一種石英撓性擺式加速度計隨機振動誤差建模方法

焦晨陽+王新龍+王盾+李群生+潘哲

摘要： 提出一種將經驗模態分解法、 時間序列分析法與Kalman濾波相結合， 對隨機振動引起的石英撓性擺式加速度計誤差進行建模的方法。 針對隨機振動引起的加速度計非平穩序列誤差， 通過經驗模態分解法有效分離出誤差序列中的非平穩成分， 進一步采用時間序列分析法建立平穩序列的誤差模型， 并引入Kalman濾波算法對模型的預測誤差進行最優估計。 實現了對加速度計隨機振動誤差的精確建模， 提高了隨機振動環境下石英撓性擺式加速度計的測量精度。

關鍵詞： 石英撓性擺式加速度計； 隨機振動； 經驗模態分解； 時間序列分析法； Kalman濾波

中圖分類號： TJ765.1； V241.4+5文獻標識碼： A文章編號： 1673-5048（2017）05-0048-060引言

石英撓性擺式加速度計以高精度、 高靈敏度、 穩定性好等優點在航空、 航天、 測繪等領域得到廣泛應用。 然而在實際工作中， 加速度計易受環境振動、 溫度等因素的影響， 導致其參數不斷發生變化， 嚴重影響導航精度。 因此， 研究隨機振動對加速度計輸出的影響有著重要的現實意義[1]。

目前， 對于加速度計誤差的研究多數為環境溫度變化下的系統參數辨識與補償算法， 而對隨機振動誤差建模的研究很少。 時間序列分析法[2]是一種較為成熟的傳感器建模方法， 利用時間序列分析法建模能夠實現數據的平滑、 濾波和預測， 并能夠對系統特性進行識別， 有利于對系統進行控制； 其對動態數據具有外延特性， 從而可以避免在求取其統計特性時直接加“窗”造成的影響。 文獻[3]就是利用時間序列分析法對加速度計的隨機振動平穩誤差序列進行建模， 然而并未考慮振動誤差中的趨勢項等非平穩成分的影響， 因此， 所建的加速度計振動誤差模型并非完整模型。

基于此， 本文通過對石英撓性擺式加速度計進行多方向隨機振動測試試驗， 提出一種完整的石英撓性擺式加速度計隨機振動誤差建模方法。

1隨機振動試驗分析

1.1隨機振動試驗特點分析

捷聯慣導系統在實際工作中， 由于環境影響引起的系統振動往往具有隨機性。 這種隨機振動具有兩個顯著的特點， 即非周期性和瞬時值不能預測， 但其統計特性卻是有規律的[4]。 依據振動的統計特性， 設計隨機振動試驗， 采用時間序列分析法建立隨機振動引起的加速度計誤差模型， 并利

收稿日期： 2016-11-28

基金項目： 國家自然科學基金項目（61673040； 61233005）； 航空科學基金項目（2015ZC51038； 20160812004）； 天地一體化信息技術國家重點實驗室開放基金項目（2015-SGIIT-KFJJ-DH-01）； 2015年度北京航空航天大學教改資助項目

作者簡介： 焦晨陽（1992-）， 男， 河南洛陽人， 碩士研究生， 研究方向為慣性導航、 組合導航。

引用格式： 焦晨陽， 王新龍， 王盾， 等. 一種石英撓性擺式加速度計隨機振動誤差建模方法[ J]. 航空兵器， 2017（ 5）： 48-53.

Jiao Chenyang， Wang Xinlong， Wang Dun， et al. A Modeling Method for Quartz Flexible Pendulum Accelerometer Random Vibration Error[ J]. Aero Weaponry， 2017（ 5）： 48-53. （ in Chinese）用Kalman濾波對模型的預測誤差進行最優估計， 以達到誤差補償的目的。 通常， 隨機振動條件使用功率譜密度函數來描述， 一旦功率譜密度值確定下來， 振動譜形也隨之確定。

隨機振動試驗采用基于兩點響應平均控制的方法獲取捷聯慣組加速度計的實測輸出， 控制點位于慣組減振前， 頻率范圍為20～2 000 Hz， 時間為960 s， 其譜形如圖1所示。

圖1隨機振動試驗控制點譜形

Fig.1The control point spectrum of random vibration test

加速度計隨機振動試驗分為預振動段、 振動段和結束段三個階段， 輸出采樣時間設定為0.5 ms， 試驗總時間為2 000 s。 試驗過程中， 依次在X， Y， Z三個軸向施加隨機振動， 使加速度計產生相對應的9組輸出。

