群體平衡模型在氣液攪拌數(shù)值模擬的研究進(jìn)展

王文鵬，周三平

（西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安 710065）

專論與綜述

群體平衡模型在氣液攪拌數(shù)值模擬的研究進(jìn)展

王文鵬，周三平

（西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安 710065）

氣液攪拌反應(yīng)釜在過(guò)程工業(yè)中應(yīng)用廣泛，在氣液的分散和混合過(guò)程中，準(zhǔn)確模擬預(yù)測(cè)離散相系統(tǒng)中氣泡大小與分布在流體力學(xué)和傳質(zhì)中起著關(guān)鍵性作用。群體平衡模型（Population Balance Model，PBM）是描述兩相以及多相流體系中分散相的尺寸大小及分布程度隨時(shí)間和空間變化的通用方程模型，可以較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)釜內(nèi)流場(chǎng)和氣泡的大小與分布。對(duì)群體平衡模型在氣液攪拌數(shù)值模擬中的應(yīng)用進(jìn)行了綜述，討論了PBM的數(shù)學(xué)模型和主要的數(shù)值求解方法，然后著重介紹了近年來(lái)采用PBM對(duì)氣液攪拌數(shù)值模擬的情況，進(jìn)行了總結(jié)和展望。

氣液攪拌；群體平衡模型；氣泡尺寸；數(shù)值模擬

攪拌與混合是應(yīng)用最為廣泛的過(guò)程操作之一，同時(shí)攪拌反應(yīng)釜大量應(yīng)用于化工、輕工、醫(yī)藥、食品、生物發(fā)酵及廢水處理等行業(yè)中。其中，氣液攪拌反應(yīng)釜應(yīng)用較為廣泛。在氣液的分散和混合過(guò)程中，液相中的氣泡大小與分布在流體力學(xué)和傳質(zhì)中起著重要作用，在實(shí)際工況下，它決定著氣泡的上升速度和氣體在液相中的停留時(shí)間，影響著液相中的氣含率及氣液的接觸面積[1]。群體平衡方程（Population Balance Equation，PBE）是描述兩相以及多相流體系中分散相的尺寸大小及分布程度隨時(shí)間和空間變化的通用方程，能夠具體地描述離散相實(shí)體的分布情況和影響分布變化的離散相微觀活動(dòng)。由此創(chuàng)建了群體平衡模型（Population Balance Model，PBM），形成了一種通用方法。最初由Hulburt＆Katz[2]于1964年在化工過(guò)程中使用。近年來(lái)隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的快速發(fā)展，以及對(duì)PBE求解方法的深入研究，將PBM應(yīng)用于越來(lái)越多的化工過(guò)程中，尤其是在氣液攪拌過(guò)程中，獲得了氣相在液相中，氣泡的直徑大小和氣泡的分布情況。同時(shí)，計(jì)算流體力學(xué)（Computional Fluid Dynamics，CFD）技術(shù)的發(fā)展與完善，在多相流領(lǐng)域越來(lái)越受到關(guān)注。將CFD對(duì)流場(chǎng)預(yù)測(cè)能力強(qiáng)與適應(yīng)范圍廣的特點(diǎn)和PBM計(jì)算氣體顆粒大小與分布的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合，利用CFD-PBM耦合模型，應(yīng)用于氣液攪拌反應(yīng)釜中，可以得到與實(shí)驗(yàn)更加一致的數(shù)值模擬結(jié)果，有利于更加深入地了解攪拌過(guò)程中的多相流動(dòng)和傳遞規(guī)律，為攪拌反應(yīng)釜的優(yōu)化設(shè)計(jì)、操作和放大提供理論指導(dǎo)。本文對(duì)群體平衡模型在氣液攪拌反應(yīng)釜數(shù)值模擬中的應(yīng)用情況進(jìn)行綜述，同時(shí)包括其基本模型方程和主要的求解方法以及其中的聚并、破碎模型，最后對(duì)群體平衡模型在氣液攪拌中的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)和展望。

1 模型與數(shù)值求解方法

1.1 數(shù)學(xué)模型

PBE是描述多相流體系中顆粒狀態(tài)分布隨時(shí)間與空間連續(xù)變化的偏微分方程[3]。其中，粒子狀態(tài)矢量是通過(guò)一系列的外部坐標(biāo)x→以及內(nèi)部坐標(biāo)來(lái)定義的，外部坐標(biāo)代表粒子的空間位置，內(nèi)部坐標(biāo)則包含粒子的大小、溫度、組成等相關(guān)量。

