漂浮式獨(dú)塔斜拉橋豎彎剛度評(píng)估新方法

康厚軍，蘇瀟陽，龔平，蔡向陽，劉海波，胡建華，郭鐵丁

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082； 2.湖南省汝郴高速公路建設(shè)開發(fā)有限公司，湖南 郴州 423000；3.湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院，湖南 長(zhǎng)沙 410008)

漂浮式獨(dú)塔斜拉橋豎彎剛度評(píng)估新方法

康厚軍1?，蘇瀟陽1，龔平2，蔡向陽2，劉海波3，胡建華3，郭鐵丁1

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082； 2.湖南省汝郴高速公路建設(shè)開發(fā)有限公司，湖南 郴州 423000；3.湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院，湖南 長(zhǎng)沙 410008)

斜拉橋的豎彎剛度評(píng)估一直是橋梁動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題.基于斜拉橋中拉索對(duì)橋面梁起彈性支承作用的受力特點(diǎn)，針對(duì)漂浮式獨(dú)塔斜拉橋豎彎剛度評(píng)估問題建立了一個(gè)新的評(píng)估方法：建立漂浮式獨(dú)塔斜拉橋新的三梁離散彈簧整體動(dòng)力學(xué)模型，以及相應(yīng)動(dòng)力學(xué)理論，利用傳遞矩陣法進(jìn)行求解，從而對(duì)漂浮式獨(dú)塔斜拉橋的豎彎剛度進(jìn)行評(píng)估.在三梁離散彈簧模型中，將斜拉索視為無質(zhì)量彈簧，將橋塔視為考慮軸力影響的歐拉柏努利梁，將橋面從與橋塔交接處截開為兩根歐拉柏努利梁.最后通過算例分析和有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，表明本文提出的評(píng)估方法具有較高的精度和效率，可應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)中的計(jì)算和剛度評(píng)估.

斜拉橋；豎彎剛度；評(píng)估；建模；傳遞矩陣法

中國目前正處在大跨度橋梁建設(shè)的高潮期[1]，而斜拉橋以其優(yōu)越的跨越能力，合理的受力體系，美觀的結(jié)構(gòu)形式，良好的經(jīng)濟(jì)性能，已成為現(xiàn)代橋梁工程中發(fā)展最快，最具競(jìng)爭(zhēng)力的橋型[2]，并得到廣泛應(yīng)用[3].斜拉橋由于其跨度大和柔性斜拉索作為彈性支承的特點(diǎn)，使結(jié)構(gòu)整體剛度較低，在動(dòng)力方面有不同于一般工程結(jié)構(gòu)的特殊性[4]，剛度不足是其主要問題[5].因此，斜拉橋豎彎剛度的正確計(jì)算和評(píng)估，對(duì)斜拉橋成橋安全起著至關(guān)重要的作用，也決定著斜拉橋的進(jìn)一步發(fā)展.目前結(jié)構(gòu)剛度評(píng)估主要有2種方法，一是基于對(duì)變形計(jì)算和測(cè)量的評(píng)估[6]；另一種是對(duì)結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)周期或頻率的分析[7].傳統(tǒng)的計(jì)算結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)周期或頻率的方法主要是利用運(yùn)動(dòng)微分方程或者能量守恒原理，略去次要影響因素，得出近似計(jì)算公式，但這種方法進(jìn)行模態(tài)形狀分析相當(dāng)困難.

一直以來,科學(xué)工作者和橋梁工作者都想找到一種既精確又方便的斜拉橋整體剛度的分析方法.除了通過有限元法建立全橋整體模型外，僅Cao等人[3]建立了剛性塔柔性梁式斜拉橋的整體動(dòng)力學(xué)模型.該模型雖然能揭示斜拉橋整體的一些力學(xué)性能，但由于未計(jì)入塔的剛度影響，仍具有較大的局限性.由于斜拉橋整體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，兼有剛與柔耦合的特點(diǎn)，并且結(jié)構(gòu)為高次超靜定結(jié)構(gòu)，建立整體動(dòng)力學(xué)模型并對(duì)其進(jìn)行理論分析相當(dāng)困難.

