基于本征正交分解的氣動優化設計外形數據挖掘?

段焰輝 吳文華 范召林 羅佳奇

1)(中國空氣動力研究與發展中心,計算空氣動力學研究所,綿陽 621000)2)(北京大學工學院,北京 100871)

基于本征正交分解的氣動優化設計外形數據挖掘?

段焰輝1)?吳文華1)范召林1)羅佳奇2)?

1)(中國空氣動力研究與發展中心,計算空氣動力學研究所,綿陽 621000)2)(北京大學工學院,北京 100871)

(2017年7月2日收到;2017年7月18日收到修改稿)

氣動外形的全局優化設計會產生大量的過程數據,其中隱含的設計知識具有較高的挖掘價值.數據挖掘有助于獲取直觀、可定性描述的設計知識.本文采用基于本征正交分解的數據挖掘方法從氣動優化設計的過程數據中獲取設計知識,數據挖掘對象為跨音速壓氣機轉子葉片NASA Rotor 37的優化過程數據,該數據由基于粒子群方法的絕熱效率最大化優化設計產生.結果表明:基于本文數據挖掘方法獲取的設計知識能夠直接反映氣動外形的變化規律,為葉片的氣動外形設計提供參考;數據挖掘的設計知識成功地驗證了優化設計結果的有效性.

數據挖掘,本征正交分解,氣動優化設計,跨音速

1 引 言

氣動外形優化設計是航空航天領域的重要學科之一,相較傳統的設計方法,具有成本低、周期短的突出優點.隨著氣動外形優化設計技術的發展,隨機搜索類方法因為能夠克服傳統優化方法局部性的缺陷,得到了日益廣泛的應用.這類優化方法在優化設計中將產生大量的過程數據,但是只有最終的優化結果被保留應用.耗費大量計算資源的過程數據并非毫無用處,其中隱含了與優化相關的設計知識,即設計變量與目標函數的關系.若能獲取這些數據中的設計知識并加以利用,有助于揭示設計空間內設計變量變化對目標函數影響的一般規律,更深層次地分析認識設計變量對目標函數的影響機制,為類似的設計優化積累設計信息和經驗,對提高類似設計優化的效率與可靠性具有重要的指導意義.本質上,數據挖掘就是這樣一種從大量數據中獲取隱含知識的方法.本文將利用數據挖掘技術獲取優化設計過程數據中的設計知識.

目前得到應用的數據挖掘方法較多,應用領域極廣.在優化設計方面,數據挖掘技術多用于多學科、多目標優化設計的設計知識挖掘[1].Jeong等[2]、Chiba和Obayashi[3]采用總變差分析和自組織映射方法對兩級入軌飛行器可飛回第一級的多學科、多目標優化設計結果進行了分析,實現了從非劣解集中選擇最終結果;Oyama等[4,5]采用基于本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)[6]的數據挖掘技術對跨音速翼型的多目標優化設計結果進行了分析,將優化結果分成了三類,并獲取了每類結果的設計知識.郭振東等[7]對數據挖掘的應用進行了拓展,采用顯著變量識別、總變差分析及自組織映射等數據挖掘技術對設計空間進行知識挖掘,得到的設計知識與優化設計結果進行了相互驗證.汪偉等[8]將優化設計的過程數據作為數據挖掘對象,采用K-Means聚類分析、粗糙集屬性重要性算法和決策樹方法對優化過程數據進行處理和分析,得到了葉片優化設計變量與目標函數的隱含規則.綜上可知,數據挖掘在氣動外形優化設計中的應用尚處于探索階段,分析方法和對象呈現多樣化,具有重要的研究意義.