局部平均粒子數(shù)量密度為（即每單位體積的粒子總數(shù)）：

所有粒子的總體積分?jǐn)?shù)為：

其中：V（φ）-粒子在狀態(tài)空間φ中的體積。

因此群體平衡方程的表示，假定φ為粒子體積，數(shù)量密度函數(shù)的傳遞方程為：

其邊界條件以及初始條件為：

1.2 數(shù)值求解方法

1.2.1 聚并與破碎 在粒子聚并和破碎過(guò)程中往往伴隨著新粒子的生成和死亡。其中，在氣-液攪拌體系中，氣泡之間發(fā)生聚并現(xiàn)象的前提是氣泡間可以進(jìn)行相互碰撞，液相的湍動(dòng)作用和氣泡自身所具有的浮力作用使氣泡獲得不同的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)速度，使得氣泡在不同瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)速度的條件下發(fā)生碰撞，從而一部分發(fā)生相互碰撞的氣泡產(chǎn)生聚并現(xiàn)象[5]。

目前，研究氣泡的聚并過(guò)程均指的是兩兩氣泡之間聚并的過(guò)程，氣泡聚并過(guò)程主要為兩氣泡發(fā)生接觸、碰撞，隨之形成薄厚不一的液膜，當(dāng)液膜足夠稀薄，超越臨界厚度時(shí)，液膜破裂完成聚并。氣泡聚并速率等于氣泡碰撞頻率乘以聚并效率。氣泡聚并過(guò)程示意圖（見圖 1）。

圖1 氣泡聚并過(guò)程示意圖[5]

聚并核的單位是m3/s，其通常由兩個(gè)部分組成：聚并頻率：體積為V、V′的粒子的碰撞頻率；

聚并有效性：體積為V、V′的粒子發(fā)生聚并的可能性。

則，聚并導(dǎo)致的粒子產(chǎn)生項(xiàng)為：

其表示體積為V-V'的粒子和體積為V的粒子聚并后生成體積為V的新粒子。1/2用來(lái)防止對(duì)一次聚并進(jìn)行重復(fù)計(jì)算。

體積為V的粒子聚并死亡項(xiàng)為：

氣泡液膜破裂是由于氣泡薄膜的不穩(wěn)定性造成的，液膜的穩(wěn)定性會(huì)受到分子間范德華作用力引起的界面臨界波長(zhǎng)所產(chǎn)生的放大效應(yīng)的影響，從而引起氣泡的破碎。氣泡破碎機(jī)制有：湍流渦體碰撞，液體流場(chǎng)剪切以及大氣泡表面不穩(wěn)定性等幾種。在攪拌氣液體系中，氣泡破碎主要是由湍流渦體碰撞引起的（見圖2）。

圖2 氣泡破碎過(guò)程示意圖[5]

用下面的表達(dá)式來(lái)表達(dá)破碎核：

其中：g（V'）-破碎頻率，即為體積為 V'的粒子破碎所用時(shí)間的倒數(shù)；β（V│V'）-概率分布密度函數(shù)（DSD），即為粒子從V'體積破碎為V的可能性。

破碎導(dǎo)致的粒子生成這樣來(lái)表示：

其物理意義為每單位時(shí)間有體積為 V'，g（V'）n（V'）dV'數(shù)量的粒子破碎并產(chǎn)生 pg（V'）n（V'）dV'數(shù)量的新粒子。p為新破碎產(chǎn)生的子粒子數(shù)量，例如如果破碎產(chǎn)生2個(gè)粒子，那么p即為2。

破碎導(dǎo)致體積為V的粒子的死亡這樣來(lái)表示：

1.2.2 求解方法

1.2.2.1 均一離散法 均一離散法是由Hounslow等[6]，Kumar＆Ramkrishna[7]提出。它將連續(xù)的粒子數(shù)量密度函數(shù)使用一系列離散的bins來(lái)表示，在均一離散法中，顆粒群的粒徑范圍被離散為有限的粒徑間隔。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于可以直接計(jì)算粒徑分布。如果在求解前，粒徑分布就已經(jīng)可以大體的進(jìn)行預(yù)估且數(shù)值的波動(dòng)處于2～3倍的時(shí)候，均一離散法非常有效。在這種情況下，顆粒群被離散為相對(duì)小的粒徑間隔并和計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）耦合求解。這個(gè)方法的缺點(diǎn)就是如果需要很大數(shù)量的粒徑間隔，占用計(jì)算資源較多。