經(jīng)典傳遞矩陣法是20世紀(jì)20年代建立起來的用于研究彈性構(gòu)件組成的一維線性系統(tǒng)振動(dòng)問題的方法，在20世紀(jì)60～70年代的結(jié)構(gòu)振動(dòng)研究中被廣泛應(yīng)用[8].本課題組[9-13]基于傳遞矩陣法和對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模模型理論，對(duì)索拱結(jié)構(gòu)的面內(nèi)、面外振動(dòng)、懸索橋、拱橋和斜拉梁的整體動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，為該類復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)和參數(shù)分析，以及剛度評(píng)估建立了新的分析方法.Rosen等[14]建立了非線性傳遞矩陣法，用于對(duì)彎曲和扭轉(zhuǎn)桿件的大變形進(jìn)行了研究.Abbas等[15]應(yīng)用有限元傳遞矩陣法研究了高溫環(huán)境下變厚度殼的振動(dòng)特性.目前，傳遞矩陣法由于其建模靈活、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)，已在諸多現(xiàn)代工程技術(shù)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用[16].但是，針對(duì)斜拉橋這種傘形結(jié)構(gòu)，其即非有規(guī)律的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，也非真正意義上的平面結(jié)構(gòu)，傳遞矩陣法雖具有很多優(yōu)勢(shì)，但也很難應(yīng)用于斜拉橋的靜動(dòng)力學(xué)研究中.

綜上所述，為了建立一種既精確又方便的斜拉橋整體剛度評(píng)估方法，本文擬基于對(duì)斜拉橋整體結(jié)構(gòu)體系和受力特點(diǎn)的分析，針對(duì)漂浮式獨(dú)塔斜拉橋建立適合于動(dòng)力學(xué)分析的整體動(dòng)力學(xué)模型，即三梁離散彈簧動(dòng)力學(xué)模型.并基于該整體動(dòng)力學(xué)模型建立斜拉橋整體豎彎剛度的基本計(jì)算理論和評(píng)估方法.

1 斜拉橋整體動(dòng)力學(xué)模型

圖1所示為一獨(dú)塔斜拉橋成橋狀態(tài)的常見立面構(gòu)型.斜拉橋?yàn)楦叽纬o定結(jié)構(gòu)，橋面自重和荷載通過斜拉索傳遞給橋塔，再通過橋塔傳遞給地基和基礎(chǔ).在斜拉橋的受力體系中，斜拉索的主要作用是對(duì)橋面的彈性支承.在靜力學(xué)方面，斜拉橋的受力非常清晰簡(jiǎn)潔，但對(duì)于斜拉橋的動(dòng)力學(xué)問題，卻相當(dāng)復(fù)雜，特別是整體動(dòng)力學(xué)行為的研究，至今也未找到一個(gè)真正意義上的全橋動(dòng)力學(xué)模型.為評(píng)估斜拉橋的整體豎彎剛度，基于斜拉索起彈性支承作用的特點(diǎn)，可以忽略斜拉橋自身的局部振動(dòng)(斜拉索的振動(dòng)).因此，本文將斜拉索簡(jiǎn)化為一無質(zhì)量彈簧，其質(zhì)量可以平均分配到塔和梁的連接點(diǎn)上(本文暫時(shí)忽略其質(zhì)量對(duì)整體剛度的影響).獨(dú)塔斜拉橋的成橋立面構(gòu)型就可簡(jiǎn)化為如圖2所示的整體力學(xué)模型.該模型仍無法對(duì)其進(jìn)行求解，需要對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步處理.為方便動(dòng)力學(xué)問題的求解和分析，本文將橋面梁在與橋塔相交處截開分為兩根梁，分別記作梁1和梁2.同時(shí)，將塔同樣視為一根考慮軸力影響的歐拉柏努利梁，記為梁3.將梁1和梁2分別旋轉(zhuǎn)至與梁3平行，則斜拉橋整體力學(xué)模型可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為如圖3所示的三梁離散彈簧模型.該模型簡(jiǎn)單易懂，受力明確，并將原來的傘形體系變?yōu)殒準(zhǔn)襟w系，便于采用傳遞矩陣法進(jìn)行求解.至此，本文首次建立了真正意義上的斜拉橋整體力學(xué)模型.通過該模型考慮邊界條件，可以對(duì)成橋整體剛度進(jìn)行分析計(jì)算.

