex Leibniz algebras[J].Extracta Mathematica，2006，21（3）：197-210. [5]蔣啟芬.三維 Leibniz代數的分類[J].數學研究與評論，2007，27（4）：677-686.

[6]段永健.關于低維Leibniz代數的一些相關性質的研究[D].上海：華東師范大學，2007.

[7]LODAY J L，PIRASHVILI T.Universal enveloping algebra of Leibniz algebra of Leibniz algebra（co）homology[J].Math Ann，1993（296）：139-158.

[8]任斌.具有擬filiform根基的可解完備李代數的自同構群[J].蘇州科技學院學報（自然科學版），2006，23（3）：1-5.

[9]AYUPOV SH A，OMIROV B A.On some classes of nilpotent Leibniz algebras[J].Siberian Math Journal，2001，42（1）：18-29.

[10]張云.代數F[x，y]的導子代數和自同構群[D].上海：華東師范大學，2008.

[11]ALBEVERIO S，OMIROV B A，RAKHIMOV I S.Varieties of nilpotent complex Leibniz algebras of dimensions less then five[J].Comm Algebra，2005，33（5）：1575-1585.

責任編輯：謝金春

The automorphism of two step nilpotent Leibniz algebras

HU Quanyu，REN Bin*
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

Absttract：This paper mainly discussed the automorphism of finite dimensional two step nilpotent Leibniz algebra N.By way of matrix representation,we obtained a sufficient and necessary condition for the automorphism of the Leibniz algebras N when the dimension of the algebra N2was one.We also presented the decomposition of automorphism groups of some low dimensional two step nilpotent Leibniz algebras.

nilpotent Leibniz algebra；base；automorphism

O152MR（2010） Subject Classification17B05；17B30；17B40

A

2096-3289（2017）04-0020-05

2015-12-17

國家自然科學基金資助項目（11271056）

扈全瑜（1989-），女，河南周口人，碩士研究生，研究方向：李代數。

*通信作者：任 斌（1964-），男，博士，教授，碩士生導師，E-mail：renbin1964@163.com。