一種對地四重覆蓋星座構型設計方法

孟少飛, 劉新學，楊 其，朱 濤

(1. 火箭軍工程大學，西安710025；2. 西安測繪總站，西安710054)

一種對地四重覆蓋星座構型設計方法

孟少飛1, 劉新學1，楊 其1，朱 濤2

(1. 火箭軍工程大學，西安710025；2. 西安測繪總站，西安710054)

針對傳統星座設計中覆蓋模型求解困難，覆蓋性能統計不便等問題，提出一種基于二維圖的對地四重連續覆蓋星座構型設計新方法。首先對傳統的二維空間坐標系進行了改進，利用球面幾何學分析了覆蓋圓與衛星軌道的相對位置關系，建立二維圖和星座網格的解析數學模型。通過對數學模型的進一步分析，歸納與總結了二維圖的幾何性質。將星座對緯度帶的覆蓋轉化為對緯度帶上任意點的二維圖的覆蓋，提出星座網格對二維圖的單重和四重連續覆蓋條件。在此基礎上，研究四重覆蓋星座構型的設計與篩選方法，從而避開了覆蓋性能統計的復雜過程。最后對二維圖基本理論和星座設計方法進行了實例仿真，校驗了該方法的可行性。

星座構型；球面幾何；二維圖；四重連續覆蓋

0 引 言

衛星星座是航天事業的重要領域，星座構型設計則是衛星星座研究的重要內容之一。星座構型解析設計方法的研究最早可以追溯至20世紀60年代，Walker[1]和Lang[2-3]在球面幾何學的基礎之上對星座構型的解析方法進行了深入的研究。之后雖然經過半個多世紀的發展，但仍然以球面幾何的方法為主[4-5]。由于球面幾何的復雜性和解的局限性，當衛星數量較多或覆蓋情況較為復雜時，往往很難得到解析的構型設計方案。隨著計算機技術的發展，基于仿真計算的現代優化算法也逐漸在星座構型設計領域得到了廣泛的應用與發展[6-8]。該方法往往需要借助仿真星座的覆蓋過程以統計星座的覆蓋性能，因此往往計算量較大。

二維圖理論出現于20世紀80年代，最早被應用于星座構型的覆蓋性能分析[9]。Ulybyshev[10-13]將其應用到星座構型設計問題，從而提出一種新的構型設計思路。但其研究中依然沿用早期的二維空間坐標系，很難建立二維圖的解析模型。在二維圖的計算上仍然采用數值迭代的方法，在計算的快速性和精確性以及求解更復雜覆蓋問題上限制了該方法的發展。而國內學者在研究星座覆蓋時多采用單元統計的方法[14-15]，使用二維圖進行覆蓋研究的相關文獻還較少。本文對這種方法進行了進一步研究，在二維圖數學模型的構建、特性分析以及應用擴展上進行了深入的探討與完善。

1 二維圖基本理論

文獻[10]中對二維空間的定義為：以升交點赤經Ω為x軸，以相位角u為y軸，衛星在其軌道上的位置所組成的點形成的空間。二維圖則相應的為衛星對目標點可見的位置所組成的區域。設衛星軌道為圓軌道，高度為1000 km，傾角為45°，衛星最小可見角為15°；目標點經度為180°E，緯度為30°N，則衛星對目標點可見的二維圖如圖1所示。

當x軸采用升交點赤經時，二維圖的計算需要考慮地球的旋轉，其數學模型為高階超越方程，很難用解析的方法求解，只能采用數值迭代的方法計算二維圖的邊界曲線。這里對二維圖的坐標軸進行調整，以衛星軌道面與地球赤道的交點經度作為衛星軌道經度L，代替升交點經度Ω，從而建立了二維圖的解析數學模型，提高其邊界曲線計算的便利性、快速性。

按照二維圖形狀的不同，可以將二維圖分為3類：連通凸型，連通凹型和非連通型，如圖2所示。設衛星軌道傾角為i，衛星的覆蓋圓半徑為β，目標點的緯度為φ，則三種不同類型的二維圖所對應的條件為(如圖3所示)：

連通凸型：φ≥i+β

連通凹型：i-β≤φlt;i+β

非連通型：φlt;i-β

二維空間一個重要優點是星座的構型在二維空間中可以用簡單的幾何網格進行表示。對于常用的Walker-δ構型，其二維空間的表示如圖4所示。設星座的構型參數為N/P/F，則其網格參數為

(1)

設首個軌道面首個衛星的坐標為(L(1,1),u(1,1))，則第m軌道面的第n顆衛星的坐標為

(2)

所有衛星在二維空間的運動可以分解為衛星沿軌道的運動和軌道面相對地球的轉動，因此衛星坐標的導數為：

(3)