圖1 斜拉橋成橋狀態(tài)立面示意圖Fig.1 Elevation sketch of complete state of cable-stayed bridge

圖2 斜拉橋成橋狀態(tài)力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of complete state of cable-stayed bridge

圖3 三梁離散彈簧模型Fig.3 The dynamic model of three beams with discrete springs

2 斜拉橋整體動(dòng)力學(xué)理論

為建立斜拉橋的動(dòng)力學(xué)控制微分方程，做如下基本假設(shè)：1)梁和塔均為細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)(截面高跨比小于0.1)；2)不計(jì)索的垂度和質(zhì)量，將拉索簡(jiǎn)化為如圖2所示的無質(zhì)量彈簧；3)忽略塔自身重力產(chǎn)生的軸力影響；4)記入拉索初張力對(duì)梁軸力的影響；5)假定梁為漂浮式，即橋面和塔無接觸.在此假定的前提下，本文模型和理論適用于斜拉橋成橋狀態(tài)豎彎剛度的評(píng)估.為便于表示，分別建立各梁的坐標(biāo)系如圖2所示.分別用坐標(biāo)x，y表示整體坐標(biāo)，用坐標(biāo)x1，x2和x3表示梁的軸向坐標(biāo)，用w1，w2和w3分別表示三梁橫向動(dòng)位移，長(zhǎng)度分別分L1，L2和L3.由于梁1與2本為一根梁，因此根據(jù)連續(xù)條件，兩梁連接處端點(diǎn)的狀態(tài)向量應(yīng)滿足連續(xù)性假設(shè)，即兩梁端橫向位移、彎矩相等，轉(zhuǎn)角、剪力互為相反數(shù).為分析方便和便于考慮軸力對(duì)梁的影響，將三梁分別根據(jù)索的數(shù)量n分成n+1段，其長(zhǎng)度分別為l1,i，l2,i和l3,i(i=1,2,3,…,n+1)，彈簧的剛度分別為ki(i=1,2,3,…,n).則整個(gè)斜拉橋的勢(shì)能可以表示為：

(w1,icosθi-w3,isinθi)2+

(w3,isinθi-w2,icosθi)2+

(w1,icosθi-w3,isinθi)+

(w3,isinθi-w2,icosθi)

(1)

式中:

kn+1=Pn+1=0

(2)

動(dòng)能可以表示為:

(3)

由哈密爾頓變分原理,得

(4)

可得斜拉橋整體自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)控制微分方程：

(w1,icosθi-w3,isinθi)cosθi+

(5)

(w3,isinθi-w2,icosθi)cosθi-

(6)

(w1,icosθi-w3,isinθi)sinθi+

(w3,isinθi-w2,icosθi)sinθi-

(7)

式中：Tm,i和Pi分別為梁和索的初始軸力；Xm,i為拉索作用位置；θi為斜拉索與塔的夾角；ρm,iAm,i和Em,iIm,i分別為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量和梁橫截面抗彎剛度.

至此，本文首次建立了飄浮式獨(dú)塔斜拉橋的整體自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)控制微分方程，將在下一節(jié)中對(duì)其進(jìn)行求解.

3 傳遞矩陣法求解

由方程(5)至(7)可知，斜拉橋的整體自由振動(dòng)方程相當(dāng)復(fù)雜，對(duì)此進(jìn)行理論求解相當(dāng)困難.因此，將斜拉橋的每段梁分開考慮，彈簧作用通過端點(diǎn)條件考慮，應(yīng)用傳遞矩陣法進(jìn)行求解.

