處理“切”問題的兩種方法

■浙江省天臺中學高三(6)班 吳俊霖(指導教師:鄭秋蟬)

處理“切”問題的兩種方法

■浙江省天臺中學高三(6)班 吳俊霖(指導教師:鄭秋蟬)

解決圓錐曲線與切點、切線相關問題的方法有“方程法”和“導數法”兩種,在具體問題中應該根據圓錐曲線方程的特征結合其他條件綜合判斷選擇哪種方法求解更合適。

一、方法概括

設圓錐曲線方程為f(x,y)=0,切線方程為y=k x+b。

方程法:如果題中給出的方程是橢圓、雙曲線的標準方程(同時含有x2、y2),那么就應該選用方程法。其主要思想是從方程組消去一個未知數(一般是消去y),剩下的是關于另一個未知數的方程,這個方程的二次項系數不能為0,那么由判別式Δ=0所確定的關于k、b的關系式,就是直線y=k x+b是切線所要滿足的條件,對應的一元二次方程的解就是切點的坐標;切線的條數或切點的個數由判別式Δ=0來決定。

導數法:如果題中給出的方程是拋物線y=a x2或雙曲線y=a x+等,那么就應該選用導數法。不管條件怎么復雜,這種方法的主要思想是先設好切點P(x0,y0),根據對曲線方程(實際是函數形式)的x進行求導,求出橫坐標是x0時的導數值,這個導數值就是切線的斜率,寫出切線方程,方程又符合題目中給出的另外條件,得出一個關于x0、y0的方程;再根據切點P(x0,y0)在已知曲線上,來確定關于x0,y0的另一個方程;然后將這兩個方程組成方程組,解出切點,切線的條數、切點的個數由這個關于x0,y0的方程組來決定。

圖1

二、兩種方法的應用

(責任編輯 劉鐘華)