2017年全國高考理綜(Ⅰ)第34題有多解嗎?

陳新光 張 安

(福建師范大學附屬中學，福建 福州 350007)

2017年全國高考理綜(Ⅰ)第34題有多解嗎?

陳新光 張 安

(福建師范大學附屬中學，福建 福州 350007)

圍繞2017年全國高考理綜(I)卷第34題提供的標準答案展開,采用數學公式推導證明和光學設計軟件Zemax進行模擬驗證其唯一性,并進一步探討本題模型參數設置的合理性.

高考;標準答案;唯一性;光路模擬

每年高考物理試題的嚴謹性和合理性都備受關注.2017年全國高考理綜(Ⅰ)卷第34題的答案是否存在多解問題一直困擾著學生和部分教師.針對這個疑惑,本文將通過數學公式推導證明和利用光學設計軟件Zemax進行光路模擬驗證該題提供標準答案的唯一性,并進一步探討本題模型參數設置合理性.

1 原題與解析

圖1 原題圖

原題.如圖1,一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體,O點為球心;下半部是半徑為R、高為2R的圓柱體,圓柱體底面鍍有反射膜.有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入,該光線與OC之間的距離為0.6R.已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行(不考慮多次反射).求該玻璃的折射率.

圖2 解析圖

解析： 如圖2,根據光路的對稱性和光路可逆性,與入射光線相對于OC軸對稱的出射光線一定與入射光線平行.這樣,從半球面射入的折射光線,將從圓柱體底面中心C點反射.

設光線在半球面的入射角為i,折射角為r.由折射定律有

sini=nsinr.

(1)

由正弦定理有

(2)

由幾何關系,入射點的法線與OC的夾角為i.由題設條件和幾何關系有

(3)

式中L是入射光線與OC的距離.由(2)(3)式和題給數據得

(4)

由(1)、(3)、(4)式和題給數據得

(5)

2 理論推導

圖3 非對稱光路圖

如圖3所示,設光線從A點以θ1射入玻璃材料,折射角為α1,經反射膜P點(任意點)反射之后,在半球面B點以入射角為α2和折射角為θ2發生折射進入空氣,且使得入射光線和出射光線保持平行.分別延長入射光線交OE于E和反射膜MN于N,反向延長出射光線交OF于F和反射膜MN于M.光線AP與輔助線AN的夾角為δ1,光線BP與輔助線BM的夾角為δ2.

由幾何關系可知:

δ1=θ1-α1,δ2=θ2-α2.

(1)

又由于在P點發生反射,且AN和BM都與P點法線平行,故

δ=δ1=δ2=θ1-α1=θ2-α2.

(2)

由折射定律可得，

在A點:sinθ1=nsinα1.

(3)

在B點:sinθ2=nsinα2.

(4)

將(2)式代入(3)和(4)式,

sinθ1=nsin(θ1-δ).

(5)

sinθ2=nsin(θ2-δ).

(6)

整理(5)、(6)式可得

(7)

進一步整理,可得

tanθ1=tanθ2.

(8)

即在滿足本題背景下

θ1=θ2.

(9)

在滿足(9)式的出射光線可有以下兩種情況.

圖4 n=1時光路圖

情況1:光線原路返回到入射點A,如圖4所示.這種情況下折射率n=1.但在通常情況下認為玻璃材料的折射率大于1,可忽略.

情況2:光線在反射膜的反射點必然在中心對稱點C上,而不可能出現在P點位置.入射光線和出射光線關于OC軸對稱,即標準答案提供的光路圖,此時玻璃折射率為1.43,滿足要求.

3 光路模擬

圖5 n=1.43模擬光路圖

本文采用光學設計軟件Zemax進行模擬,當系統參數如表1所示時,對應光路圖如圖5所示.此時,入射光線與光軸平行,出射光線與光軸的夾角為0.006°,可視為平行光出射.該數值模擬結果滿足題目要求,與理論計算結果一致.

表1 Zemax模擬系統設置參數

圖6 n=1.3模擬光路圖

當介質折射率n′不是1.43,且平行光入射時,出射光線與光軸的夾角將會增大,即不是平行光出射.以折射率n′=1.3為例,將表1數據中的玻璃折射率1.43改為1.3,對應的光路圖如圖6所示.此時,入射光線與光軸平行,出射光線與光軸的夾角為6.0246°.

4 模型深究

根據近軸光學單個折射面的像方焦距公式為,[1]

(10)

式中n為入射介質折射率,n′為出射介質折射率,r為折射面曲率半徑.當n和n′分別為1和1.43,r為10 mm時,像方焦距f′為33.25 mm.在近軸近似情況下,通過公式(10)計算得到的像方焦距f′為33.25 mm與本題模型中OC距離為3r近似相等,即本題設中的3r可當作是該折射面的像方焦距.

根據題意及單個反射面的性質,圖1表示的光路可等效為一個厚透鏡結構且像方焦距等于物方焦距,即平行光入射必匯聚于焦點(圖1中的C點),從焦點發出的光線經過折射面后平行出射.厚透鏡結構參數如表2所示,對應光路圖如圖7所示.

表2 厚透鏡結構Zemax模擬設置參數

圖7 厚透鏡結構光路圖

此時,入射光線與光軸平行,出射光線與光軸的夾角為0.006°,即可認為是平行光出射.由此可見,筆者認為本題背景可視為厚透鏡模型改造而來,考查學生的對稱性思想,實為一題融合經典物理模型與核心素養考查的一道好題.

5 結論

針對2017年全國高考理綜(Ⅰ)卷第34題提供的標準答案唯一性的疑惑,本文利用數學公式證明和光學設計軟件Zemax進行光路模擬的方法證實題目所給條件的科學性和標準答案的合理性.因此,筆者認為本題提供的標準答案不存在多解情況.以上僅是筆者的一些拙見,歡迎各位同仁批評指正.

1 李曉彤,岑兆豐.幾何光學·像差·光學設計(第2版)[M].杭州:浙江大學出版社, 2003: 14～15.

2017-06-12)