式中：ωs為衛星軌道運動的角速度，ωe為地球自轉角速度。

2 二維圖的數學模型

二維圖的邊界計算主要分為兩部分，軌道經度邊界(簡稱經度邊界)和相位邊界。求解經度邊界主要是求解軌道面與覆蓋圓相切的問題，求解相位邊界主要是求解軌道面與覆蓋圓相交的問題。

2.1經度邊界數學模型

在經度邊界，軌道面與覆蓋圓相切。設目標點經緯度為(λc,φc)，當φc-β≤i≤φc+β時，有兩個軌道面與覆蓋圓相切。設此時的軌道經度分別為Lb1，Lb2，切點的相位分別為u1，u2，對應的軌道面與赤道面的交點為A1，A2，如圖5(a)所示。根據球面幾何，有：

(4)

如果ξlt;0，則ξ=ξ+π。同時還有：

(5)

l=arcsin(sinβ/sinξ)

(6)

設α=i+ξ，b1為C和A1之間的經度差，則有

(7)

b2=π-b1

(8)

則二維圖的經度邊界為：

(9)

(10)

α*=i-ξ

(11)

2.2相位邊界數學模型

(12)

可以推導出：

(13)

和

l2=arctan(tanβcosδ)

(14)

如果b=0，則有

(15)

如果b≠0，則有

(16)

則對應的相位邊界為

(17)

3 二維圖的基本性質及其覆蓋條件分析

3.1二維圖的基本性質

對二維空間的坐標進行調整之后，可以得到二維圖邊界的解析數學模型，從而可以對二維圖的基本性質進行分析研究。而基于二維圖的星座構型設計方法則正是建立在二維圖的基本性質和連續覆蓋條件基礎之上。通過研究分析，可以得到以下結論：

性質1. 單個衛星對單個目標點的覆蓋二維圖為中心對稱圖形，設目標點經度為λc，則其對稱中心的坐標為(λc-π/2,π/2)。

性質2.x軸為升交點赤經時的二維圖可以看做x軸為軌道經度時的二維圖的切變變換，變換矩陣為：

(18)

式中：ω=ωe/ωs。

性質3.x軸為升交點赤經時的二維圖也是中心對稱圖形，設目標點經度為λc，則其對稱中心的坐標為(λc-π(1-ω)/2,π/2)。

性質4. 對于i≤φc+β的情況，當覆蓋圓半徑縮小到0時，二維圖將縮小成兩個關于中心點對稱的極點。其中一個極點的坐標為

(19)

性質5. 對于非連通二維圖，當目標點位于赤道上時，其每個半圖都是中心對稱圖形，其對稱中心為各自的極點。

以上性質可以由球面幾何的相關知識得到證明，由于篇幅的限制，這里證明過程不再贅述。

3.2二維圖的四重連續覆蓋條件

由二維圖的定義可知，當衛星進入目標點的二維圖時，衛星能夠實現對目標點的覆蓋。對于緯度相同而經度不同的目標點，其二維圖是沿經度平移的關系，同一衛星對這些點的覆蓋位置也是平移的關系。對于同一緯度上的隨機點，其二維圖的平移量是隨機的。當將這些隨機的二維圖看做是重合且固定時，則衛星的相對位置需要增加一個沿經度的隨機量。雖然星座中衛星的軌道可能為回歸軌道或者同星下點軌道，其運動軌跡可能是固定的，但增加沿經度的隨機量后，其運動軌跡則變為隨機的。因此當星座網格能在隨機移動條件下對某個二維圖進行連續覆蓋時，該星座在實際運動中可以實現對整個緯度帶的連續覆蓋。同樣，任意移動條件下能夠實現對某個二維圖四重連續覆蓋的星座網格，也能實現對該緯度帶的四重連續覆蓋。這是連續覆蓋條件的研究思路。

如果由星座網格中任意三個衛星組成的三角形中不包含有其他更小的三角形，則定義該三角形為星座網格的一個單位三角形。同樣的方法也適用于單位平行四邊形概念的定義。由于單重連續覆蓋條件是多重連續覆蓋條件的基礎，因此，首先提出單重連續覆蓋條件如下：

當連通凸型二維圖包含有星座網格的任一單位三角形時，在任意移動條件下，該星座網格可以實現對該二維圖的單重連續覆蓋。

通過對單重連續覆蓋條件的擴展，可以進一步得到四重連續覆蓋條件。對于連通凸型二維圖來說，其四重連續覆蓋的必要非充分條件為(見圖7)：

條件1：當連通凸型二維圖可以包含如圖7(a)所示的四個兩兩相鄰的單位平行四邊形所組成的復合平行四邊形或如圖7(c)所示的由四個依次相鄰的單位平行四邊形所組成的復合平行四邊形時，在任意時刻至少有一個單位平行四邊形完全處于二維圖內，即二維圖在任意時刻至少可以包含四個星座網格頂點。