本文基于POD的數據挖掘技術應用于優化設計過程數據的處理,以獲取設計知識.為了提高數據挖掘對象的可信度,也即數值精度,本文的優化過程數據都由計算流體力學(computational fluid dynamics,CFD)方法確定.為了縮短優化周期,采用同步并行粒子群方法(parallel synchronous particle swarm optimization,PSPSO)在大規模集群上進行優化.此外,當數據挖掘對象為氣動優化設計的設計變量,結果的直觀性普遍較差,因為多數參數化方法提取的設計變量都無法直接反映氣動外形的特征.基于POD的數據挖掘可以直接對外形數據進行分析,數據挖掘的結果能直接反映外形的變化,提供直觀的設計知識,因而本文采用POD進行數據挖掘,改善結果的直觀性.

本文首先介紹POD的基本原理及基于POD的數據挖掘方法.然后介紹本文采用的PSPSO氣動外形優化設計方法,以及三維葉片的參數化方法和網格變形方法;并采用PSPSO方法對跨音速壓氣機轉子葉片NASA Rotor 37進行氣動優化設計,提取過程數據.最后采用POD對過程數據進行挖掘,分析所隱含的設計知識,并驗證本文所提出的數據挖掘技術的有效性.

2 POD數據挖掘方法

數據挖掘方法一般可以分為三步:數據制造、數據預處理和數據挖掘.本文對優化設計的過程數據進行數據挖掘,數據制造對應優化設計,數據預處理對應制造數據的篩選和處理,數據挖掘對應優化氣動外形的特征分析.本文的數據預處理主要是按目標函數的優劣對優化過程數據進行篩選,具體做法是:與原始外形的氣動性能相比,將氣動性能提高的過程數據篩選出來,剔除氣動性能降低的過程數據.值得注意的是:優化設計中得到的過程數據包含氣動外形、流場等信息,在數據挖掘時并非所有數據都要使用,因而在預處理階段需要對這些數據予以區分.本文對氣動外形進行數據挖掘,因此在預處理階段只保留氣動外形信息.

2.1 POD基本原理

原始POD方法[6]需要整個定義域中的解集,維度較高,對特征值求解的精度和穩定性提出了較大挑戰,難以在工程中得到應用.目前多采用由Sirvoich提出的Snapshot POD方法[9],該方法用一組定義域中的快照代替整個定義域中的解集,提高了POD方法的穩定性,降低了計算量,目前在氣動研究中得到了大量應用[10?15].下文中,若無特殊說明,所涉及的“POD方法”都為“Snapshot POD方法”.

假設在某一定義域內有一組快照:s1,s2,···,sm,其POD基為:φ1,φ2,···,φm,m為快照數.POD基的求解方法如下.

首先求解特征值問題,

其中R為快照集合的自相關矩陣,λ為特征值,a為特征向量.R定義為

由奇異值分解(singular value decomposition,SVD)確定R的特征值和特征向量后,POD基可由下式計算:

其中:φk表示第k個基,表示第k個特征值對應的特征向量的第i個元素.

2.2 基于POD的數據挖掘

本文基于POD的數據挖掘與應用主要采用文獻[12,13]介紹的基于POD的參數化方法,在此基礎上加入一些能夠反映物理特征的量來挖掘設計知識.本文POD分析對象為優化過程中的氣動外形.

假設被分析的氣動外形由表面網格點組成,定義一組向量g1,g2,···,gm,對于優化設計的過程數據而言,這組向量應該具有某種共性,比如優化的目標函數都高于初始值.每個向量中的數據為氣動外形表面網格點三維坐標的順序排列,如gi={X,Y,Z}T,X,Y,Z依次為網格點的三個坐標值,并且按照網格點編號排成序列.若氣動外形表面網格點數為n,則每個向量的維數為3n.由氣動外形表面網格點坐標組成的向量可以確定POD所需的快照:

其中,g0可以選為網格點坐標向量的平均值,也可以是優化的初始外形.每個外形快照減去g0,便于分析所有氣動外形的擾動特征.由SVD確定POD基后,所有快照都可由這些基表示:

數據挖掘的設計知識就隱含在POD基和系數(也稱為基的權重)中.基能夠反映氣動外形變化的區域及相對大小,結合其系數就能得到氣動外形變化的絕對大小,從而給出最終的氣動外形變化規律.但是基較多(與快照數目相同),系數也較多,一般只需要對其中能夠反映主要規律的基和相應系數進行分析即可.如何篩選基和系數,是基于POD數據挖掘方法的一個重點.

