數學解題反思：層次性及其案例（下）

文︳潘小明

數學解題反思：層次性及其案例（下）

文︳潘小明

3.解題反思的技術性層次

數學解題的反思不能停留于常識性、知識性的反思，特別是不能停留于只追求或者只滿足于當下問題答案的獲得。從解題技術層面來說，解題過程中的演算是否嚴密，解法是否簡潔，結論是否科學合理，方法或結論能否推廣等，都是值得思考的問題。數學解題反思作為一種“反向思考”“重新思考”“回顧總結”的思維方式，尤其要注意引導學生對如下解題技術的關注：

一是對查錯、糾錯技術處理的關注。在此關注中，學生通過查找并糾正解題過程和結果的錯誤實現解題過程和結果的完善。

二是對解法優化技術處理的關注。在此關注中，學生反思除了當下的解法，還有沒有其他的解法，并且比較不同解法的優劣。

三是對問題變式技術處理的關注。在此關注中，學生通過引申、推廣或改編所求解的問題實現舉一反三的解題目的。

整理得4x2+4=0，該方程在實數范圍內無解，所以原分式方程在實數范圍內無解。

學生家長看到了學生的解答結果，說：“你說沒有解，可我將x=0代入原方程兩邊，等式是成立的呀！你能不能再研究一下，看看方程究竟有沒有解？”

因找到了，學生作了進一步的反思，利用合分比定理對分式方程進行變形，什么情況下可以保持同解？什么情況下又會不同解呢？

學生在解答課外題目的過程中，經由家長提醒和個人的自主反思，發現了錯誤。在老師的幫助下，學生獲得關于分式方程利用合分比定理求解時兩類方程解的一般性關系，認識到用合分比定理解分式方程時雖然可能簡便些，但也容易產生增根或失根的問題，需要自覺地注意。

在上述解題過程中，學生面對一道已知條件求值的問題，基于不同的分析角度，獲得了不同的解題方法，拓寬了解題的思維。學生在反思當下解法，發散思考其他解法的同時，也逐步形成了不同解法進行比較求優的意識。

案例6 一位女學生對一道數學題的自我探究。

案例描述與分析 一位被同學稱為學霸的女學生做下面的題：

順次連接任意四邊形各邊中點，所得四邊形是什么圖形？你能證明嗎？

通過自己的探索，這位女學生明確地得到了答案：所得的四邊形是平行四邊形，并給出自己的證明。但她沒有就此結束自己的探索，而是進一步思考：如果順次連接各邊中點，中點所在的四邊形不是任意的四邊形，而是特殊的四邊形。那么，由所連接中點構成的四邊形又是怎樣的圖形呢？我能不能先畫一畫圖，然后猜一猜，再證一證呢？

基于這樣的反思，她得到了如下幾個有待探究的變式題：

（1）順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想；

（2）順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想；

（3）順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想；

（4）順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想；

（5）順次連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想。

由該案例可以看出，學生通過做題，然后進行一題多變式的解題反思，不僅加深了對原有探索問題數學特征的認識，而且在探索“自己的問題”過程中進一步掌握了與四邊形有關的數學概念，強化了各類特殊四邊形的性質與判定定理，以及與此相關的諸如三角形中位線定理等數學命題的理解與運用，并基于數學變式更好地揭示了不同知識點之間的內在聯系，提高了數學探究思維能力。

4.解題反思的思想性層次

學生的數學思想要以學生在解題中的數學反思為中介。較之于常識性、知識性和技術性層次的解題反思，思想性層次的解題反思反映了學生在解題過程中對數學思想方法的感悟，體現了學生對特定數學問題精髓的把握，暴露了學生在相對較深層次的數學解題思維。

案例描述與分析 一位女學生通過解一元二次方程求出x的兩個根，然后分別代入式子，費了好大精力求出了給定代數式的值。在這一過程中，她“自我感覺不怎么好”，于是繼續進行思考。她在作業的后記中寫道：“題目是算出來了，可怎么這么繁呀！于是我想，這道題有沒有簡便的方法呢？能不能不求出x的具體值來解這道題？后來我覺得自己好像可以對已知的方程進行一些變換，運用整體代入化簡的方法來試試。”她邊想邊試，最終得到自認為滿意的解法：

解題反思不僅是學生對解題經驗的分析，也是對解題過程的監控和評價，還是在分析、監控和評價基礎上對自我解題的過程與結果所進行的一種批判性思考。在本案例中，女學生因對一種相對較繁解法不滿而主動尋求優化的解法，并因此產生了對解題思想方法的初步反思。她在嘗試中找到了將已知的方程看成一個整體，然后進行必要的變換、代入，本質上是整體思想在解題中的具體運用。這種思想由于把解題的注意力和著眼點放到了已知條件和待求值問題的整體性結構上，有利于從整體上把握問題的求解，使問題解答的過程得以優化。

案例8 已知等腰梯形ABCD的上底邊AD為3cm，下底邊BC為7cm，對角線AC與BD相互垂直，試求該等腰梯形的面積。

案例描述與分析 一位平時成績中等的學生拿到題目，首先想到的方法是利用梯形面積公式來解。由于上底邊與下底邊的和可輕易求得，所以將解題的關鍵放到了求該梯形的高上。對此，他先畫出了示意圖（如圖1）。由于圖上沒有現成的高，于是從A點作出底邊的高線。不過，他怎么也找不到求出這條高線長度的方法。他想：“怎么弄？梯形的高在哪？直接畫、直接算，弄不出來呀！要不要重新找個方法？老師以前說過，解與梯形有關的題目時可以考慮將梯形轉化為三角形、平行四邊形或其他一些特殊圖形。這道題要不要這樣弄呢？怎么弄？好像可以畫一條輔助線！嗯，找到了！”他通過點D作對角線AC的平行線，交下底BC的延長線于E（如圖2），將求原等腰梯形ABCD的面積轉化成求一個斜邊長10cm的等腰直角三角形DBE的面積，很快求得了答案。

圖1

圖2

學生最初是想求出等腰梯形的高，然后利用梯形面積公式求解，然而他發現直接算，算不出來。基于這樣的困境，他進一步反思，在此過程中，他想到了老師的話，激活了個人數學解題的經驗，通過比照以前的數學解題經驗產生了相似性“想題”“做題”的行動。在此過程中，他的反思思維將解題目標定位于將難以直接求解的數學問題轉化為容易求解的數學問題，在本質上體現了“轉化”這一重要數學思想方法的運用。由此可見，學生在數學思想方法層面的反思不僅有利于其整合、優化自己的解題思維，也有利于實現解題思路的突破或解題方法的創新。【本文系基金項目：泰州學院教授博士基金項目“數學教師實踐性知識研究”（TZXYJB/201502）階段性成果之一】

（作者單位：江蘇省泰州學院數理學院）

[1]Van Manen，M.1977.Linking ways of knowing with ways of being practical[J].Curriculum Inquiry，（6）：205-228.

[2]Zeichner，K.M.amp;D.P.Liston 1987.Teaching students to reflec[J].Harvard Educational Review，（57）：23-483.

[3]申繼亮，劉加霞.論教師的教學反思[J].華東師范大學學報（教育科學版），2004（9）：46-47.

[4]約翰·杜威.我們怎樣思維·經驗與教育[M].姜文閔譯.北京：人民教育出版社，1991.