1.2.2.2 非均一離散法 均一離散法的一個(gè)限制就是所有bins依附于第二相，因此其動(dòng)量和與第二相的動(dòng)量相同。實(shí)際上，在某些情況下，一些過(guò)大的以及過(guò)小的粒子會(huì)由于動(dòng)量的偏差引起分離，均一離散法并不適用于這些情況。非均一離散法有效的處理了這個(gè)問(wèn)題。在非均一離散法中，bins群可以調(diào)用不同的相速度，因此如果非均一離散法激活，群體平衡模型可以應(yīng)用于多個(gè)離散相的體系。

1.2.2.3 標(biāo)準(zhǔn)矩方法 求解群體平衡模型的另一個(gè)方法是標(biāo)準(zhǔn)矩方法（SMM）[2]。在標(biāo)準(zhǔn)矩方法中，群體平衡方程被轉(zhuǎn)換成為一系列的矩方程。第i個(gè)矩被定義為在整個(gè)粒徑空間內(nèi)，將數(shù)量密度函數(shù)乘以粒徑的i次冪的函數(shù)的積分。一般情況下，求解少數(shù)幾個(gè)矩方程就夠了，通常是3到6個(gè)。和離散法相比，矩方法求解的方程數(shù)量大大減少。除了在計(jì)算速度上的優(yōu)點(diǎn)，如果不需要連續(xù)的數(shù)量密度函數(shù)，且用幾個(gè)節(jié)點(diǎn)值就足夠近似的表示數(shù)量密度函數(shù)的話，SMM方法非常有效。通常，零階矩表示總數(shù)量密度、二階矩表示每單位體積的粒子表面積、三階矩表示總質(zhì)量密度。

1.2.2.4 積分矩方法 積分矩方法（QMOM）[8]在計(jì)算速度上和SMM具有相同的優(yōu)勢(shì)，不同的是，QMOM使用積分來(lái)封閉方程組（這在SMM中是通過(guò)用矩本身來(lái)封閉）。這使得QMOM可以更加廣泛的應(yīng)用。

2 PBM在氣液攪拌數(shù)值模擬的應(yīng)用

化學(xué)化工領(lǐng)域，氣液攪拌反應(yīng)釜廣泛的應(yīng)用于生物發(fā)酵、醫(yī)藥食品和工業(yè)的廢水處理等過(guò)程中。在氣液攪拌的混合和分散過(guò)程中，氣泡的尺寸大小和分布在氣液的傳質(zhì)中都起著重要的作用，它決定著氣泡的上升速度和氣體在液相中的停留時(shí)間，控制著含氣率以及氣液接觸的面積。

Bakker等[9]是最早將PBE用于模擬氣液攪拌混合過(guò)程，如今已在攪拌反應(yīng)釜內(nèi)考慮分散相顆粒微觀行為時(shí)多相流體系的模擬中取得廣泛應(yīng)用，尤其今年不少研究者應(yīng)用PBM模擬了攪拌反應(yīng)釜中的氣液多相體系。

Laakkonen等[10]分別對(duì)六直葉渦輪攪拌槳和單層6-RT攪拌槳?dú)庖簲嚢韪獌?nèi)氣泡尺寸分布通過(guò)商業(yè)軟件CFX5.7進(jìn)行了數(shù)值模擬。PBM模型采用的是Lehr模型，該模型已成功地對(duì)鼓泡塔內(nèi)氣泡尺寸激情分布進(jìn)行了模擬預(yù)測(cè)，通過(guò)UDF編譯加入到軟件中，其中的一些參數(shù)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定，對(duì)攪拌反應(yīng)釜內(nèi)氣泡的尺寸以及分布進(jìn)行了很好的預(yù)測(cè)。

Kerdouss等[11]使用商業(yè)軟件FLUENT，對(duì)雙層六直葉渦輪槳攪拌釜內(nèi)流場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，采用Euler-Euler雙流體模型、修正的曳力系數(shù)模型以及考慮氣泡的聚并與破碎模型，并取得較為理想的結(jié)果。所得的釜內(nèi)氣液流場(chǎng)呈現(xiàn)典型的槳葉上下雙循環(huán)流型，觀測(cè)到氣含率分布較為合理，同時(shí)可以觀察到槳葉及擋板后有大量氣泡聚集，產(chǎn)生氣穴現(xiàn)象，整體氣泡尺寸及分布與實(shí)驗(yàn)值較為吻合，但是槳葉附近的氣含率與實(shí)驗(yàn)值偏差較大，可能原因是PBM不夠完善，模擬存在誤差。

