利用 -t圖透視各類碰撞

馬永毅

(河北辛集中學,河北 辛集 052360)

·問題討論·

馬永毅

(河北辛集中學,河北 辛集 052360)

本文將利用v-t圖展示不同類型的碰撞,同時系統總結了所涉及到的關于碰撞的規律,具體包括3類： (1) 根據恢復系數不同劃分的3類碰撞; (2) 根據兩球質量不同劃分的5類碰撞及其相關的二級結論; (3) 根據兩球速度不同劃分的5類碰撞,并著重研究了不同碰撞相互轉換的條件及方法.

碰撞;速度-時間圖像;類型

在高考試題中以碰撞為背景的試題較多,但碰撞的種類繁多,與碰撞相關的二級結論也比較多,而研究碰撞問題應用的規律主要是動量守恒、能量守恒.這兩個規律又是高考的重點、熱點.有效地掌握這些類型各異的碰撞、熟練地應用碰撞的規律,需要對碰撞有更深刻系統的認識.本文將利用v-t圖展示不同類型的碰撞,同時系統總結了所涉及到的有關碰撞的二級結論,使學生對碰撞有更深刻的理解.

1 根據恢復系數不同劃分的3類碰撞

圖1

圖3

2 根據兩球質量不同劃分的5類碰撞

針對完全彈性碰撞,兩球質量不同造成的結果也將不同.

(1) 質量相等的兩個小球發生完全彈性碰撞,結果交換速度.

如圖5所示,由于兩球質量相等,1線段、2線段的斜率大小相同,整個圖形相對于虛線pt0對稱,可得兩球碰后交換速度.

(2)m1gt;m2,兩個小球發生完全彈性碰撞,如圖6所示,1線段斜率的大小小于2線段的斜率,整個圖形相對于p點對稱.

圖5

(3)m1lt;m2,兩個小球發生完全彈性碰撞,如圖2所示,1線段斜率的大小大于2線段的斜率,整個圖形相對于p點對稱.

(4)m1?m2,也就是質量非常大的1球追上質量非常小的2球發生完全彈性碰撞,如圖7所示,1線段斜率趨于0,2線段斜率趨于無限大,碰撞時間t1到t2也非常短,結果,1球速度幾乎不變v1′≈v1,2球被碰后速度增加了碰前兩球相對靠近速度的2倍,v2′≈v2+2(v1-v2).如圖8所示,如果碰前2球速度為0,則v1′≈v1,v2′≈2v1,即碰后1球速度幾乎不變,2球獲得1球速度2倍.

圖7

(5)m1?m2,也就是質量非常小的1球追上質量非常大的2球發生完全彈性碰撞,如圖9所示,1線段斜率趨于無限大,2線段斜率趨于0,碰撞時間t1到t2也非常短,結果,2球速度幾乎不變v2′≈v2,1球碰后速度減少了碰前兩球相對靠近速度的2倍,v1′≈v1-2(v1-v2).如圖10所示,如果碰前2球速度為0,則v1′≈-v1,v2′≈v2,即碰后1球被原速率反彈,2球速度幾乎不變.

圖9

3 根據兩球速度不同劃分的5類碰撞

(1) 碰前碰后速度各異的5類碰撞,以完全彈性碰撞為例.

圖11

第一類:碰前兩球速度同向,碰后兩球速度均沿該方向,如圖11所示.

第二類:碰前兩球速度同向,碰后1球速度反向,如圖12所示.

圖12

圖14

第三類:碰前2球速度為0,碰后1球速度反向,如圖13所示.

第四類:碰前兩球相向運動,碰后兩球均反向運動,如圖14所示.

第五類:碰前兩球相向運動,碰后兩球同向運動,如圖15所示.

(2) 兩球兩次碰撞程度完全相同的條件.

只要有確定質量、確定材料的兩個小球相對速度相等,無論兩球碰前是同向還是反向,無論兩球碰前速度為多大,無論兩球發生的是完全彈性碰撞、完全非彈性碰撞還是非完全彈性碰撞,也無論兩球質量差距是多少,兩球的碰撞時間、碰撞的程度是完全相同的.

圖16

如圖16所示,設質量確定的兩個球發生了兩次完全彈性碰撞,碰前其相對速度相等v1-v2=v3-v4.由v-t圖可判斷這兩次碰撞只是圖形整體上下平移而已,其余無任何差距,進而可推得兩次碰撞時間相同,碰撞的情況也相同.

(3) 兩球兩次碰撞相互轉換的方法.

從v-t圖上觀察可以得到一個結論,兩次碰撞碰前相應球速度的差值與碰后相應球速度的差值均相等,即v1′-v3′=v1-v3=v2′-v4′=v2-v4=Δv,其中Δv是兩次碰撞相互轉換的關鍵量.這樣只要質量及材料確定的兩個球碰前相對速度相等,就可以利用Δv將一種碰撞轉換成另一種碰撞.

根據上述的推導,結論是否成立與碰撞究竟屬于彈性碰撞還是非彈性碰撞無關,因此對這些碰撞均適用;兩球質量的差距只影響圖線的傾斜程度,也不影響結論的成立.

(4) 通過轉換對復雜的碰撞進行簡化.

圖17

既然有確定質量、確定材料的兩個小球相對速度相等,碰撞的情況就完全相同,就可以進行兩次碰撞的相互轉換,因此所有復雜的碰撞都會對應自己的一動碰一靜的簡單的碰撞如圖17所示.

1 漆安慎，杜嬋英.力學[M].北京： 高等教育出版社,1997： 180-188.

2017-05-12)