獅子一定吃羊嗎？

孫文長

一只羊偶然進入了獅子群，一定會被吃掉嗎？如果從動物世界來看，答案是肯定的。但如果從博弈論來看，就不一定了。

博弈論是現代數學的一個分支，主要考慮一定情境下個體的預測行為和實際行為，并研究它們的優化策略。通常，博弈論會創設假想場景，設置規則，規定一定數量的個體；然后在規則條件下，這些個體有若干選擇，可以采取一系列相應行動；每一種行動都對應一種回報，但并不都是個體的最大回報。這又稱為“博弈游戲”，目標就是找出每個個體的最大回報，及其行動方式。

博弈論的分析方法，目前已被廣泛應用于經濟學、生物學、政治學和心理學等學科，并對拍賣、投票和市場經濟等方面的競爭行為進行了很好的解釋。而且，由于博弈論的性質，也產生了一些有趣的“燒腦”問題，比如羊和獅子的博弈。

只有草可吃的獅子

羊和獅子的故事，其實就是研究個體在有限資源中，怎樣競爭勝出。

一座無名島遍地生長著青草，繁盛豐茂，但沒有其他動物在這生活，除了一群獅子。獅子們都是完全相同的，個體間沒有差異，并且完全理性。一頭獅子能意識到其他所有獅子是完全理性的，并且知道其他獅子也能意識到自己意識到的。也就是說，每一頭獅子都知道彼此俱是完全理性的，并且體力相同，個體沒有差異。這種相互認識就是所謂的“常識”，它確保沒有獅子會冒險，去試圖戰勝別的獅子。

由于沒有其他動物（可口食物）在島上，獅子會非常饑餓，但它們不會彼此攻擊，試圖吃掉對方。因為它們體力一樣，攻擊也一樣，不然最終會全部“戰死”。這不是任何獅子想要的結果，畢竟它們都是完全理性的。所以，每頭獅子寧愿饑餓地活著，也不愿遭遇打架的必死結局。那么沒有選擇，它們只能吃草生存。雖然草是無限供應的，但它們還是更喜歡吃肉。

某一天，一只羊奇跡般出現在島上（多么不幸啊）。面對一群餓獅，這只羊還有生存機會嗎？

獅子更喜歡吃肉，假設獅子吃羊獨食，不愿也不會分享。任何一頭獅子若吃了羊，會被撐得太飽，防御力大降，從而成為其他獅子的美食。那么，對每頭獅子來說，最大回報的行動方式是什么？吃羊，還是不吃？換句話說，羊能活下來嗎？

逆向歸納法

羊能否活下去，關鍵取決于島上的獅子數量（以N表示）。

算出這個數量，是演繹博弈論邏輯的一個好方法，也是演示逆向歸納法的好途徑。邏輯歸納是從特殊到一般，從部分到全部的推理過程。逆向歸納法，就是首先仔細思考某步行動可能引起的所有后續反應，以及后續反應的后續反應，直至博弈結束，然后從最后一步開始，逐步倒推，找出最優選擇。

在羊和獅子的博弈中，獅子的數量肯定是正整數。倒推到N的最小值，也即最基本狀態，就是N=1。如果島上只有一頭饑餓的獅子，它會毫不猶豫地吃掉這只羊。這沒有懸念，因為沒有其他獅子與之競爭。

當N=2呢？如果島上有兩只獅子，它們都很理性，也都意識到，假如自己吃羊，就會太撐而失去自衛能力，然后被另一頭獅子吃掉。結果兩頭獅子都不愿吃羊，這三只動物就在島上吃草，一起幸福地生活下去（如果兩頭餓獅的理想是完全理性，那就可以稱之為幸福）。

N=3呢？其實，任何一頭獅子若吃羊，效果就相當于，它自身變成一只毫無防御力的羊。這時，N=3就變成了N=2的博弈狀態，其余的獅子也都不會試圖去吃這只“新羊”—毫無防御力的獅子。所以，島上離羊最近的獅子，就會吃羊，然后三頭獅子生活在島上，彼此和平共處。

對于N=4的情況，任何一頭獅子若吃羊，就會變成N=3的場景。這意味著，吃羊的獅子最終會被其他獅子吃掉。由于沒有一頭獅子希望這種事臨到自己身上，它們就誰也不吃羊，把羊留了下來。

這場博弈的結果取決于離羊最近的獅子采取什么行動。對于每一個正整數N，獅子都意識到，一旦吃羊就會變成N-1的情境。如果N-1的情境下，吃羊能自己存活，那么最近的獅子就會吃掉它，否則就不會吃，并且所有獅子都不會吃。所以，應用逆向歸納法回到最基本情況，就可以得出結論：當島上獅子數量為奇數時，羊總會被吃掉；當為偶數時，羊就會活下去。endprint