1.2隨機振動試驗結果分析

由隨機振動試驗分別獲得X， Y， Z三個方向上加速度測量輸出通道的視加速度增量脈沖數（數字量）， 根據加速度計輸出通道的測量模型和極性規定， 將增量脈沖輸出數據轉換為實際加速度值。 以X軸方向振動時， X， Y， Z三個方向上敏感到的加速度值為例， 其加速度曲線如圖2所示。

為了建立加速度計隨機振動時序模型， 選取X方向上加速度計的振動段（1 320～1 495 s）輸出作為研究對象， 其數據曲線如圖3所示。

圖3為在振動臺上實測的加速度計輸出數據， 可以看出， 隨機振動引起的加速度計輸出誤差具有顯著的波動性和隨機性， 變化范圍始終保持在固定的區間內， 但其趨勢項并不明顯， 因此， 單純采用時間序列分析法很難對加速度計隨機振動誤差進行精確建模， 需要選擇更為有效的方法建立加速度計隨機振動誤差模型。

航空兵器2017年第5期焦晨陽， 等： 一種石英撓性擺式加速度計隨機振動誤差建模方法2建模方案設計

在隨機振動試驗中， 振動輸入相對于加速度計是一種有色噪聲， 因此會引起系統參數的不斷改變， 造成輸出序列的非平穩性。

針對非平穩隨機振動誤差序列的建模， 將經驗模態分解法和Kalman濾波算法引入時間序列分析法中， 設計了一種高精度的隨機誤差建模方案， 如圖4所示。endprint

建模方案主要分為經驗模態分解、 時間序列建模和數據優化擬合三個部分：

（1） 經驗模態分解。 針對隨機振動誤差序列的非平穩性， 采用自適應較好的經驗模態分解法對數據進行平穩化處理， 提取出非平穩項， 并將振動誤差序列分為多個固有模態函數（IMF）， 且每個IMF均為平穩時間序列。

（2） 時間序列建模。 對同時滿足平穩性和非白噪聲性的IMF分量進行時間序列建模， 建模過程包括模型識別、 模型定階、 參數估計和適用性檢驗四個部分。

（3） 數據優化擬合。 采用Kalman濾波算法對時間序列模型的預測誤差進行最優估計， 將各階IMF分量時序模型的濾波輸出與經驗模態分解提取出的非平穩項序列相疊加， 實現模型的高精度擬合。

3隨機振動數據處理方法

3.1經驗模態分解

經驗模態分解（EMD）法是一種能夠自適應處理非平穩信號的有效篩分方法[5]， 其將信號中包含的所有成分按照頻率由高至低逐級劃分并提取， 獲得多個具有實際物理意義的IMF和非平穩成分。 這種方法具有適應能力強、 直觀性好、 運算量小等優點。

對于非平穩時間序列x（t）， 利用EMD法對其進行平穩化處理， 可以表示為如下形式：

x（t）=∑ni=1Ii（t）+r（t）（1）

式中： Ii（t）為第i階IMF分量； r（t）為非平穩殘差序列。

3.2時間序列分析法建模

3.2.1模型識別

模型識別是從各種模型族中選擇一個與實際過程相吻合的模型。 模型識別的方法很多， 其中根據時間序列的自相關系數（ACF）和偏自相關系數（PACF）的截尾性、 拖尾性特征進行模型識別的方法應用較為廣泛[6]。

AR（n）模型、 MA（m）模型以及ARMA（n， m）模型所對應的ACF和PACF特點如表1所示。

models模型類型ACF特點PACF特點AR（n）拖尾截尾MA（m）截尾拖尾ARMA（n，m）拖尾拖尾

3.2.2模型定階

模型定階是利用適當的定階準則對所選擇模型的階次進行確定。 其中AIC準則與BIC準則是目前常用的兩種定階方法。

這兩種定階準則均能夠實現模型階數的確定， 但在算法上各有特點。 當樣本的個數較少時， 選擇AIC準則計算較為簡單； 當樣本的個數N→∞時， 用BIC準則確定的最佳模型階數更加準確。 因此， 實際使用時需要根據序列的實際長度選擇合適的定階方法。

