基于貝葉斯網絡的施工項目進度計劃動態更新方法

鄧東磊+胡穎

摘要： 項目的工序間存在著普遍的相依性，在項目的進度管理中，合理考慮工時之間的相依性，有利于更加準確地預測和評估工期風險，從而更有效地控制工程進度。本文建立了一個基于貝葉斯網絡的進度計劃動態更新模型，度量工程進度網絡中工序持續時間的相依隨機性，并進行進度計劃的動態更新，模型用貝葉斯網絡表示工序間的相依關系，由專家估計工序持續時間的邊緣分布及工序間協調系數，然后確定貝葉斯網絡中的條件概率和分布，從而確定各工序持續時間的條件分布和總工期的分布。算例表明該模型能有效預測和控制工時的不確定性，有利于降低工程進度風險。

Abstract： There is the universal dependence between the project processes. In the project schedule management， considering the dependence between time reasonably， is conducive to predicting and assessing the schedule risk more accurately， so as to effectively control the progress of the project. This paper establishes an dynamic updating model of the schedule based on Bayesian network， which is used to measure the dependent random of the process duration in the project progress network， and dynamically update the schedule. The model uses Bayesian network to represent dependence between processes. The marginal distribution of process duration and the coordination coefficient between processes are estimated by experts， and then the conditional probability and distribution in the Bayesian network are determined， so as to determine the conditional distribution of each process duration and total duration. The example shows that the model can effectively predict and control the uncertainty of the working hours， which is conductive to reducing the project risk.

關鍵詞： 項目進度管理；進度計劃更新；相依隨機變量；貝葉斯網絡

Key words： project scheduling；schedule updating；dependent random variable；Bayesian Network

中圖分類號：TU17；F426 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）33-0045-04

0 引言

在項目管理實踐中，不同工序的工時變量之間存在普遍的相依性，且這種相依性受到諸多因素的影響。在實際的項目進度管理中，掌握各個工時變量之間的相依性意義重大，它能夠將工期計劃中的不確定性充分估計出來，提高了預測及評估工期風險的準確度，有利于施工項目工程的進度控制[1]。

國外很多學者都會項目進度網絡中工時的線性相關性具有濃厚的興趣，開展了較為深入的研究，建立的模型基本可歸為三類，分別是仿真模型、解析模型、專家系統模型。Ringer[2]最早在PERT網絡中考慮工時間的相關性，他提出了一個基于圖論約簡算法的解析模型；Fatemi Ghomi[3]、Mehrotra [4]建立了一種基于圖論的路徑相依模型；Van Dorp[5]等提出了一種基于多元統計的方法對工時間的正相關關系進行建模和度量。Padilla & Carr[6]開發了一個仿真模型來評價項目進度網絡中的不確定性；Woolery[7]、Toura[8]等采用蒙特卡洛技術，建立了考慮工時相關和獨立情形的隨機進度網絡模型；Wang & Demsetz[9]開發了一種考慮共同因素影響下產生的工時相關性仿真模型；Levitt and Kunz[10]、Cho[11]等建立了考慮工時相依性的進度管理的專家系統。這些方法對項目進度網絡中的各種相依關系沒有進行系統的研究，相關系數矩陣難以直接估計且須滿足正定條件，工時間的相依性沒有應用在進度計劃的動態更新上。本文將貝葉斯網絡與進度計劃網絡相結合，建立工時的相依隨機網絡結構，用直觀的協調系數度量工時之間的相依性，分析工時的條件分布，對項目進度計劃進行動態更新。

1 貝葉斯網絡的基本原理

貝葉斯網絡是一個帶有概率注釋的有向無環圖，這個圖模型能夠表示變量集合的聯合概率分布，可以分析大量變量之間的相互關系，利用貝葉斯定理的學習和統計推斷功能實現預測、診斷、分類等任務。貝葉斯網絡使用概率表示所有形式的不確定性，用概率規則來實現學習和推理的過程。關于一組變量X={X1，X2，…，Xn}的貝葉斯網絡由以下兩部分組成：

①一個表示X中變量的條件獨立斷言的網絡結構S；

②每一個變量相聯系的局部概率分布集合P。endprint

兩者定義了X的聯合概率分布。S是一個有向無環圖，S中的節點一對一對應于X中的變量。以Xi表示變量節點，Pai表示中Xi的父節點。S的節點之間默認弧線則表示條件獨立。X的聯合概率分布表示為