2.2.1 POD基及基系數的篩選

引入基的能量的概念[4]對基進行篩選,第i個POD基的能量Energy定義為

其中φi,j表示第i個POD基的第j個元素.由(6)式可知:能量其實就是每個外形的網格點位移大小的總體度量.再定義能量比重:

由能量比重可以確定每個POD基所占的比重,從而確定哪些基是獲取設計知識的關鍵.

基系數的篩選要解決兩個問題:分析哪些基的系數,分析哪些快照的系數.本文研究中,只對篩選得到的POD基的系數進行分析.快照則根據優化目標函數的大小,選擇靠前的部分快照,這樣可以保證得到的基的系數反映的都是最優外形的設計規律.

2.2.2 設計知識的獲取方法

POD基及由POD基和基系數組合表示的氣動外形,都是坐標的擾動信息,不易直接獲得設計知識,需要將其變換成能夠反映物理特征的量.氣動外形的變化規律實際上就是每個網格點位置的變化規律,這種變化不僅有大小信息,還有方向信息.確定這種變化量的最佳辦法是采用優化時的參數化方法,根據參數化方法中每個網格點位置擾動的施加方式(一般是在某個方向施加),反推網格點的位置變化.本文采用了前期研究中的參數化方法[16],擾動量沿著氣動外形表面當地網格點的外法線方向施加,因此第i個POD基中第j個網格點的位置變化量(下文統稱為r-變量)為

其中:n為該網格點外法線方向.下文的設計知識主要是通過對r-變量進行分析獲取.

3 氣動外形優化設計

3.1 同步并行粒子群方法

PSPSO方法是縮短基本PSO方法[9]優化周期的有效手段.圖1為算法流程圖,其中n為粒子數目,m為優化步數,i為粒子編號,k為當前迭代步,f和c分別為目標氣動函數和約束函數,pi為第i個粒子進化到第k代時的最優粒子,為第k代中所有粒子中的最優粒子.粒子位置x和速度v的初始化方法與基本PSO相同,計算慣性權重因子采用基于差異系數(coefficient of variation,COV)的衰減方法[17].

圖1 PSPSO優化流程圖Fig.1.Flowchart of PSPSO-based optimization.

3.2 參數化和網格變形方法

本文參數化方法是將葉片分解為多個特征截面,采用Hicks-Henne型函數方法[18]對特征截面進行參數化,最后再通過插值得到整個三維葉片外形.本文參數化是在初始外形上疊加幾何擾動量以產生新的外形,因此無需擬合初始外形,避免了在擬合初始外形時引入誤差.網格變形采用代數插值方法,將葉片表面的變化映射到空間網格,得到新外形的網格.為了提高計算效率,網格變形計算只對葉片相鄰的網格塊進行.具體的參數化和網格變形方法見文獻[16].

4 Rotor 37數據挖掘算例

4.1 CFD數值驗證及優化問題描述

流場計算采用團隊開發的大規模并行計算程序ASPAC,采用多塊結構化網格.該程序求解雷諾平均Navier-Stokes方程,采用固連在轉子上的旋轉直角坐標系來描述流動.湍流模型選用一方程Spalart-Allmaras模型[19].無黏通量采用Roe格式離散,黏性項采用二階中心差分格式離散.本文選擇跨音速壓氣機轉子葉片NASA Rotor 37進行研究,該模型試驗數據比較詳細,是葉輪機CFD領域常用的驗證算例之一,試驗測量站位、空間分布及結果見文獻[20],設計參數見表1.

表1 Rotor 37設計參數Table 1.Design parameters of Rotor 37.

在出現旋轉失速之前,轉子葉片流場滿足周期性邊界條件,因此計算域僅選取一個葉片通道.圖2為O4H拓撲的計算網格.葉高方向分布56個網格單元,葉頂間隙內徑向網格單元為16.流向和周向網格單元分別為152和60,總網格單元約為90萬.