Martin等[13]利用PBE以及通過(guò)在聚并、破碎過(guò)程中考慮液體黏性的影響，模擬了在攪拌反應(yīng)釜中液體黏性對(duì)氣泡大小分布和氣液傳質(zhì)速率的影響。通過(guò)分析，得到模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，隨著液體黏度的增大使得氣泡的平均直徑略有增大，同時(shí)得到氣泡平均直徑和氣液傳質(zhì)系數(shù)的關(guān)系與實(shí)驗(yàn)值基本保持一致（見圖 3）。

Selma等[12]采用CFD-PBM耦合模型對(duì)鼓泡塔和攪拌反應(yīng)釜內(nèi)氣液混合進(jìn)行了數(shù)值模擬，得到了其氣含率以及氣泡尺寸的模擬結(jié)果，并比較了DQMOM和CM兩種PBM求解方法對(duì)模擬結(jié)果的影響，最終得到的結(jié)果表明：兩種求解方法均能很好地模擬預(yù)測(cè)鼓泡塔和攪拌反應(yīng)釜內(nèi)氣含率和氣泡尺寸大小的分布，但DQMOM方法更加節(jié)約計(jì)算資源，計(jì)算效率更高。

圖3 模擬得到的平均氣泡直徑和體積傳質(zhì)系數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比

楊鋒苓等[14]通過(guò)商業(yè)軟件FLUENT，采用Euler-Euler雙流體模型，假設(shè)氣泡為球形，利用PBM模型模擬氣泡的聚并與破碎過(guò)程，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)CD-6槳攪拌釜內(nèi)流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值模擬，研究其氣液混合性能。通過(guò)模擬結(jié)果，分析了不同轉(zhuǎn)速和通氣量時(shí)攪拌釜內(nèi)流場(chǎng)、氣含率和攪拌功耗，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，基本保持一致，驗(yàn)證了所建模型和模擬方法的可靠性；同時(shí)驗(yàn)證了一種新型錯(cuò)位CD-6槳，與標(biāo)準(zhǔn)CD-6槳相比，相同工況下，錯(cuò)位槳湍動(dòng)程度高，氣泡分布均勻，攪拌功耗略低，更適用于氣液混合攪拌。

3 結(jié)語(yǔ)

氣液攪拌反應(yīng)釜廣泛的應(yīng)用于石油、化工、食品醫(yī)藥及污水處理等工業(yè)過(guò)程中，其內(nèi)部為氣液多相流體系，其中氣體的平均粒徑和分布對(duì)于過(guò)程控制、傳質(zhì)和傳熱都是十分重要的影響因素[15]。因此，將群體平衡模型（PBM）應(yīng)用于氣液攪拌反應(yīng)釜內(nèi)的多相流的模擬，獲得氣泡的粒徑尺寸和分布情況，對(duì)于研究氣液攪拌混合及其傳質(zhì)傳熱都有著重要的意義。

近年來(lái)利用PBM模擬氣液攪拌混合體系已經(jīng)得到了許多應(yīng)用。在氣液混合體系中，氣泡的聚并和破碎過(guò)程一般不能忽略，PBM正好滿足了這些條件，PBM多用離散方法進(jìn)行數(shù)值求解，隨著進(jìn)一步研究，近年來(lái)也有學(xué)者利用積分矩方法求解。從整體的模擬結(jié)果上來(lái)看，大多數(shù)的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，大致吻合，也更好的印證了PBM可以用來(lái)描述氣液攪拌混合過(guò)程中氣泡的大小及其分布，并且一些學(xué)者計(jì)算了氣液傳質(zhì)系數(shù)，可以對(duì)時(shí)間作用進(jìn)行更為合理的表征。但在目前的研究過(guò)程中關(guān)于PBM的應(yīng)用存在的一些問(wèn)題，首先在模擬過(guò)程中采用PBM處理氣泡的分布計(jì)算量比較大，占用計(jì)算資源較多；其次是氣泡的聚并、破碎模型直接影響著模擬質(zhì)量，由于氣體物性比較復(fù)雜，同時(shí)聚并、破碎模型尚不完善，其中存在許多不確定的可調(diào)參數(shù)，模擬出的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。所以就需要繼續(xù)對(duì)氣泡的聚并及破碎模型進(jìn)行深入的研究，完善群體平衡模型。相信隨著對(duì)氣液混合體系研究的深入以及新的氣泡聚并、破碎模型的研發(fā)，PBM對(duì)于描述氣液多相流體系中的氣泡的大小及分布會(huì)更為全面和準(zhǔn)確，從而研究出更加高效的氣液攪拌反應(yīng)釜。

［1］包雨云，高正明，施力田.多相流攪拌反應(yīng)器研究進(jìn)展［J］.化工進(jìn)展，2005，24（10）：1124-1130.