各段梁的運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)寫為：

(8)

采用傳遞矩陣法計(jì)算斜拉橋豎彎自由振動(dòng)時(shí)的頻率.為便于進(jìn)行分析和編程計(jì)算，將斜拉索作用位置考慮為節(jié)點(diǎn)，其余梁段考慮為等截面梁，變截面梁可通過細(xì)化梁段加以考慮.

令

wi(xi,ti)=wi(xi)qi(ti)

(9)

代入式(8)有：

(10)

化簡(jiǎn)后，得

(11)

令

(12)

改寫為：

(13)

(14)

則有：

(15)

式(15)的解為：

qi(ti)=Aisin(ωiti+θi)

(16)

綜合式(11)(12)(14)，可得到：

(17)

令

(18)

式(17)可寫為：

(19)

其通解為：

wi(xi)=Di,1sin(αixi)+Di,2cos(αixi)+

Di,3sinh(βixi)+Di,4cosh(βixi)

(20)

其中：

(21)

進(jìn)而有：

Di,3βicosh(βixi)+Di,4βisinh(βixi)

(22)

(23)

(24)

根據(jù)力和位移的關(guān)系及平衡關(guān)系，可求得轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力分別為：

θi(xi)=Di,1αicos(αixi)-Di,2αisin(αixi)+

Di,3βicosh(βixi)+Di,4βisinh(βixi)

(25)

(26)

(27)

同理，將以上關(guān)系應(yīng)用于梁的另一部分和塔.對(duì)梁有：

(28)

(29)

(30)

(31)

如果結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，模態(tài)有正對(duì)稱和反對(duì)稱之分，由于正對(duì)稱模態(tài)時(shí)，索塔發(fā)生的是軸向運(yùn)動(dòng)，與反對(duì)稱模態(tài)不同，所以對(duì)于索塔，這里要分情況討論：

3.1 反對(duì)稱模態(tài)

(32)

(33)

(34)

(35)

將式(20)，(25)～(35)分別用矩陣表示為：

ti=TiCi

(36)

其中:

(37)

(38)

Ti為15×15的矩陣，如式(39)所示.其中的一些表達(dá)式如下：

si,1=sin(αixi),ci,1=cos(αixi),si,2=sinh(βixi),

(39)

3.2 對(duì)稱模態(tài)

正如前文所說，對(duì)稱模態(tài)時(shí)索塔的運(yùn)動(dòng)為軸向運(yùn)動(dòng)，應(yīng)將索塔等效為只發(fā)生軸向振動(dòng)的梁.其運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為：

(40)

該方程的解為：

(41)

(42)

進(jìn)而有：

(43)

主梁的運(yùn)動(dòng)方程和反對(duì)稱模態(tài)相同，采用同樣的處理方法，可以寫出以下關(guān)系：

ti=TiCi

(44)

其中：

(45)

(46)

Ti如式(47)所示.

(47)

這里有：

si,1=sin(αixi),ci,1=cos(αixi),si,2=sinh(βixi),

現(xiàn)在來求Ci，對(duì)于任意一段i,當(dāng)坐標(biāo)xi=0(i=1,2,3,…)時(shí),有

(48)

所以

(49)

式中：ti和ti,0分別為第i段的左邊和右邊狀態(tài)向量.