圖2 Rotor 37計算網格 (a)S1流面;(b)S2流面Fig.2.Grid of Rotor 37:(a)In S1 streamsurface;(b)in S2 streamsurface.

圖3 (網刊彩色)Rotor 37特征工作線 (a)總壓比;(b)絕熱效率Fig.3. (color online)Performance characteristics:(a)Total pressure ratio;(b)adiabatic efficiency.

研究中還采用商業軟件NUMECA來進行流場數值模擬.ASPAC堵塞流量為20.95 kg/s,NUMECA堵塞流量為20.93 kg/s,均在試驗結果的誤差范圍內.圖3對比了CFD和試驗測量的總壓、效率特征工作線.由圖3可知:基于CFD計算的總壓比均與試驗較為接近,而CFD效率均與試驗存在較明顯的偏差.截至目前,很少有數值模擬的效率與試驗結果符合較好.Denton在[21]對Rotor 37的“盲測”結果進行分析時指出:試驗中端壁附近流動損失無法測量可能是造成這種偏差的主要原因.通過與NUMECA計算結果的對比分析可知:ASPAC特征工作線稍優于NUMECA,因而基于ASPAC的計算結果是合理的.另一方面,對于氣動外形優化設計,更為重要的是能夠正確反映出氣動性能隨設計變量的變化趨勢.

4.2 基于粒子群的優化設計

本文在Rotor 37的設計轉速近效率峰處進行外形優化設計,同時約束近效率峰的總壓比和流量,優化問題可以由下式描述:

其中:η為等熵效率;m和m0分別為設計流量和目標流量,目標流量為原始外形的流量;π和π0分別為設計總壓比和目標總壓比.

選擇位于100%,75%,50%,25%,0%葉高的五個特征截面進行參數化,選擇中間三個截面進行設計.一般情況下,吸力面對絕熱效率的影響更大,只在吸力面布置10個型函數,共30個設計變量.設計變量的變化范圍定義為(?0.1,0.1).粒子群優化方法采用80個粒子,每個粒子使用8個CPU計算,一共使用640個CPU,共優化25代.

表2給出了優化前后的氣動性能參數,絕熱效率由0.8588提高到0.8692,提高了1.21%,總壓比降低了0.46%,流量提高了0.43%,均在約束條件之內.

表2 優化前后葉片的氣動性能Table 2.Aerodynamic performance of reference and optimized blades.

圖4給出了葉片吸力面上的壓力分布對比,50%葉高以上激波明顯向葉片尾緣移動,從而影響激波誘導的分離.圖5給出了吸力面附近的流線分布,圖中藍色流線為優化后的流線,由圖可知:優化后的激波位置明顯后移,相應的分離區域明顯減小.

圖5 (網刊彩色)葉片吸力面流線(相對速度):原始(紅色);優化(藍色)Fig.5.(color online)Streamlines(relative velocity)on the suction surface of reference(red)and optimized(blue)blades.

圖6給出了25%,50%,75%葉高的氣動外形和壓力分布.25%葉高處,從弦長中部開始葉片厚度開始減小,在尾緣附近先增大后減小,整體上最大厚度后移,能延遲激波的產生.由壓力分布也可以看出:優化后激波明顯后移.50%葉高處,在尾緣附近葉片厚度明顯增加,最大厚度后移,激波也隨之后移,且激波后移更多.75%葉高處,從弦長中部開始葉片厚度開始增大,在尾緣附近先減小后增大,但變化非常小.相對于25%葉高,75%葉高的優化葉型雖然沒有明顯的最大厚度后移,但仍能延遲激波的產生.

由上述分析可知,Rotor 37絕熱效率的提高主要源自激波位置的后移,以及吸力面流動分離區域的減小,導致這種變化的主要原因是葉型吸力面外形變化.

圖6 (網刊彩色)不同葉高的氣動外形和壓力分布 (a)25%葉高;(b)50%葉高;(c)75%葉高Fig.6.(color online)Aerodynamic shape and pressure distributions at(a)25%span,(b)50%span,(c)75%span.