［2］Hulburt H M，Katz S.Some problems in particle technology：A statistical mechanical formulation［J］.Chemical Engineering Science，1964，19（8）：555-574.

［3］Randolph A D，Larson M A.Theory of particulate processes［M］.2nded.San Diggo，CA：Academic Press，1988.

［4］蘇偉軍，顧兆林，XU X.Yun.離散相系統(tǒng)群體平衡模型的求解算法［J］.中國(guó)科學(xué)：化學(xué)，2010，40（2）：144-160.

［5］Chen P，Sanyal J，Dudukovic M P.Numerical simulation of bubble flows：effect of different breakup and coalescence closures ［J］.Chemical Engineering Science，2005，60（4）：1058-1101.

［6］Hounslow MJ，Ryall RL，Marshall VR.A discretized population balancefornucleation.Growth，and aggregation［J］.AIChE J，1988，34（11）：1821-1832.

［7］Kumar S，Ramkrishna D.On the solution of population balance equations by discretization ［J］.Chemical Engineering Science，1996，51（8）：1311-1342.

［8］McGraw R.Description of aerosol dynamics by the quadrature method of moments ［J］.Aerosol Science and Technology，1997，27（2）：255-265.

［9］Bakker A，Akker H E A.A computational model for the gasliquid flow in stirred reactors ［J］.Chem.Eng.Res.Des.，1994，72：594-606.

［10］Laakkonen M，Moilanen P，Alopaeus V,et al.Modeling local bubble size distribution in agitated vessels［J］.Chemical Engineering Science，2007，62（3）：721-740.

［11］Kerdouss F，Bannari A，Proulx P，et al.Two-phase mass transfer coefficient prediction in stirred vessel with a CFD model ［J］.Computers ＆ Chemical Engineering，2008，32（8）：1943-1955.

［12］Selma B，Bannari R，Proulx P.Simulation of bubbly flows：Comparison between direct quadrature method of moments（DQMOM）and method of classes（CM）［J］.Chemical Engineering Science，2010，65（6）：1925-1941.

［13］Martin M，Montes F，Galan M A.Mass transfer rates from bubbles in stirred tanks operating with viscous fluids［J］.Chemical Engineering Science，2010，65（12）：3814-3824.

［14］楊鋒苓，周慎杰.雙層錯(cuò)位CD-6槳攪拌槽內(nèi)的氣液混合性能［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，43（11）：16-21.

［15］王鐵峰.氣液態(tài)反應(yīng)器流體力學(xué)行為的實(shí)驗(yàn)研究與數(shù)值模擬［D］.北京：清華大學(xué)博士學(xué)位論文，2004.

Research progress of population balance model in numerical simulation of gas-liquid mixing

WANG Wenpeng，ZHOU Sanping
（College of Mechanical Engineering，Xi'an Shiyou University，Xi'an Shanxi 710065，China）

The gas-liquid stirred tank reactors is widely used in process industry.During the gas-liquid dispersion and mixing process,accurate simulation and prediction of bubble size and distribution in discrete phase systems plays a key role in fluid mechanics and ass transfer.Population Balance Model（PBM）is a universal equation model describing the size and distribution of dispersed phase which changes with time and place in two-phase and multiple fluid systems.It can predict the flow field and the size and distribution of bubbles accurately.This article summarizes the application of population balance model in numerical simulation of gas-liquid mixing,discusses the mathematical model of PBM and the main numerical solution methods,then mainly introduces,summarizes and looks forward to the prospects of the application of PBM in numerical simulation of gas-liquid mixing in recent years.

gas-liquid mixing；population balance model；bubble size；numerical simulation

TQ051.7

A

1673-5285（2017）11-0001-05

10.3969/j.issn.1673-5285.2017.11.001

2017-10-23

王文鵬，男（1991-），陜西省銅川市人，碩士，研究方向?yàn)榛み^(guò)程機(jī)械，郵箱：wangwp_ryan@163.com。