高等數學教學中融入數學建模的思考與探索

仲寅生

（廣元廣播電視大學，四川 廣元 628017）

高等數學教學中融入數學建模的思考與探索

仲寅生

（廣元廣播電視大學，四川 廣元 628017）

高等數學是農科與理工科的一門公共課程，且與其他專業有著極為密切的關聯.而數學建模作為聯系高等數學理論與高等數學知識實際應用之間的紐帶，唯有掌握數學建模的思想，才能進一步學好高等數學，進而促進其他專業的發展.本文通過分析數學建模融入高等數學教學中的具體步驟，并根據實際情況提出高中數學教學中融入數學建模的途徑，以便能夠全面提升高等數學課程的教學效率，幫助學生進行拓展訓練，有效增強高等學校學生的核心素養.

高等數學；數學建模；實際運用

高等數學教學中，培養學生對數學知識的實際運用意識與能力固然重要，但若能讓學生掌握建模的思想與方法，將能在極大程度上幫助學生理解高等數學.且將建模的思想與方法融入高等數學教學中，還將有利于學生發現問題、思考問題以及解決問題能力的提升.因此，作為高等數學教師，在實際的教學過程中，應注重教學與建模思想的結合，并采取有效的教學方法，以促進學生數學綜合能力的發展.

1 在高等數學教學中融入數學建模思想的作用

將數學建模思想融入高等數學教學中，不僅有利于激發學生的學習興趣，促使學生積極主動的學習與思考.還將有利于學生創新意識的培養，進而促進學生概括、歸納、創新等綜合能力的發展.因此，作為高等數學教師，其在實際的教學過程中，應對數學建模思想在高等數學中的運用給予足夠重視，進而積極利用數學建模思想，提升學生的學習興趣，從而確保良好的教學效果.

1.1 置身現實情境，激發學生的求知欲和學習興趣，提高學生運用知識解決生活問題的能力

傳統的高等數學教學，教師往往過于注重知識的傳授、公式的推導以及定理的證明.簡言之，即教師的目光主要集中在了理論知識層面，其所追求的往往是嚴密的邏輯與完美的推理.而這樣的教學方式，常使學生感到難以理解，久而久之，也便失去了學習的信心.對此，數學建模思想的引進將在一定程度上對原本的定理、概念起到有效的簡化作用，繼而方便學生理解，并由此讓學生感受到高等數學的實用價值，進而激發學生的學習欲望，從而促使學生積極、主動的展開更深層次的探索.如針對固定起點最短路程的相關內容教學，教師便可采取如下方式進行問題設計：最短路是一條路徑，且最短路的任一段也是最短路，現假設于—中只取一條最短路，則從到其余定點的最短路將構成亦可以的根的數.

針對以上題目，通過引進數學建模的思想，將能讓學生觀察更為直觀、形象，繼而有利于激發學生解決問題的欲望，相應的也提升了學生對高等數學知識的實際運用能力與解決問題的能力.

1.2 提升學生概括、歸納的能力，增強學生的創新意識

無論社會或個人，要想獲得長足、穩定的發展，便必然需要不斷地創新.唯有創新才能為社會乃至個人生活增添內動力，進而促進社會或個人的發展.對此，數學模型在高等數學教學中的運用便有利于學生創新能力的發展，且對學生創新意識的激發亦能起到良好的促進作用，從而確保學生的全面發展.

2 高等數學中數學建模的具體步驟

數學建模的過程，實則亦可將其視之為對實際問題的簡化或對數學結構的重新梳理過程.與此同時，在數學建模的牽引下，學生在收集相關數據資料時，還將有利于掌握對象固有的特征一級內在規律，繼而通過觀察問題的主要特征，以反映問題真實的數量關系，從而方便利用相應的數學方法與理論去解決問題.