4.3 設計知識挖掘

優化共進行了25步,加上初始化粒子,共有2080個粒子,其中氣動外形奇異和氣動特性不滿足優化要求的粒子在進行篩選時需要剔除.本文旨在獲取與優化設計目標相關的設計知識,篩選數據的規則為:滿足優化約束且絕熱效率提高.篩選出有效粒子1734個,并按照絕熱效率由高至低進行排列.圖7給出了所有粒子的分類情況,其中:＜0%表示不滿足規則.

對滿足規則的數據按照(4)式進行預處理獲得快照,并由SVD確定1734個POD基.POD基及特征值的特點是:特征值大的POD基包含最明顯的特征,本文采用基的能量比重對有效基進行篩選,由(6)和(7)式計算的前10個POD基的能量比重如圖8所示.由圖可知,前三個基分別占了94.62%,3.65%和1.09%的總能量,99.36%的能量都集中在前三個基上面,因而下文主要對前三個基進行分析.

圖7 (網刊彩色)所有粒子的分類情況Fig.7.(color online)Classi fication of proceeding data.

圖8 前10個基的能量比重Fig.8.Energy ratio of the first ten POD modes.

POD基的分析對象為基的r-變量,r-變量的正負并不直接反映葉片外形厚度的增大或減小,還要考慮基系數的影響.本文將r-變量的正負描述為正向變化和負向變化.由上文所述,從基能夠獲得的設計知識為氣動外形變化量的相對大小和所處區域.為了更好地描述外形變化量的位置,本文將葉片吸力面劃分為9個區域,劃分方法為:沿葉高選擇25%,50%,75%三個截面,以1,2,3命名;沿弦向將這三個截面劃分為三個大致相等的區域,以A,B,C命名.圖9給出了9個區域的r-變量分布.由圖9可知:外形變形量大的區域位于B1,C1和B2,C2區域;變形復雜的區域位于B3,C3區域;A區域整體變形都很小.需要注意的是:r-變量的比較分析都是基于相同的原始外形幾何尺寸.根據上述設計知識可知:對于此類優化設計問題,設計變量應重點分布在B,C區域,設計變量的設計空間在截面1,2處應較大,在截面3處應較小.

接下來分析基系數的影響.由于前三個POD基所占能量已經超過99%,本文用前三個基來描述目標函數排序靠前的100個快照.圖10給出了快照的前三個基系數.由圖可知:三個基系數的絕對值依次減小,與基所占能量的大小變化趨勢一致;此外,基系數都在某一固定值附近波動,該固定值應該能夠反映基系數中隱含的主要設計規律.

將基系數分解為固定值和擾動的迭加形式:

其中αm表示前100個快照的第m個基的系數組成的向量,為該向量的固定值,為該向量擾動值.采用線性回歸的方法確定上述公式中的固定值,可得:

其中n表示第n個快照.

圖10中不同顏色的虛線對應各個基系數的線性回歸結果.雖然每個快照的固定值略有不同,但是差別非常小,可以忽略,因而

此外,三組基系數的擾動量最大值分別為:

相對于固定值,前兩個基系數擾動量的最大值較小,可忽略其對基權重的影響.第三個基系數擾動量與固定值量級相同,但是考慮第三個基的權重僅占總能量的1.09%,其對外形的影響很小,基本可以忽略第三個基系數的擾動量的影響.因而,可以僅由POD基及基系數的固定值確定“擬合優化外形”,如下式所示:

其中φcomb表示POD基組合,也即擬合優化外形.

圖9 (網刊彩色)r-變量分布云圖 (a)第一個基;(b)第二個基;(c)第三個基Fig.9.(color online)Contours of r-variation on:(a)The 1st mode;(b)the 2nd mode;(c)the 3rd mode.

圖10 (網刊彩色)前三個基的系數分布Fig.10.(color online)Coefficient distributions of the if rst three basis modes.