以P表示式（1）中的局部概率分布，即乘積中的項p（xi|pai）（i=1，2，…，n），則二元組（S，P）表示了聯合概率分布p（X）。當僅僅從先驗信息出發建立貝葉斯網絡時，該概率分布是主觀的，當從數據出發，進而建立貝葉斯網絡時，該概率是客觀的[13]。

在應用領域中構建貝葉斯網涉及3個步驟：①分辨出建模領域中重要的變量及其可能取值，并以節點表示；②判斷節點問的依賴或獨立關系，并以圖的方式表示；③獲得貝葉斯網定量部分所需要的概率參數。

2 基于貝葉斯網的進度計劃動態更新模型

2.1 基于貝葉斯網的相依隨機網絡計劃結構

傳統的建設項目進度管理方法主要包括關鍵路徑法（Critical Path Method，簡稱CPM）和計劃評審技術（Project Evaluation and Review Technique，簡稱PERT），CPM和PERT網絡計劃是根據工序之間邏輯關系而繪成，傳統的網絡計劃由于不能反映工序之間的相依關系，因此在項目風險管理、計劃更新等方面的應用受到很大的限制。單代號網絡計劃（AON， activity on node）與貝葉斯網絡都是有向無環圖，都以節點表示問題變量，以有向邊表示變量間的關系；所不同的是，前者描述變量間的前后邏輯關系，而后者描述變量間相互影響的相依關系[1]。因此，本文將單代號網絡計劃與貝葉斯網絡相結合，用來描述工時之間相依性的網絡計劃結構。

工時間的相依性可分為序列相依性與并行相依性[1]。對于序列相依的工序，可以直接用網絡計劃的有向邊表示前后工序的相依關系，從而將網絡計劃直接轉化為貝葉斯網絡圖。圖1為某貝葉斯網絡圖，A，B，…代表工序名稱，a，b…代表工時變量，箭線A→B表示A、B間的相依關系。在圖中，同一調線路上的工序之間都存在相依關系[1]。對于并行相依性，主要存在有兩種情況：①共同的緊前工序使不同的緊后工序之間產生相依性，如圖1中，工時變量f的變化可能會引起工時變量g、h的相同變化，工時變量g的變化可能會引起工時變量i、j的相同變化，這時g、h，i、j間就存在相依性；②受共同的外在因素的影響使并行工序間產生相依性，圖1中，F工序完成后的設計變更可能會使G、H工序都拖延，I、J實施中的惡劣天氣可能會使I、J工序都拖延，這些因素使G、H，I、J間產生相依性[1]。根據貝葉斯網的條件獨立性假設，第一種情況下的并行相依性已經被貝葉斯網絡圖中的序列相依關系所體現[18]。第二種情況下，可在貝葉斯網絡圖上針對并行工序添加共同的因素變量，使并行的工時變量相依，但條件獨立于因素變量。

在一個考慮序列相依性及并行相依性的貝葉斯網絡中，假定有一個包含n個工時變量的隨機變量集V，有一個包含m個因素變量的隨機變量集W，P表示條件概率分布集，K表示因素變量與工時變量間有向邊的集合，L表示工時變量間有向邊的集合，G表示有向無環圖，則該貝葉斯進度網絡可表示為：

2.2 工時相依度的估算

相依性度量的方法相應有不同的指標，但應用最廣泛的還是Pearson的相關系數（r）。

相關系數（r）可以通過大量的統計數據計算得出，但考慮到工程項目的一次性和單件性特征，針對特定項目工序的持續時間往往難以收集到大量的樣本數據，所以工時間的相依度大都只能通過專家的先驗知識進行估計。而由式（3）可以看出，即使經驗非常豐富的專家也很難準確地估計工時之間的相關系數。因此，本文采用協調系數[14]（τ）來度量工時之間的相依性。設（X1，Y1），（X2，Y2）是隨機變量（X，Y）的兩個獨立樣本，X，Y間的協調系數為[14]：

τXY表征變量X、Y的變化是否協調，0≤τXY≤1。τXY=1，表示X、Y的變化完全協調，X增大，Y也增大；τXY=0，表示X、Y的變化完全不協調，X增大意味著Y減小。對τXY求導可得：

