過阻尼布朗棘輪的斯托克斯效率研究?

呂明濤 延明月 艾保全 高天附 鄭志剛

1)(沈陽師范大學物理科學與技術學院,沈陽 110034)2)(華南師范大學物理與電信工程學院,廣州 510006)3)(華僑大學信息科學與工程學院,廈門 361021)

過阻尼布朗棘輪的斯托克斯效率研究?

呂明濤1)延明月1)艾保全2)高天附1)?鄭志剛3)

1)(沈陽師范大學物理科學與技術學院,沈陽 110034)2)(華南師范大學物理與電信工程學院,廣州 510006)3)(華僑大學信息科學與工程學院,廈門 361021)

(2017年6月27日收到;2017年8月27日收到修改稿)

根據隨機能量理論解析得到阻尼環境中布朗粒子的概率流和斯托克斯效率,并進一步研究布朗粒子的輸運性能.詳細討論了空間的不對稱性、外偏置力及外勢結構等對棘輪定向輸運的影響.研究發現,合適的外偏置力能使棘輪的定向輸運達到最強.通過調節外勢的不對稱性可使棘輪中粒子的運動反向,當選擇合適的空間不對稱性時布朗粒子的反向輸運可獲得最強.此外,一定條件下合適的外勢高度也能增強棘輪輸運,且能使粒子克服黏滯阻力的斯托克斯效率達到最大.所得結論能夠啟發實驗上設計合適的外勢及外偏置來優化布朗棘輪的定向輸運性能,并為生物納米器件的研制提供一定的理論參考.

概率流,黏滯阻力,斯托克斯效率,輸運性能

1 引 言

生命體內部的細胞活動中分子馬達扮演了重要角色.由于馬達能夠把化學能直接轉化為機械能,所以這一獨特的能量轉換形式對細胞內的物質輸送至關重要.為了研究分子馬達的定向輸運,人們提出了各種模型[1],包括物理上簡單的布朗棘輪模型[2?4].通過研究不同棘輪中布朗粒子的運動情況,不但能了解布朗棘輪產生定向輸運的機制,找到其定向輸運的最優條件,而且能夠提高棘輪對輸入到系統中能量的有效利用.

對于不同棘輪的研究,如何增強棘輪的定向輸運一直廣受學者的關注[4?7].早期研究中,如Bao等[8]發現了在黏滯阻力及雙噪聲環境下布朗粒子的定向輸運可被優化,說明黏滯阻力在一定條件下能夠增強布朗粒子的定向輸運.同時,Ai等[9]根據Fick-Jacobs方程解析得到了二維通道中布朗粒子概率流的表達式,并討論了棘輪熱泵的性能.此外,我們早期也研究了不同時空不對稱度下布朗馬達的定向輸運性能,發現通過改變外勢的不對稱性粒子的輸運能夠增強[10].此外,文獻[11]最新研究發現,改變外力的變化頻率能夠增強粒子的概率流,且當棘輪輸入合適的外力時棘輪的能量利用率能夠獲得提高.