3.2.3參數估計

模型的參數估計是利用估計算法對模型中的未知參數進行估計， 獲得模型的顯式表達式。 ARMA模型的參數估計算法可以分為時序理論估計法、 優化理論估計法和控制理論估計法三類， 其特點如表2所示。

algorithms估計算法特點時序理論估計法“準”最優估計算法、 概念簡單、 易于實現優化理論估計法

控制理論估計法最優估計算法、 算法復雜、 反復迭代、 運算量大

由表2可以看出， 時序理論估計法在保證參數估計精度的前提下， 計算速度更快， 有利于實現工程應用中對模型參數的實時估計與修正。

3.2.4適用性檢驗

模型的適用性檢驗實質上就是殘差序列a（t）的獨立性檢驗。 通過殘差序列a（t）的自相關系數ρa， k和a（t）與x（t）的互相關系數ρax， k對模型的適用性進行檢驗。 若ρa， k→0， ρax， k→0， 則所得時序模型為適用模型[7]。

3.3Kalman濾波在時序建模中的應用

由于時序模型中不僅包含了線性回歸部分， 也包含了隨機誤差序列a（t）， 該項會對加速度計的隨機振動誤差補償造成不利影響。 因此， 引入Kalman濾波算法對模型進行最優估計， 以消除隨機誤差項的影響[8]。

以AR（n）模型為例， 其離散化后的系統狀態空間模型為

X（k）=Φ（k， k-1）X（k-1）+W（k）

Z（k）=H（k）X（k）+V（k） （2）

式中： 狀態轉移陣Φ（k， k-1）=ψ

B， 其中ψ=[φ1φ2…φn]， B=[I（n-1）×（n-1）0（n-1）×1]； X（k）為系統k時刻的狀態； W（k）和V（k）分別為系統的狀態噪聲和觀測噪聲， W， V=randn（n， 1）， 且W（k）的方差陣Q和V（k）的方差陣R可由殘差序列確定； Z（k）為系統在k時刻的測量值； 量測矩陣H（k）=[101×（n-1）]。 依據Kalman濾波遞推算式實現對模型預測誤差的最優估計。

4模型方案驗證及分析

4.1經驗模態分解

采用EMD法將經過預處理后的x（t）序列分為18個IMF及非平穩項序列， 分解后的部分結果如圖5所示。

時間序列分析法建模的條件是平衡非白噪聲序列， 因此對EMD后產生的各階IMF分量進行平穩性和白噪聲性檢驗[9]：

（1） 平穩性檢驗。 采用逆序檢驗法進行平穩性檢驗， 結果表明， IMF1～IMF17均滿足平穩性要求， 但IMF18的統計量|u|=2.39>1.96， 為非平穩序列， 此時對其進行差分處理， 經檢驗， 一階差分后的序列滿足平穩性要求。

（2） 白噪聲性檢驗。 利用Q統計量進行白噪聲性檢驗， 結果表明， 各IMF分量的Q值均大于χ20.95（m）（其值為3.744 9×104）， 屬于非白噪聲序列。

4.2時間序列建模

以EMD后的IMF1分量為例， 其自相關系數和偏自相關系數隨延遲步長變化曲線如圖6所示。

由圖6可以看出， IMF1的自相關系數呈現拖尾性， 偏自相關系數呈現截尾性， 根據表1中的判定準則， 選擇AR模型對IMF1分量進行建模。endprint

IMF1分量的AIC和BIC值隨延遲步長的變化曲線如圖7所示。

由圖7可以看出， 模型階次從1階增加到2階時， 曲線斜率最大， AIC和BIC值下降最為明顯， 之后變化較為緩慢， 因此選擇模型階次為AR（2）。 對AR（2）模型中的未知參數， 采用時序理論估計法進行估計， 即可得到φ1和φ2。

從而可得IMF1分量的時間序列模型為

x（t）=0.610 1x（t-1）-0.418 5x（t-2）+

a（t） （3）

式中： a（t）服從N（0， 13.685 4）。

對上述模型適用性檢驗， 其殘差序列a（t）的自相關系數和a（t）與x（t）的互相關系數變化曲線如圖8所示。

由圖8可知， IMF1分量時序模型的殘差序列a（t）的自相關系數以及a（t）與x（t）的互相關系數均趨近于零， 說明a（t）序列符合隨機白噪聲序列的統計特性， 模型通過適用性檢驗。