由此可知，協調系數（τ）是相關系數（r）的單調增函數，通過專家估計出的協調系數可以求得相關系數：

2.3 工時的條件概率分布

貝葉斯網絡計劃中的概率參數包括兩部分：一部分是節點變量的概率分布，描述節點變量即工時變量和因素變量的不確定程度；另一部分是節點變量間的條件概率分布，描述節點變量的相依程度。在工程實踐中，工時分布一般可根據實際情況選用正態分布、三角分布、β分布、對數分布等[16]，本文假設工時變量為正態分布；因素變量一般由專家確定離散的概率分布集。對于因素變量與工時變量之間的條件分布，可由專家直接估計不同的因素條件下工時的條件分布；工時變量由于均為連續，無法直接確定其條件分布，可以先估計相依度（如相關系數等），再根據相依度估計相依工時變量間的條件分布。

在給定因素變量的情況下，工時變量的條件分布由專家直接進行估計[17]。如天氣變量W={W1，W2}，受天氣影響的工序A的工時變量TA的條件分布可估計為：

兩個相依的工時變量之間的條件分布可由它們之間的相關系數求得：對于貝葉斯網絡計劃中的兩個工序A、B，其工時變量分別為TA、TB。假設（TA，TB）為雙變量正態分布，均值為（μA，μB），協方差矩陣∑=（σij），其中σ11=σA2，σ22=σB2，σ12=rABσAσB，rAB為TA、TB間的相關系數。則

2.4 進度計劃的動態更新

在工時的條件分布已知的情況下，我們可以將已完工序的持續時間作為新的“證據”，去更新未完工序的工時分布。同理，當環境因素等發生變化時，可根據式（7）去更新受影響工序的工時分布。

設有兩個工序A、B，A是B的緊前工序，其工時變量TA、TB為正態分布[17]：endprint

3 進度計劃動態更新模型的應用

3.1 進度計劃動態更新的一般步驟

要建立一個項目的相依隨機進度計劃并進行動態更新，包括三個主要步驟[1]：

①確定基于貝葉斯網絡的相依隨機進度網絡結構。明確工序間的邏輯關系，繪制單代號（AON）網絡計劃；分辨工時的影響因素，明確工時的并行相依關系和序列相依關系，完成貝葉斯網絡計劃圖。

②度量工時變量之間的相依程度。估計工時變量的均值和方差，估計因素變量的取值及概率；確定工時變量間的協調系數（τ），進一步確定相關系數（r），得出工時變量的條件分布；估計因素變量給定的條件下工時變量的條件概率。

③更新進度計劃參數。當部分工序已經完成或者影響因素發生變化時，更新后續工序或受影響工序的工時分布；更新總工期的均值及方差，更新工程進度的風險評估值。

3.2 算例

實現項目進度計劃動態更新的方法有多種，本文借助Excel工作表的宏命令來實現。某項目各工序如圖2所示，各工序的邏輯關系、工時分布，以及實施過程中的實際工時、影響因素及其概率如表1所示。

專家估計的工序間協調系數（τ）及推算的相關系數（r）見圖3。以實際工時和影響因素為新證據對后續工序進行更新，用Excel計算的結果如圖3所示。計算步驟為：計算相關系數（r）；計算受因素影響的工時分布；計算工時的條件分布；工時更新。

4 結論與展望

用基于貝葉斯網絡的相依網絡計劃結構，可以很直觀地描述工時之間的序列相依性和并行相依性；文中提出的協調系數和因素概率表有利于專家直觀地估計工時之間的相依性；利用工時的相依性，將已完工時及實際因素作為證據去更新后續工時計劃的方法為實際工程進度計劃的調整提供了新的思路。更新后的工時期望值更接近于實際工時，工時方差小于初始計劃的方差。因此，考慮相依性的進度計劃及其更新模型能較好地預測和控制工時的不確定性，有利于減弱工程進度風險。

由于缺乏工時信息統計數據，使得在實際應用過程中，難以用參數學習的方法確定工時變量間的條件概率分布，而主要依靠專家的先驗知識進行估計，從而降低了本方法的科學性和精度。因此，在今后的項目管理實踐中，應注重收集的工時相依信息，為同類工程的工時相依性研究提供支持。

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