隨著棘輪定向輸運問題的深入研究,如何有效利用棘輪系統的能量已引起人們的極大興趣.Sekimoto等[12]首先根據隨機能量理論提出了不同環境中棘輪能量的分析方法,并計算了三種不同情況下棘輪的輸入、輸出功.有趣的是,卓益忠等[8]研究發現通過外偏置力的作用,布朗馬達的能量利用率能夠得到提高.此外大量實驗表明,布朗馬達拖動負載做功時會降低棘輪系統的輸入能[10].同時,實驗結果還表明,生物體內仍存在一類沒有拖動負載卻能產生定向運動的生物分子馬達,并且這類馬達克服阻尼環境運動時的定向輸運效率非常高[13].因此,研究無負載下馬達的能量利用問題也至關重要.然而這種情況下,若仍采用傳統熱力學效率的研究方法分析馬達的能量轉化問題,該計算方法將失去其物理意義.因此,無負載條件下布朗粒子的定向輸運效率問題目前仍是人們研究的熱點.理論上,根據Wang的分析,無負載情況下布朗粒子克服黏滯阻力運動時的輸運效率稱為斯托克斯效率[14].目前關于斯托克斯效率雖有一定研究[11,14],但并不是十分深入.如文獻[15]中研究了時空不對稱勢下棘輪的輸運特性,并對棘輪的熱力學效率和定向輸運效率(斯托克斯效率)分別進行了討論.此外也對耦合布朗粒子的能量轉化問題做了初步探討,發現在一定條件下耦合粒子拖動負載做功時的能量轉化效率能夠獲得提高[10].同時文獻[11]對搖擺棘輪中概率流和斯托克斯效率的隨機行為進行了討論.在上述棘輪效率的研究中,人們大都采用數值方法研究不同棘輪的定向輸運及能量轉換問題.然而關于斯托克斯效率的解析求解至今還不夠深入.因此,本文進一步采用解析方法討論棘輪勢中布朗粒子的定向輸運效率問題.

根據Sekimoto[12]隨機能量理論,研究了黏滯阻力作用下布朗粒子的定向輸運及斯托克斯效率問題[16?20].研究發現,在一定不對稱性下隨外偏置力振幅的變化粒子可產生反向運動,且存在合適的外力振幅使概率流達到最強.此外,本文還發現合適的外勢結構能夠使粒子克服黏滯環境時的定向輸運效率達到最強.應用本文所得結論實驗上可以啟發人們設計合適的外勢及外偏置來增強棘輪的定向輸運性能.

2 模 型

本文研究了處在過阻尼環境下的布朗粒子在空間不對稱周期勢中的運動,同時粒子受周期外力以及熱噪聲的作用,其動力學行為可由如下過阻尼朗之萬方程描述[21,22]:

其中,x(t)表示粒子t時刻的位置,γ為介質阻尼系數,ξ(t)為高斯白噪聲,且滿足〈ξ(t)〉=0,〈ξi(t)ξj(t′)〉=2Dδijδ(t?t′), δ(t)是高斯噪聲的關聯函數,D表示噪聲強度,F(t)為t時刻布朗粒子受到的非對稱周期外力:

上式中A為外力振幅,2π/?為外力周期.此外,U(x)為周期外勢,如圖1所示,其表達式為

其中a為周期外勢高度,L為外勢的周期且滿足U(x)=U(x+L),?表示外勢的不對稱性,因此通過調節?可改變外勢的結構.

圖1 外勢U(x)的結構示意圖Fig.1.The schematic diagram of U(x).

為討論方便,令V′(x)=?U(x)/?x,根據文獻[23]理論,與方程(1)對應的Fokker-Planck方程和概率密度流守恒方程為

其中kB是玻爾茲曼常數,T為熱浴溫度,且噪聲強度D=kBT,P(x,t)表示在t時刻在位置x處的概率密度,并滿足P(x,t)=P(x+L,t),j(x,t)為概率流,由上式可得:

如果F(t)變化很慢即系統為準靜態,則

根據上式和已知條件可得系統概率流表達式:

其中

由于外力F(t)變化很慢,所以概率流也可表示為[23,25,26]

根據Sekimoto隨機能量理論[12],釋放到熱浴中的能量為

其中ti和tf為積分始末時刻,且積分區間τ=ti?tf,單位時間內勢能的變化為?U,由能量守恒關系R=?U+E,輸入到系統中的總能量R可表述為

根據dU=(?U/?x)dx+(?U/?t)dt, 上式化簡為[12]

由于外勢的變化與時間t無關,?U(x,t)/?t=0,上式可寫為[23,25]

在準靜態下,根據文獻[24]理論,上式可進一步化簡:

根據Mamata理論,斯托克斯效率定義為[11]

由(16)式可知輸入到系統的能量:

粒子克服阻尼力做功[15]:

其中平均速度

所以斯托克斯效率的解析表達式為

將(11),(17),(20)及(21)式代入(22)式可得:

根據(11)及(23)式,本文主要研究阻尼環境中布朗棘輪的輸運性能隨系統各參量的變化關系,且所有物理量已采用無量綱化處理.如無特殊說明,文中參量取L=1.0,γ=1.0,D=0.01,?=1.0,a=1/2π,A=1.0,?=2π.

