新高考下的數學探討

楊大平

(湖北省宜都市第二高級中學，湖北 宜昌 443311)

新高考下的數學探討

楊大平

(湖北省宜都市第二高級中學，湖北 宜昌 443311)

本文主要通過對近幾年的高考真題的分析和研究，甄選出一些較為典型性的例題進行探討，并介紹了一些行之有效的解題技巧和方法，希望能為高考學生在學習數學過程中提供一些有效的指導和幫助.

高考；數學；考點

一、真題回放

2016 年全國高考新課標Ⅰ卷第 11 題(文理同題)是一道立體幾何題，對考生對于概念的理解，空間想象能力和幾何直觀要求較高，原題如下：

平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( ).

二、考點探究

本題緊扣考試大綱，延續了新課標Ⅰ卷的命題特點：題干簡練，在注重考查數學基礎知識、基本技能以及基本思想方法的同時，考查了學生的數學能力.只不過是穩中求變，今年的 11題只有文字表達無配圖，且題目中的兩條交線是需要作出來的，因此需要學生去操作.另外，本題對公理 3(如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線)的運用也做了考查，這是以前沒有的，它體現了立體幾何問題考查的新視角，也提醒我們要適當關注考試大綱中的“冷點”.

該題涉及的考點有面面相交公理、面面平行判定定理、性質定理，直線所成的角、正方體的性質等，考查全面，而且能力點考查到位，空間想象，化歸轉化，計算求解能力體現得淋漓盡致，而此題與 2015 年新課標Ⅱ卷立體幾何解答題可謂同源，作圖是求解的關鍵，雖然此題考生出錯率較高，但確實是一道不可多得的好題.

三、解題指津

方法一：補形法

分析求m、n所成角的正弦值,首先想到的就是畫出m、n這兩條直線，如何畫出來呢？結合公理3可有如下解法.

在原正方體的左邊補上正方體AEFD-A1E1F1D1,顯然AF∥A1F1∥B1D1?AF∥面CB1D1,AE1∥BA1∥CD1?AE1∥面CB1D1.又AF∩AE1=A,因此面AEF∥面CB1D1，所以面AEF就是平面α.這樣，AF就是m,AE就是n.

點評通過補形，將m、n作出來是解題的關鍵，也是難點所在，后面的計算就是簡單的事情了.

方法二向量法

分析能否嘗試利用空間向量來處理呢？

首先我們建立空間直角坐標系D-ACD′，

得到相關點的坐標B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1).

根據題意m、n分別在平面ABCD和平面ABB1A1內，

點評幾何問題代數化，借助坐標求解是通法， 向量具備了形的特點，數的精確，所以利用空間向量解決立體幾何的“角”“距”問題是個常規思維.但是，此題中直線m、n的方向向量的設法學生較為生疏，另外用向量做也有“小題大做”之嫌，故此法針對這個題目并不是最佳解法.

四、教學建議

好題自有好源，正所謂：“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，源在哪里呢？本題可以看成是源于教材——人教A版《必修 2》P57例2變形而來的.

例2 如圖，已知正方體ABCD—A′B′C′D′

求證：平面AB′D′∥平面C′BD.

這個例題，初看起來，似乎與考題并不相關，但是，從動態的角度去看：將平面AB′D′沿著CA′方向平移使其經過點A′就會得到此考題的模型，由此就不難得到方法2的思路了，其過程自然也是水到渠成.在研究幾何問題時，可以讓其由靜態問題，經過動態的變化，衍生出更加豐富多彩的問題來，我們根據已有的數學基本活動經驗進行類比聯想，回到最為為熟悉的狀態(這也正是教材中的經典例習題的又一作用之所在)，看清問題的本質，實現思維方法的正遷移.

總之，數學教材是數學學習的重要載體，也是考題之源，正所謂“眾里尋她千百度，驀然回首教材中”.很多高考題在選材立意上，以教材中核心概念、性質法則、定理公式和例題習題為載體，以主干內容和通性通法為重點，檢測考生對教材知識和方法的理解與掌握的熟練程度；在情境創新上，以教材中原料作為命題元素，依托于整合遷移演變，將解決問題的數學思想方法、數學能力內隱其中進行命題，反映數學的本質.

基于上述觀點，在復習備考中我們要積極挖掘教材內容，弄清知識的本質與內在聯系，注重例習題的變式探究，這樣就會根實本固 ，有的放矢.我們還要讓學生知道高考試題的來龍去脈，領悟課本知識與高考試題的內在聯系，養成從課本到高考、再從高考回到課本的良性循環的復習習慣.與此同時，我們要深入研究全國課標卷，通過對近年全國課標卷的研究，明確考試的重點與難點，準確把握全國課標卷的命題特點與命題規律,做到以不變應萬變，對問題認識既入乎其內，又要出乎其外，這樣我們的復習備考就會事半功倍.

[1]張曉斌，熊丙章，江楠.新課程高考與高中數學教學適應性研究[J].中學數學,2015(09)：26-29.

[2]陳梅芳.依托“分解” 揭示“聯系” 提高“能力”——2016年高考全國Ⅰ卷理科數學試題例探[J].學苑教育,2016(24):50-51.

[責任編輯：楊惠民]

G632

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1008-0333(2017)25-0033-02

2017-07-01

楊大平(1972.03-)，男，湖北省宜昌人，中學一級，本科，從事高中數學教育.