抓住好方法 解題有“鑰匙”

丁建生

抓住好方法 解題有“鑰匙”

丁建生

數學思想方法是數學知識的精髓和靈魂，是研究和解決數學問題的“金鑰匙”.“一元一次方程”這一章含有許多重要的數學思想方法，下面舉例說明.

一、化歸思想

解方程的過程就是通過去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1等步驟，把一個一元一次方程轉化為x=a的最簡形式，這就是一個化歸的過程，也就是化復雜為簡單、化困難為容易、化陌生為熟悉的過程.

例1 已知a∶b∶c=2∶3∶4，a+b+c=27，求a-2b-2c的值.

【分析】要求所給式子的值，必須先求出a，b，c的值.

解：由a∶b∶c=2∶3∶4，可設a=2k，b=3k，c=4k.

再由a+b+c=27得2k+3k+4k=27.解得k=3.

故a=6，b=9，c=12.

所以a-2b-2c=6-2×9-2×12=-36.

【反思】（1）本題是把求代數式值的問題轉化為建立方程的問題，而當引進參數k后，已知的兩個式子就建立了一種聯系.今后遇到連比一般都可以引進參數k，從而將問題迅速轉化.

（2）本題也可這樣解：由a∶b∶c=2∶3∶4，也就是a∶c=2∶4，b∶c=3∶4.

這種解法顯然沒有第一種解法簡潔！但這兩種解法都體現了一種轉化思想：把多個字母（多元）a、b、c轉化為一個字母（一元）k或c.

二、整體思想

有時解決問題的過程中需要我們不拘泥于問題中的局部與細節，而將問題中的某一部分（某些元素）視為整體才能順利正確解決.

【分析】問題看似超過了我們的學習要求，無從下手.但若我們將 ||x-1看作一個整體，就柳暗花明了.

去分母：y-1-5=6-y.

解得y=6.所以 ||x-1=6.

故 x-1=±6，所以x1=7，x2=-5.

【分析】分別求a、b、c、d、e、f，這不可能！但在變化的過程中，a、b、c、d、e、f的大小、順序不變，只是“整體”地移動了位置，故可將看作整體.

根據題意得5000000+M=3（10M+5）+8.

解得M=172413.

所以原數為5172413.

【反思】在上述兩個問題中，當把 ||x-1看作整體并設為y、把看作整體并設為M后，問題就都變成了一元一次方程.如果沒有這樣的整體看問題的數學眼光，解決問題就很復雜，甚至無法解決.

三、分類討論

在解答一些數學問題時，會遇到多種情況，需要我們對各種情況加以分類，并逐一求解，才能綜合得解，這就是分類討論法.運用分類討論，才能使問題的解決全面而嚴謹.

例4 當a為何整數時，關于x的方程2ax=（a+1）x+6有正整數解？并求出所有解的和.

【分析】從“關于x的方程”知，x為未知數；從“x為正整數解”知，必須先求x.

解：原方程可化為（a-1）x=6，

要使x為正整數，a-1必須是6的正約數.

故當a-1=1即a=2時，x=6.

當a-1=2即a=3時，x=3.

當a-1=3即a=4時，x=2.

當a-1=6即a=7時，x=1.

所以，所有解的和=6+3+2+1=12.

【反思拓展】若把“正整數解”改為“整數解”，a是哪些整數？這要求我們看題目必須斟字酌句；本題中對a與x的兩個整數的限制，使不確定的（無限）問題變成了有限的、可列舉的幾個確定性問題.延用這種方法，可以解決下列問題：

將2到10這9個自然數填入3×3的表格中，每個數只能填一次，且使中間行、中間列及表的對角線各經過的三格上的三個數的和相同，則中間方格中的數是多少？和是多少？【提示：設中間方格里的數是x，中間行（列、對角線）上三個數的和是y，由題意得4y-3x=2+3+4+5+6+7+8+9+10，所以x=y-18，再由x只能取2到10的整數，故y應為3的倍數，所以y=15，18，21，對應的x=2，6，10.】

例5 已知廠家生產三種不同型號的電視機，出廠價分別為甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元.若商場同時購進其中兩種不同型號電視機共50臺，用去9萬元，請你幫助設計一下商場的進貨方案.

【分析】三種型號，兩兩組合，應分三種情況討論.

解：（1）設同時購進甲、乙兩種電視機，甲種x臺、乙種（50-x）臺，則1500x+2100（50-x）=90000，解得x=25.

50-x=50-25=25.

（2）設同時購甲、丙兩種電視機，甲種x臺、丙種（50-x）臺，則1500x+2500（50-x）=90000，解得 x=35.

50-x=50-35=15.

（3）設同時購進乙、丙兩種電視機，乙種y臺、丙種（50-y）臺，則 2100y+2500（50-y）=90000.

解得y=87.5（不合題意，舍去）.

故商場進貨方案為：購甲種25臺，乙種25臺；或購甲種35臺，丙種15臺.

【反思拓展】一般方案設計與選擇問題，都要作分類討論，本題很明顯要分三種情況計算（.1）如果題目再加一個條件：甲每臺賣出價1650元，乙每臺賣出價2300元，丙每臺賣出價2750元，為了獲得最大利潤，應選擇哪種方案？這時應對已有的兩種方案再作討論（兩種情況），計算比較后進行選擇（.2）如果題目條件不變，要求用9萬元同時購進三種不同型號的電視機，請你設計購買方案.這時可設購甲種x臺、乙種y臺、丙種（50-x-y）臺，方程為1500x+2100y+2500（50-x-y）=90000，解得x=35-y，再由x、y是非負整數的約束條件，不難得到四種方案.

當然，這一章還充分體現了數學模型思想和數形結合等思想.事實上，方程是數學中的重要模型，把實際問題轉變為方程問題就是建立方程模型的過程；用方程解決實際問題的過程中有時需用線段圖、柱狀圖等表示數量之間的關系，進而找出其中的等量關系并列出方程，這就是數形結合思想的典型運用.只要我們用心學習、體悟數學思想方法，就一定能迅速選擇合適的“鑰匙”解決問題，并提高解決問題的能力.

（作者單位：南京師范大學第二附屬初級中學）