3 結果與討論

3.1 外力振幅A的影響

為了解棘輪的定向輸運,研究了概率流隨各參量的變化.首先討論了當外勢不對稱度較小時,即?=1.0時不同噪聲強度下概率流J隨外偏置力振幅A的變化關系,如圖2(a)所示.當A較小時,概率流為負,且隨A的增加棘輪產生的反向概率流逐漸增大.此時由于外偏置力振幅A較小,所以棘輪不容易產生定向輸運.隨著A的繼續增加,反向概率流均存在峰值,該現象表明合適的外偏置力振幅能夠促進棘輪的定向輸運.當A繼續增加時,|J|逐漸減小并趨于零.然而當A大于某一臨界值且增大時,J＞0,此時概率流與外偏置力呈類似正比關系,如圖2(a)插圖所示.說明此時外偏置力較大并占主導作用,因此粒子產生的定向輸運更強.研究發現隨噪聲強度D的增加,概率流峰值逐漸減小,該現象表明較大的噪聲并不利于粒子的定向輸運.可見除外偏置力,噪聲強度仍能影響粒子的定向輸運.下文將深入討論噪聲強度對概率流的影響.

圖2 (網刊彩色)?=1.0時(a)概率流J和(b)斯托克斯效率ηs隨外力振幅A的變化Fig.2.(color online)The curves of(a)particle flow J,(b)Stokes efficiency ηsvarying with the amplitude of external force A,where?=1.0.

由(22)式分析可知,斯托克斯效率ηs反映了布朗粒子克服黏滯阻力產生定向輸運的性能.因此本文研究了ηs隨外偏置力振幅A的變化關系,如圖2(b)所示.結果表明隨著A的增加,不同噪聲強度下的斯托克斯效率均逐漸增大且出現峰值.以D=0.02為例,發現在圖2(a)和圖2(b)中兩組曲線的變化趨勢類似.例如在A=1.0附近,反向概率流最大時相對應的斯托克斯效率也接近最大.根據(22)和(23)式可知,在一定條件下概率流越大,斯托克斯效率也越大,因此當過阻尼棘輪的定向輸運達到最強時,相對應地粒子克服黏滯阻力的斯托克斯效率也會增強.此外研究還發現隨D的增加ηs峰值也會減小,說明過大的熱噪聲不利于棘輪定向輸運效率的提高,下文將繼續討論熱噪聲對棘輪輸運性能的影響.

3.2 熱浴環境中噪聲強度D的影響

由于噪聲強度對粒子輸運有一定影響,研究了不同不對稱度?下概率流J隨熱噪聲強度D的變化關系,如圖3(a)所示.研究結果表明隨D的增加,概率流也會小于零,說明在一定條件下熱噪聲可以使棘輪產生反向輸運,該結論與文獻[27,28]中所得結論類似,但產生機制并不完全相同.當D繼續增加,棘輪存在合適的噪聲強度使概率流達到最強.這一現象說明合適的熱噪聲也能增強棘輪的定向輸運.隨著D的進一步增大,|J|→0.說明當溫度較高時,粒子在做自由擴散運動,所以此時棘輪不容易產生定向輸運.有趣的是隨不對稱度?的增大,反向概率流的峰值逐漸減小.該現象表明在一定條件下,較大的外勢不對稱度會抑制粒子的定向運動.通過(3)式分析,?越大外勢高度越大,因此粒子較難跨越勢壘產生定向輸運.由圖2(a)可知,?=1.0時,概率流可為負.為了深入研究粒子的輸運方向問題,進一步研究了?較小時,如?=0.1,0.01時粒子的輸運行為,如3(a)插圖所示.研究發現,?較小時概率流可為正,說明棘輪的定向輸運對外勢的不對稱度有較強的敏感性,因此當?較大時圖3(a)中J-D會呈現反向概率流.因此該現象與文獻[27]中噪聲誘導棘輪產生流反轉的機制并不完全相同.