通常，數學建模的過程需歷經準備、假設、建立、求解、分析以及檢驗等多重環節.其中，模型的準備是為了掌握研究對象的信息而進行了關于問題實際背景以及意義的調查，進而方便利用數學思想來探索問題的精髓，從而將數學思想貫穿于問題的全過程，以實現以數學語言來表達問題.對此，關于模型的假設便必然需要與數學的理論相吻合，且需照顧到數學的習慣，如此方能確保條理的清晰與準確.當然，考慮到數學模型的建立是基于假設的前提，因而針對各量之間的數學關系，可適當利用數學工具來表達.至于之后的求解則是利用前期所獲取的數據資料來模擬計算模型的所有參數，以進一步明確模型的建立思路，進而方便展開數學上的分析.最終通過比較并分析模型分析結果與實際情形，以此來對模型的準確性與合理性進行驗證，若兩者吻合，則需給對相應結果的實際含義進行解釋，反之則需對假設進行修改，使其滿足以上條件.

在許多領域中，都能見到數學建模的身影，如疾病的預測便是一個絕佳的典范，如針對某類病菌感染情況的預測，首先需對該并需的危害、潛伏期以及傳播途徑等基礎知識進行了解，而之后的數學建模則分別做出以下幾種假設，分別為：

（1）現有感染者與單位時間感染人數的比例；（2）現有感染者與單位時間內痊愈人數的比例；（3）現有感染者與單位時間內死亡人數比；（4）患者痊愈后不再次出現感染現象；（5）忽略自然死亡的現象；（6）忽略遷移現象.

以以上假設為基礎，設I(t)為t天時，病菌感染著數，b(t)為感染數，d(t)為死亡率，c(t)為治愈率，則模型的建立應為：

根據感染此病句數據按天公布之特點，進而得出I(t+1)=I(t)+r(t)I(t).至此，只需了解病菌最初的感染人數及其函數r（t），則可利用該模型進行預測.

3 數學建模思想融入高等數學教學的途徑

高等數學，培養學生對數學知識的實際運用意識與能力固然重要.但若能讓學生掌握建模的思想與方法，將能在極大程度上幫助學生理解高等數學，且將建模的思想與方法融入高等數學教學中，還將有利于學生發現問題、思考問題以及解決問題能力的提升.一切數學的概念與知識均是由現實世界所構建的各種模型中抽象而來，因而針對數學理論與應用，利用建模的思想將是最佳手段.對此，作為高等數學教師，其在實際的教學過程中，應時刻滲透數學建模的思想，并注重將數學建模的思想滲透至高等數學的各個角落，包括問題的應用、基本概念的應用高一級課后作業的滲透，注重教學與建模思想的結合，并采取有效的教學方法，以促進學生數學綜合能力的發展.

3.1 在概念引入時滲透數學建模思想

眾所周知，數學來源于生活，因而針對數學概念的形成過程也硬背學生所熟知，如此方有利于學生在面對生活中的實際問題時，嘗試引進數學相關概念，進而從多角度去體會，以抽象出客觀事物的數量關系，進而了解實際問題的數學原理，從而建立與其他領域之間的聯系.

例如，針對導數概念的引進，教師便可首先引導學生就導致的本質，即相對變化率的極限展開思考，隨后通過建立與實際問題之間的聯系，嘗試運用數學模型，從而深化學生對導數本質概念的理解.當然，在實際的教學過程中，教師除了引用經典例子外，還可參照實際問題，如經濟模型中的成本變化率、人口模型中的出生與死亡率等.通過對照實際原型，以從中篩選出有價值的數據與信息，繼而通過建立數學模型的方式來達到解決問題的目的.

3.2 在數學應用時體現數學建模思想

在實際的教學過程中，為進一步體現數學建模的思想，教師可在學生學完每一章節的知識后，聯系實際應用設計一些與本章內容相關的問題，而后要求學生建立數學模型對問題進行合理的簡化與建設，繼而求出問題的答案.與此同時，教師還可在此前數學建模經典范例的基礎上進行適當的擴充，使其范圍不再局限于幾何、物理等領域，而是涉及更多方面，如生物、生態、交通、經濟管理等.通過對這些實例的研究，一方面能可促使學生初步掌握建模的方法，另一方面則是有利于學生分析問題與解決問題能力的提升，繼而讓學生感受到高等數學于實際生活的重要作用，從而充分發揮數學的獨特魅力與價值，以激發學生的學興趣，最終確保良好的教學校規.