條件2：對于滿足條件1的星座網格，任意改變其相鄰軌道衛星之間的相位差而形成的新的網格，仍能滿足在任意時刻至少有四個頂點在二維圖內(如圖7(b)和圖7(d)所示)。

以上的條件可以用初等幾何知識進行證明，這里不再贅述。同樣用初等幾何知識，將以上結論進行擴展，即當連通凸型二維圖可以包含由四個單位平行四邊形組合形成的任意圖形時，該單位平行四邊形所組成的星座網格及其相位變化網格，都能滿足連續四重覆蓋的條件。但是以上兩種組合情況對應的星座網格較為簡單直觀，便于星座構型的設計，可以作為星座設計的基礎。

對于連通凹型和非連通型二維圖，可以將下半圖繞對稱中心旋轉180°，使下半圖和上半圖完全重合，而星座網格對下半圖的覆蓋則可以等效為一個與原網格運動方法完全相反的虛擬網格對上半圖的覆蓋。原星座網格和虛擬星座網格將會產生四類重合點，設其分別為“①”“②”“③”“④”，如圖8所示。如果二維圖的半圖包含一個某類重合點，星座網格運動到該類重合點附近時至少有兩個頂點包含于二維圖內。因此當二維圖的半圖包含的每類重合點不少于兩個時，星座網格在該二維圖內至少有4個頂點。在重合點的統計過程中，需要注意的是，對于連通凹型二維圖，中心對稱點必然是其中一個重合點，但考慮到中心對稱點可同時包含進兩個半圖中去，因此中心對稱點及其經度上的重合點都應看做是半個重合點。同時，對于首尾相連的二維圖，其經度邊界上的重合點也應該看做是半個重合點。

4 四重覆蓋星座構型設計方法研究

4.1星座構型初步設計

對于單位平行四邊形的第1種組合，如圖9所示，設連通凸型二維圖的經度寬度LW=Lb1-Lb2，其中Lb1和Lb2分別為其經度邊界，則星座軌道面個數P需滿足：

2π/Plt;LW/2

(20)

則有

(21)

運用第3.2節模型，計算中心對稱點前后一個經度網格的相位邊界點，分別為A，B，C，D，且其相位跨度為uH=uA-uB，則星座每個軌道面的衛星數S滿足：

2π/Slt;uH/2

(22)

則有

(23)

相應的F的取值范圍為F=0,1,…,P-1。

同樣，對于平行四邊形的第2種組合，軌道面個數P需滿足：

2π/Plt;LW/4

(24)

因此

(25)

每個軌道面的衛星數S滿足：

2π/Slt;uH

(26)

因此

(27)

F的取值范圍為F=0,1,…,P-1。

當P較小時，構型不能滿足第2種情況的條件，此時以第1種情況的結果為主。當P較大時，第2種情況的結果往往比第1種情況的設計結果更優，所需要的衛星數量更少。因此在星座設計時，需要對于兩種情況的結果進行綜合，得到較優的構型結果。

4.2星座構型的二次篩選

對于i≤φ≤i+β的整個緯度帶地區，用球面幾何可以證明，高緯度的二維圖可以完全包含于低緯度的二維圖內。二維圖隨著緯度的變化關系如圖10所示。能夠包含于高緯度二維圖的復合平行四邊形也可以包含于低緯度的二維圖，即可以滿足高緯度地區四重連續覆蓋的星座也可以滿足低緯度地區的連續覆蓋。所以在星座設計時，只需要以最高緯度點的二維圖為基礎進行星座設計，所得到的星座構型可以滿足i≤φ≤i+β整個緯度帶的四重連續覆蓋要求。

對于φlt;i的緯度帶地區，由于其二維圖為非凸型，直接進行星座網格設計比較復雜。為了簡化設計過程，可以在以連通凸型二維圖為基礎設計的星座構型基礎上，采用緯度帶驗證法。具體方法就是將φlt;i地區劃分為多條微小的單元緯度帶，以每條單元緯度帶中心緯度作為該緯度帶的緯度進行連續覆蓋驗證，從而對以上設計結果進行二次選擇。如果某一構型能夠實現對所有單元緯度帶的四重連續覆蓋，則該構型能夠實現對整個區域的四重連續覆蓋。圖11為星座設計的整個流程圖。

對于低緯度的非連通型二維圖，其覆蓋情況比較復雜，很難用解析的方法直接進行構型設計。雖然需要采用劃分緯度條帶的方法依次對構型進行篩選，但覆蓋的情況則可用二維圖解析模型和連續覆蓋條件直接進行判斷，而不需要仿真整個覆蓋過程，因此屬于半解析的方法，相比于采用各種進化算法并需要不斷進行覆蓋仿真的現代設計方法，減小了計算量和計算時間。