如上述討論,噪聲強度能增強棘輪的定向輸運.因此進一步研究了斯托克斯效率ηs隨溫度D的變化關系,如圖3(b)所示.結果表明,在一定條件下存在合適的噪聲強度使斯托克斯效率ηs達到最大.對照圖3不難發現,J-D圖像和ηs-D圖像均出現峰值.這是因為合適的熱噪聲強度能夠增強粒子輸運并能提高棘輪的定向輸運效率,所以布朗粒子克服黏滯阻力產生定向輸運的性能也會獲得提高.此外研究還發現隨著外勢不對稱性的增大,斯托克斯效率的峰值逐漸減小.同樣由(3)式可知這是由于?越大,外勢高度a越大,導致粒子不容易跨越外勢產生定向運動.因此粒子克服黏滯阻力運動時的性能也被減弱.

圖3 (網刊彩色)A=1.0時(a)概率流J和(b)斯托克斯效率ηs隨熱噪聲強度D的變化Fig.3.(color online)The curves of(a)particle flow J,(b)Stokes efficiency ηsvarying with the noise intensity D,where A=1.0.

3.3 外勢不對稱參數?的影響

為了深入了解外勢不對稱性對棘輪輸運性能的影響,本文研究了不同外力振幅下概率流J隨外勢不對稱度?的變化關系,如圖4(a)所示.當?較小時概率流為正且逐漸減小.當?達到某一臨界值時,即?=?c(如A=1.6),J=0.隨著?增加J＜0且開始反向增大.當?繼續增大到另一臨界值?=?m時,棘輪的反向輸運最強.最終隨著?增加,|J|→0.產生上述輸運現象主要是由于當外勢不對稱度?＜?c時,?越大,外勢高度越大,粒子越難跨越外勢產生正向輸運;當?＞?c時,概率流開始反向增加,這是由于隨?的繼續增加,粒子將開始反向運動;有趣的是當?=?m時反向概率流最大,說明在一定條件下,合適的外勢不對稱性可增強粒子的定向輸運;當?＞?m時|J|→0,這是由于較大的外勢不對稱度占主導作用,導致粒子很難形成定向流.此外研究還發現,在一定?范圍內,J＞0時的概率流與外偏置力振幅呈正比例變化,該結論與圖2(a)中?=1.0時的結論一致.因此只有在合適的外勢不對稱性和外偏置力共同作用下,棘輪的定向輸運才能增強.

圖4 (網刊彩色)D=0.01時(a)概率流J和(b)斯托克斯效率ηs隨不對稱參量?的變化Fig.4.(color online)The curves of(a)particle flow J,(b)Stokes efficiency ηsvarying with the barrier asymmetric parameter?,where D=0.01.

由于棘輪輸運對外勢不對稱度有一定敏感性,討論了斯托克斯效率ηs隨外勢不對稱度?的變化,如圖4(b)所示.隨?的增加不同外偏置力振幅A下的ηs均逐漸減小,如A=1.6,當?增加到某一臨界值?=?c時,ηs→0.隨?繼續增加,ηs開始逐漸增大,當外勢的不對稱度取某一合適值時,即?=?m,ηs達到峰值.研究發現,?＜?c時ηs→0的現象主要是由于在圖4(a)中相對應的J隨不對稱度的增加也逐漸減小,根據類似的討論,由于ηs與概率流呈類似正比關系,所以ηs逐漸降低并趨于零;斯托克斯效率在?=?m處達到峰值說明合適的外勢不對稱度能夠增強棘輪的定向輸運性能;當?＞?m,ηs逐漸減小并趨于零是由于外勢的不對稱度過大,外勢過高,粒子更不容易產生定向運動,所以粒子克服阻尼力的定向輸運效率減小并趨于零.此外研究還發現,ηs的峰值隨外偏置力振幅的增大而減小,這一結論仍與圖2(b)結論一致.