圖11給出了擬合優化外形及優化外形的r-變量分布.由圖可知:截面1,2,3上兩者的變化趨勢基本相同;截面1上,C1區域中部氣動外形變化的最大值略有差別;截面2上,A2區域優化外形減薄區域較擬合優化外形的小,氣動外形變化的最大值雖有差別,但都接近零,C2區域氣動外形增厚的最大值略有差別;截面3上,B3區域氣動外形增厚的最大值略有差別,C3區域氣動外形增厚、減薄的最大值也略有差別.

由前三個POD基和基系數的固定值線性擬合得到的r-變量的變化規律與真實優化外形的r-變量變化規律基本一致,對優化結果和數據挖掘結果起到了相互驗證的作用.

5 結 論

1)數據挖掘得到的設計知識與優化設計結果基本一致,證實了本文采用的數據挖掘方法和優化設計結果均是可靠的,驗證了本文所采用的優化設計方法和CFD程序;

2)基于POD的數據挖掘方法所獲取的設計知識能夠直觀反映氣動外形的變化規律,具體到本文的葉片算例,明確地反映了設計變量的布置位置和變化幅度,同類型葉片均可按此規律進行氣動外形的優化設計,具有較大的指導意義;

3)數據挖掘的目標還可以進一步擴展,不局限于優化設計目標,比如:可以從效率優化過程數據中提取壓比增大的過程數據,對壓比增大的氣動外形進行數據挖掘.整體上,提高數據挖掘目標的多樣性,能夠進一步發掘優化過程數據的隱含價值.

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*Projects supported by The National Nature Science Foundation of China(Grant Nos.51676003,51206003).

?Corresponding author.E-mail:duanyanhui@foxmail.com

?Corresponding author.E-mail:jiaqil@pku.edu.cn

Proper orthogonal decomposition-based data mining of aerodynamic shape for design optimization?

Duan Yan-Hui1)?Wu Wen-Hua1)Fan Zhao-Lin1)Luo Jia-Qi2)?

1)(China Aerodynamic Research and Development Center,Computational Aerodynamics Research Institute,

Mianyang 621000,China)2)(College of Engineering,Peking University,Beijing 100871,China)

2 July 2017;revised manuscript

18 July 2017)

Global optimization methods are becoming more and more important in aerodynamic shape optimization.A large number of proceeding data will be generated during design optimization,from which the implicit but valuable design knowledge can be extracted.The design knowledge can then be used to help the designers to acquire the e ff ects of geometric variations on the aerodynamic performance changes.In this paper,we strive to extract the implicit design knowledge from proceeding data by a data mining method based on proper orthogonal decomposition(POD),by which the design knowledge more enriched and more visualized than those obtained from other data mining methods can be obtained.Proceeding data for data mining are ingathered from aerodynamic shape optimization of a transonic compressor rotor blade,NASA Rotor 37.The design optimization attempts to maximize the adiabatic efficiency of Rotor 37 under the operation condition near peak efficiency with the constrains of mass flow rate and total pressure ratio.The parallel synchronous particle swarm optimization method is employed to search for the optimization in the design space.The particles with improved adiabatic efficiency,while within the optimization constrain tolerances are picked up from the design optimization,which are then used for data mining.The geometric coordinates of the aerodynamic shape with respect to the ingathered particles are regarded as the snapshots.Then the POD modes of the aerodynamic shape can be obtained by singular value decomposition on the snapshots.The results show that the universal rules of geometry variations for the optimization maximizing the adiabatic efficiency of Rotor 37 can be directly visualized by the design knowledge extracted from the proceeding data by POD-based data mining technique.Furthermore,the optimization results are also veri fied by the design knowledge extracted by data mining.

data mining,proper orthogonal decomposition,aerodynamic optimization design,transonic

10.7498/aps.66.220203

?國家自然科學基金(批準號:51676003,51206003)資助的課題.

?通信作者.E-mail:duanyanhui@foxmail.com

?通信作者.E-mail:jiaqil@pku.edu.cn