5 仿真分析

仿真1.設計能夠實現全球連續四重覆蓋的衛星星座構型。其中衛星軌道為圓軌道，高度為20200 km，軌道傾角為55°，星載設備的信號最小可見角為5°。

采用基于二維圖的星座設計方法，對星座構型進行設計與篩選。基于四重覆蓋條件中兩種單位平行四邊形的組合方式，設計結果如表1所示。

從表1可以看出，當P值較小時，星座構型不滿足組合2的條件，設計結果以組合1的結果為主；當P增大時，組合2所對應的結果所需要的衛星數量明顯少于組合1的結果所需要的衛星數量。同時還可以看出，當P≥3時，組合1對應的結果中S的值都為6；當P≥5時，組合2對應的結果中S的值都為3。這是因為當緯度為90°時，目標點的二維圖為首尾相連近乎矩形的條狀凸型(見圖12)，對應的最小相位寬度為133.527°。根據式(23)可知組合1對應的最小的S值為6，根據式(27)可知組合2對應的最小S值為3。

表1 兩種組合方式對應的設計結果Table 1 The results of the two compound modes

結合STK軟件對兩種組合對應的構型結果進行仿真分析，并以我國陸地為覆蓋區域，將各種構型的平均幾何精度因子(Geometric dilution of precision,GDOP)值進行比較，如圖13所示。從圖13可以看出，組合2的結果所需衛星數少于組合1的結果，而組合1的結果平均GDOP值小于組合2的結果。

仿真2. 在仿真1的基礎上，分析15/3/2構型的覆蓋情況。

從表1可以看出，15/3/2不在可以滿足全球四重連續覆蓋的構型之列。從第4.2節的覆蓋條件4可以看出，15/3/2能夠滿足連通凸型二維圖的連續四重覆蓋，即該構型能夠滿足緯度55°以上地區的連續四重覆蓋。將緯度55°以下地區進行微小緯度帶的劃分，并逐條驗證其覆蓋情況。以bool型變量Y表示其是否能滿足對當前緯度帶的連續四重覆蓋，通過不斷細化緯度帶，得到如表2所示結果。

表2 15/3/2構型對緯度帶的覆蓋情況Table 2 Coverage performance of the configuration 15/3/2 for the latitude belts

從表2可以看出，該星座構型不能實現對緯度區間30°～38°的四重連續覆蓋。采用STK軟件對該星座構型的覆蓋情況進行校驗，結果如圖14所示。從圖14可以看出，分析結果與實際驗證情況較為吻合。

6 結 論

基于二維圖的星座構型設計是星座構型設計中的新方法，還需要更加深入與廣泛的研究與發展。通過對二維空間的坐標系的調整，利用球面幾何的方法建立了二維圖的解析幾何模型，同時對二維圖的基本幾何性質進行了深入研究，從而完善二維圖理論，擴展二維圖在星座構型設計上的應用與發展。創造性地將星座對緯度帶的連續覆蓋轉化為對緯度帶上任一點二維圖的連續覆蓋，分析了星座網格的四重連續覆蓋條件。在此基礎上，采用直接設計和驗證篩選兩種思路，提出了四重覆蓋星座構型的設計方法，避開了復雜的覆蓋性能統計過程。最后通過實例仿真，說明了模型的正確性，以及星座構型設計方法的有效性。

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AConstellationDesignMethodforQuadrupleContinuousEarthCoverage

MENG Shao-fei1, LIU Xin-xue1, YANG Qi1, ZHU Tao2

(1.Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China; 2. Xi’an Surveying and Mapping Technological Center, Xi’an 710054, China)

Aiming at the intricate coverage models and inconvenient coverage statistics, a new design method for a quadruple continuous coverage constellation is proposed based on the two-dimensional maps. The preceding two-dimensional space coordinate system is improved and the analytic models of the two-dimensional maps are built via the analysis of the relative positions between the coverage circles and satellite orbits using the spherical geometric knowledge. The models are further studied and the geometric properties of the two-dimensional maps are concluded. By conversion from the continuous coverage of the latitude belt to the continuous coverage of one two-dimensional map in the belt, the single and quadruple continuous coverage conditions are put forward. On this basis, the design and screening methods of the constellation configuration for quadruple continuous coverage are integrated to avoid the complex statistics process of the coverage performance. Finally, the simulation for the two-dimensional theory and constellation design method suggests the feasibility of the new method.

Constellation configuration; Spherical geometry; Two-dimensional maps; Quadruple continuous coverage

V448

A

1000-1328(2017)11- 1160- 08

10.3873/j.issn.1000- 1328.2017.11.004

2017- 03- 06;

2017- 09- 04

孟少飛(1989-)，男，博士生，主要從事飛行動力學與制導，衛星星座構型設計等方面的研究。

通信地址：陜西省西安市灞橋區同心路2號(710025)

電話：13572098502

E-mail: shaofei_m@sina.com