3.4 外勢高度a的影響

由(3)式分析可知,外勢不對稱性可通過改變外勢的高度影響粒子的定向輸運.因此進一步研究了概率流隨外勢高度a的變化關系,如圖5(a)所示.研究發現隨a的增加概率流逐漸減小,當a達到某一臨界值,a=ac時,J=0.當a繼續增加J＜0且反向增大,并在a=am處反向概率流達到峰值.最終隨著a的增加,J→0.結果表明,以A=3.0為例,當a＜ac時外勢高度越小,粒子越容易跨越外勢產生正向輸運;當a＞ac時J＜0,說明當外勢高度達到某一臨界值后,粒子將反向輸運;有趣的是概率流在a=am處達到峰值,說明外勢高度仍存在一個合適值使粒子的輸運達到最強;當a＞am后概率流減小且|J|→0,這是由于外勢過高,布朗粒子很難跨越外勢產生定向輸運.此外,隨著外偏置力振幅A的增加,反向概率流的峰值也逐漸增大,說明一定條件下外偏置力越大,越促進粒子的定向運動,該結論與圖2(a)中結論一致.因此,為了增強棘輪的定向輸運,實驗上可設計合適的外勢結構及外偏置力使布朗粒子的定向輸運達到最強[27].

由上述分析可知,外勢高度能夠影響粒子輸運.因此進一步研究了不同外偏置力振幅下ηs隨a的變化關系,如圖5(b)所示.研究發現ηs隨a的變化仍會出現極值,即在波峰a=am處和波谷a=ac處.結果表明,仍以A=3.0為例,a＜ac時斯托克斯效率逐漸減小,說明一定條件下a越大粒子克服黏滯阻力的定向輸運效率越低;當a＞ac時ηs在a=am處出現峰值,說明合適的外勢高度能促使粒子產生較強的定向輸運,從而使粒子克服介質阻尼力的輸運效率達到最強;然而當a＞am時ηs逐漸減小并趨于零,該現象表明當外勢較高時,粒子想要跨過外勢形成定向輸運的能力減小并逐漸消失.此外,研究還發現隨外偏置力振幅的增加,粒子定向輸運效率的峰值逐漸增大.該結論能夠啟發人們設計合適的外勢結構來優化棘輪的定向輸運性能.

圖5 (網刊彩色)D=0.1時(a)概率流J和(b)斯托克斯效率隨外勢高度a的變化Fig.5.(color online)The curves of(a)Particle flow J,(b)Stokes efficiency ηsvarying with the barrier height a,where D=0.1.

4 結 論

研究了阻尼環境中處在時變外偏置力以及噪聲作用下布朗棘輪的定向輸運.深入分析了外勢的空間不對稱度、外偏置力振幅、外勢高度及熱噪聲強度對棘輪定向輸運的影響.研究結果表明,在合適的外勢結構下,布朗粒子能夠產生反向運動.同時存在合適的空間不對稱度使概率流達到最強,并且當外偏置力振幅為某一合適值時,棘輪定向輸運的能力能夠獲得提高.除此之外,合適的外勢高度也能夠使粒子克服黏滯阻力時的定向輸運效率達到最強,從而有效地提高了棘輪的輸運性能.本文所得結論不但能夠啟發人們設計不同類型的棘輪以增強粒子的定向輸運并提高布朗粒子的輸運效率,還可為醫學上的藥物輸送及納米器件的控制提供一定的理論指導作用[29?32].