4.3數據擬合優化

利用EMD對加速度計隨機振動誤差序列進行處理， 將振動序列分解為多階IMF分量和非平穩項序列， 利用時序建模方法對每個IMF分量單獨進行建模， 再將各個模型的預測輸出與趨勢項相疊加， 得到預測序列（t）， 其擬合結果見圖9。 同時， 對傳統的單純時序建模方法和基于EMD的時序建模方法的預測誤差進行對比， 如圖10所示。

由圖9～10可以看出， 基于EMD的時間序列模型呈現出和原始序列同樣的趨勢， 擬合效果較為理想。 通過與傳統的單純時序建模方法的對比能夠看出， 基于EMD的時序模型的預測誤差顯著減小， 且始終保持在合理的范圍內， 驗證了建模方案的有效性。

在基于EMD的時間序列建模方法中， 預測誤差主要是由殘差序列a（t）的隨機性引起的， 而殘差序列為服從正態分布的白噪聲序列。 因此， 引入Kalman濾波算法， 對各階IMF分量時序模型的預測結果進行最優估計， 對比濾波前后預測誤差， 如圖11所示。

對比傳統的單純時序建模方法、 基于EMD的時間序列分析法與Kalman濾波相結合的時序建模方法， 其預測誤差對比如表3所示。

通過對比兩種模型的預測誤差能夠看出， 在EMD的基礎上所建的時間序列模型最終預測誤差的方差由原單純時序建模方法的183.863減小至16.605， 明顯小于單純時序建模的預測誤差， 擬合誤差小于10%和20%的比例也明顯提高。 經過Kalman濾波以后， 模型預測誤差的方差由16.605減小至7.169， 且誤差小于10%和20%的比例進一步提高。 說明基于EMD的時間序列分析法與Kalman濾波相結合的時序建模方法能夠有效改善模型的預測誤差， 提高加速度計隨機振動誤差的建模精度， 實現加速度計在實際工作環境中對隨機振動誤差的實時建模與補償。

5結束語

本文研究了一種EMD法、 時間序列分析法與Kalman濾波相結合的加速度計隨機振動誤差建模方法。 通過對石英撓性擺式加速度計進行隨機振動試驗， 模擬真實振動環境下的加速度輸出， 研究其隨機振動誤差規律。 利用EMD法處理加速度計隨機振動誤差序列， 并對得到的各個IMF進行時序建模， 引入Kalman濾波算法對模型的預測誤差進行了最優估計， 消除了模型中隨機誤差項對預測結果的影響。 預測結果表明， 基于EMD的時間序列分析法與Kalman濾波相結合的時序建模方法能夠很好地實現對加速度計隨機振動誤差序列的擬合估計， 有效地減小了傳統的單純時序建模的預測誤差， 對工程應用中加速度計隨機振動誤差的建模與實時補償具有重要的參考價值。

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A Modeling Method for Quartz Flexible Pendulum

Accelerometer Random Vibration Error

Jiao Chenyang1， Wang Xinlong1， Wang Dun 2， Li Qunsheng3， Pan Zhe4

（1. School of Astronautics， Beihang University， Beijing 100191， China；

2. State Key Laboratory of SpaceGround Information Technology， Beijing 100086， China；

3. School of Instrumentation Science and OptoElectronics Engineering， Beihang University， Beijing 100191， China；

4. Beijing Electromechanical Engineering General Design Department， Beijing 100854， China）

Abstract： In order to build an accurate mathematic model of accelerometer random vibration error sepuence， a method combining empirical mode decomposition （EMD）， time series analysis method with Kalman filter is proposed. Aiming at the accelerometer nonstationary sequence error caused by random vibration， the EMD is introduced to separate the nonstationary components from error sequence effectively， and the time series analysis method is used to build the stationary sequence error model. Furthermore， Kalman filter algorithm is introduced to obtain an optimal estimation error sequence. Consequently， an accurate model of accelerometer random vibration error sequence is built， and it can improve the measure accuracy of accelerometer in random vibration environment.

Key words： quartz flexible pendulum accelerometer； random vibration； EMD； time series analysis； Kalman filter

Oppressive jamming will incapacitate its normal function for phased array radar。 for this problem， the basic of polarization mismatch will be used， and isolate the interference source at the receiver， improve the ability of antiinterference. In this paper， a joint beamforming technique for polarization and spatial domain is first proposed， which is derive， which is a problem of secondorder cone programs， to obtain the polarized beam with a null and polarization constraint in desired sidelobe region. Numerical examples are provided to demonstrate the usefulness and effectiveness of the proposed approaches.Polarization； interference rejection； phased array radarendprint