例如，當進行微分方程的相關內容教學時，教師便可將歷史上的著名問題引進課堂，如人口增長預報模型，贗品鑒定問題等.

3.3 在課程大作業中突出數學建模思想

在高等數學教學中引進數學建模的思想，除了要求學生要熟練掌握基本的數學概念、原理以及方法同時，還需對建模的思想與方法有相當程度的了解，如此方能達到解決有難度實際問題的目的，而這樣的目的僅是利用現有的課時還遠遠不夠，因而作為高等數學教師，可充分利用課程大作業環節.其中包括總結性的論文、與生活密切相關的綜合性應用題以及數學方法的實現等.如此方能進一步促進學生綜合分析問題以及解決問題能力的發展，繼而增強學生對數學知識的實際應用意識.當然，在課程大作業中，教師還可提出許多現實問題，然后要求學生從中抽象出相應的數學模型，以此突出數學建模思想并提升學生的建模能力，進而達到解決實際問題的目的.

3.4 融入數學建模思想的教學案例

針對在高等數學中融入數學建模的思想，相應的也給任課教師提出了一定的要求.任課教師必須對相關專業知識了若指掌，且具備較寬的知識面，方可對學生進行有效的指導，進而讓學生感受到建模對學習高等數學的重要幫助.在實際的教學過程中，教師還應結合各章節的具體內容，選取其中最具代表性的案例，將數學建模的思想融入其中.

例如，針對函數極限中與“存款”相關的問題，教師便可通過數學建模思想的引進讓學生感受極限在生活中的實際運用；當學習函數的零點存訂立后，則可提出相應的“登山問題”；當學習數列時提出“生小兔問題”以及學習定積分后提出的“訂貨存儲問題”.

在實際的教學過程中融入創新意識，教師具體可通過一題多解的方式，要求學生尋求新的解題思路與方法，進而加強對學生創新意識的培養.高等數學學習過程中，遇到難解的難題是極為常見之事.若此時能勇于打破常規，便可能收獲意想不到的效果.如針對求極限、求不定積分的一題多解以及與最優價格問題相關的建模.

應用意識的引進，其主要目的在于通過解決一些實質性的問題，來讓學生感受到相關知識的具體應用，進而懂得運用什么方法講課解決怎樣類型的問題.與通過零點定理便可有效解決諸如“存款”“極限”以及“登山”一類的問題.與此同時，應用意識的融入還將有利于實踐意識的激發，如極限、定積分等文斗都是融入實踐意識的有效載體.

某些對生活現象的解釋，或經過轉化后最后得以解決或證明，這便是模型化意識融入的最大幫助.與此同時，融入模型化意識，還將有利于將具體問題符號化，進而方便以模型化的方式進行處理.如Fibonacci數列便可運用模型化的思想去進行轉化，且模型化后的結果，無論是在應用或是推廣等各方面都更具價值性.

總之，將數學建模的思想融入高等數學教學中，不僅有利于學生的發展與提高，且對青年教師而言，亦可同等收益.因而針對數學建模思想在高等數學中的引進應當因其廣大高等數學教師的廣泛重視，并在實際的教學過程中注重體現數學建模的思想，如此方有利于學生解決實際問題能力的發展，且將帶動學科教育的共同進步，進而促進教師與學生整體水平的提高.

〔1〕李修清,董錦華,張德全.將數學建模思想融入高等數學教學的探索與實踐[J].桂林航天工業學院學報,2008,13(1):84-86.

〔2〕徐天華.高等數學教學中融入數學建模思想初探[J].阿壩師范學院學報,2006,23(S1):55-57.

〔3〕崔海英,侯文宇,李林杉.把數學建模融入高等數學教學中的兩個案例[J].北京聯合大學學報,2010,24(1):82-84.

〔4〕鄭宗劍,劉瀏,張斌儒.數學建模和數學實驗融入高等數學教學改革初探[J].四川文理學院學報,2012,22(2):146-149.

〔5〕孫樹東.數學建模融入大學數學相關實踐分析[J].長春大學學報，2014（04）：542-544.

G642

A

1673-260X（2017）11-0001-02

2017-08-22