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PACS:05.40.–a,05.40.Jc,02.30.Yy,02.50.–rDOI:10.7498/aps.66.220501

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grand Nos.11475022,11347003),the Scienti fic Research Funds of Huaqiao University,China and the Excellent Talents Program of Shenyang Normal University,China(Grand No.91400114005),and the Teaching Research Program of Thermodynamics and Statistical Physics in the Institution of Higher Education,China.

?Corresponding author.E-mail:tianfugao@synu.edu.cn

Stokes efficiency in the overdamped Brownian ratchet?

Lü Ming-Tao1)Yan Ming-Yue1)Ai Bao-Quan2)Gao Tian-Fu1)?Zheng Zhi-Gang3)

1)(College of Physical Science and Technology,Shenyang Normal University,Shenyang 110034,China)2)(School of Physics and Telecommunication Engineering,South China Normal University,Guangzhou 510006,China)3)(College of Information Science and Engineering,Huaqiao University,Xiamen 361021,China)

27 June 2017;revised manuscript

27 August 2017)

Molecular motors in life activities of cell are known to operate efficiently.They could convert molecular-scale chemical energy into macroscopic-scale mechanical work with high efficiency.In order to acquire the transport mechanism of the molecular motor,the Brownian ratchet has been proposed to explore the property of directed transport and energy conversion.There are di ff erent kinds of Brownian ratchet models like flashing ratchets,rocking ratchets,and time-asymmetric ratchets and so on.Through investigating the performance of Brownian ratchet moving in periodic potential,the directed transport of ratchet could be explained,and the e ff ective usage of ratchet energy for directed transport could also be improved.Recently,optimizing the transport of Brownian ratchet has aroused the interest of researchers.It is found that the viscous resistance could reinforce the directed transport of the Brownian particle in damping liquid.Meanwhile,a large number of conclusions indicate that the transport of Brownian ratchets would be enhanced if the asymmetry of the potential is changed.Those results show that the in fluences of the external potential and the damping force on the particle flow cannot be neglected.Hence in this paper,the e ff ects of the potential structure and the temperature of heat bath on transport are discussed.

Furthermore,how to use the ratchet energy e ff ectively has been investigated in recent years.When the Brownian motor operates with load,the input energy is reduced.More importantly,the energy transformation efficiency de fined as the ratio of the useful work done against the load to the input energy is assumed to be a zero value in the absence of load.With the help of stochastic energetic theory proposed by Sekimoto,the Stokes efficiency has been used to explore the performance of the Brownian ratchet.So far,the numerical solution has been used extensively in most theoretical investigations.Nevertheless,in our work,the Stokes efficiency is discussed analytically for explaining the mechanism of directed transport.We consider the transport performance of the Brownian ratchet described by the Fokker Planck equation which is corresponding to the Langevin equation under time-varying external force and thermal noise.Mainly,the e ff ects of potential asymmetry,external force,height of the barrier,and intensity of the thermal noise on transport are discussed in detail.It is found that the transport direction of Brownian ratchet will be reversed under the condition of appropriate potential structures,and the probability current can reach a maximal value by changing the asymmetry of potential.It is worthwhile to point out that the performance of directed transport of the ratchet can be improved when an appropriate amplitude of the external force is applied.Meanwhile,there is an optimal value of the barrier height at which the Stokes efficiency reaches a maximal value and the directed transport of ratchet is enhanced.Through our conclusions,the ratchets of di ff erent structures could be designed for improving the transport property of Brownian motor.And the results have helpful theoretical guidance not only in the aspect of medical delivery but also in the control of nano-devices.

probability current,viscous resistance,Stokes efficiency,transport property

10.7498/aps.66.220501

?國家自然科學基金(批準號:11475022,11347003)、華僑大學科研啟動費項目和沈陽師范大學優秀人才支持計劃 (批準號:91400114005)和高等學校熱力學與統計物理課程教學研究項目資助的課題.

?通信作者.E-mail:tianfugao@synu.edu.cn