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

圖4 斜拉索作用點(diǎn)處受力圖Fig. 4 Internal force of anchorage point of cable-stayed bridge

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

將式(50)～(64)寫成矩陣形式:

(65)

(66)

(67)

式中:

將式(49)代入式(65)中，可以得到:

(68)

最后,對(duì)整個(gè)斜拉橋，有

(69)

式中：

(70)

T為總傳遞矩陣，且對(duì)于非對(duì)稱模態(tài)有：

(71)

(72)

對(duì)于對(duì)稱模態(tài)有：

(73)

t1,0=

(74)

對(duì)于式(69)，應(yīng)用邊界條件，可改寫為：

(75)

Δ=detT′=0

(76)

式(76)即為系統(tǒng)特征方程，由上述特征方程采用頻率搜索法可解出斜拉橋自振頻率.特征方程為圓頻率的函數(shù)，不妨記為Δ(ω)，所謂頻率搜索法是指給定圓頻率一個(gè)很小的初值ωL=ω0，再給定圓頻率一個(gè)微小的增量Δω.令ωR=ω0+Δω，如果這時(shí)候Δ(ωL)·Δ(ωR)<0，說明有零點(diǎn)存在，當(dāng)Δω足夠小時(shí)，取[Δ(ωL)+Δ(ωR)]/2作為零點(diǎn)，并把ωR的值賦給ωL，ωR則增加一個(gè)步長(zhǎng)，繼續(xù)尋找下一個(gè)零點(diǎn)；如果Δ(ωL)·Δ(ωR)>0，則把ωR的值賦給ωL，ωR增加一個(gè)步長(zhǎng)，直至Δ(ωL)·Δ(ωR)<0.重復(fù)以上步驟，可以求出多階自振頻率f.該方法簡(jiǎn)單、方便、容易理解，便于采用MATLAB編程進(jìn)行計(jì)算.

4 實(shí)例分析

4.1 工程概況

以長(zhǎng)沙某鐵路斜拉橋?yàn)槔M(jìn)行整橋豎彎剛度的評(píng)估.長(zhǎng)沙某鐵路斜拉橋結(jié)構(gòu)形式為112 m+80 m+32 m非對(duì)稱獨(dú)塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土槽形梁斜拉橋.塔柱總高79 m，橋面以上高45 m，共有4×8對(duì)斜拉索，左邊相鄰索之間的水平距離為12.8 m，右邊相鄰索之間的水平距離為9 m，塔柱上相鄰索之間的距離為2.5 m，斜拉索采用Φ7 mm高強(qiáng)度低松弛鍍鋅平行鋼絲.

4.2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

采用本文模型和理論建立的MATLAB程序計(jì)算出的模態(tài)頻率和用ANSYS計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較.表 1給出了飄浮式單塔斜拉橋成橋狀態(tài)下的自振頻率.比較分析可以看出，用本文模型和理論計(jì)算的自振頻率與ANSYS建模計(jì)算的自振頻率之間的誤差很小，最大誤差的絕對(duì)值沒有超過3.57%.這證實(shí)了本文建立的漂浮式單塔斜拉橋成橋豎彎剛度評(píng)估的理論和方法的正確性和適用性.而且第1階固有頻率的誤差只有2.22%，這對(duì)結(jié)構(gòu)的初頻設(shè)計(jì)，定量和定性分析，以及對(duì)結(jié)構(gòu)基本剛度進(jìn)行評(píng)估均具有非常高的精度.由此說明，本文建立的飄浮式單塔斜拉橋整體動(dòng)力學(xué)模型和理論，以及求解方法具有較好的精度和工程應(yīng)用價(jià)值.

表1 斜拉橋整橋自振頻率對(duì)比表

表2給出了考慮索塔自身重力產(chǎn)生的軸力影響時(shí)，斜拉橋整橋自振頻率對(duì)比表.表2中，ANSYS計(jì)算出的自振頻率考慮了索塔重力的影響，而本文方法計(jì)算出的頻率沒有考慮索塔重力影響.通過相對(duì)誤差一欄可知，索塔重力對(duì)自振頻率的影響很小，最大誤差絕對(duì)值只有3.63%，這說明可以忽略索塔重力對(duì)斜拉橋自振頻率的影響，與本文在第2節(jié)中所提出的假設(shè)相符.當(dāng)然，為計(jì)算更為精確，在計(jì)算中也可以考慮塔自身重力的影響.

應(yīng)用本文的方法、理論和程序，對(duì)于該類橋型的動(dòng)力學(xué)問題可以進(jìn)行全面的參數(shù)分析，還可進(jìn)行精細(xì)化計(jì)算：如對(duì)橋面梁、塔變截面的考慮、拉索剛度、傾角等變化的分析.另外，對(duì)于斜拉橋施工過程中豎彎剛度的評(píng)估，由于塔梁采用臨時(shí)固結(jié)的措施，本文建立的計(jì)算模型不適用于施工階段的評(píng)估分析.對(duì)于斜拉橋施工過程的豎彎剛度評(píng)估，將在下一階段的工作中進(jìn)行研究.

表2 考慮索塔重力斜拉橋整橋自振頻率對(duì)比表

5 結(jié) 論

本文針對(duì)斜拉橋的整體剛度評(píng)估問題，克服了斜拉橋整體動(dòng)力學(xué)模型建立的困難，通過對(duì)漂浮式獨(dú)塔斜拉橋結(jié)構(gòu)體系和受力特點(diǎn)的定性分析，首次建立了該種橋型的三梁離散彈簧整體動(dòng)力學(xué)模型.基于傳遞矩陣原理，推導(dǎo)得到了飄浮式獨(dú)塔斜拉橋結(jié)構(gòu)豎彎剛度評(píng)估計(jì)算的基本理論.以長(zhǎng)沙某鐵路斜拉橋?yàn)檠芯繉?duì)象，對(duì)獨(dú)塔斜拉橋的成橋剛度進(jìn)行了評(píng)估分析.研究結(jié)果表明，本文提出的飄浮式獨(dú)塔斜拉橋三梁離散彈簧整體動(dòng)力學(xué)模型及相應(yīng)理論，以及采用傳遞矩陣法進(jìn)行計(jì)算分析的整橋豎彎剛度評(píng)估方法具有較高的精度和效率，對(duì)該類型橋梁的成橋剛度評(píng)估具有重要的科學(xué)意義和工程應(yīng)用價(jià)值.

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A New Method for Vertical Bending Stiffness Evaluation of Floating Single-tower Cable-stayed Bridge

KANG Houjun1?,SU Xiaoyang1,GONG Ping2,CAI Xiangyang2,LIU Haibo3,HU Jianhua3,GUO Tieding1

(1.College of Civil Engineering,Hunan University,Changsha 410082,China;2.Provincial Ruchen Highway Construction Development Co Ltd,Chenzhou 423000,China;3.Hunan Provincial Communications Planning,Survey & Design Institution,Changsha 410008,China)

The vertical bending stiffness assessment of the cable-stayed bridge has been a hot research issue in the dynamics of bridge. Based on the mechanical characteristics of stay cable supporting deck，a new evaluation method was proposed for the vertical bending stiffness of a floating single-tower cable-stayed bridge. Firstly，a new dynamic model (i.e.，triple-beam with discrete springs) of the floating single-tower cable-stayed bridge was proposed and its corresponding dynamics theory was derived. In the proposed model，the stay cables were simplified as springs without mass and the single-tower was regarded as an Euler-Bernoulli beam with consideration of axial force. At the same time，the deck was divided into two segments at its intersection with tower，hence the deck was regarded as two Euler-Bernoulli beams. The eigenvalue and eigenvector of the dynamic system were then solved by the transfer matrix method，which was used for the evaluation of vertical stiffness of the floating single-tower cable-stayed bridge. Finally，the case study and its comparison with results obtained by the finite element method show that the evaluation method proposed is of high precision and efficiency，and can be used for the calculation and stiffness evaluation in engineering design.

cable-stayed bridge；vertical bending rigidity；evaluation；modeling；transfer matrix method

O343.9

A

1674-2974(2017)11-0126-09

10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.11.015

2016-10-29

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11572117，11502076)，National Natural Science Foundation of China(11572117，11502076)

康厚軍(1977-)，男，四川安岳人，湖南大學(xué)副教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail：khjun@hnu.edu.cn