二維聲子晶體中簡單旋轉操作導致的拓撲相變?

王健 吳世巧 梅軍

(華南理工大學物理與光電學院,廣州 510641)

二維聲子晶體中簡單旋轉操作導致的拓撲相變?

王健 吳世巧 梅軍?

(華南理工大學物理與光電學院,廣州 510641)

(2017年7月24日收到;2017年9月19日收到修改稿)

構建了一種簡單的二維聲子晶體:由兩個橫截面為三角形的鋼柱所組成的復式元胞按三角點陣的形式排列在空氣中,等效地形成了一個蜂巢點陣結構.當三角形鋼柱的取向與三角點陣的高對稱方向一致時,整個體系具有C6v對稱性.研究發現:在保持鋼柱填充率不變的條件下,只需要將所有三角柱繞著自己的中心旋轉180?,就可實現二重簡并的p態和d態在布里淵區中心Γ點處的頻率反轉,且該能帶反轉過程實質上是一個拓撲相變過程.通過利用Γ點的p態和d態的空間旋轉對稱性,構造了一個贗時反演對稱性,并在聲學系統中實現了類似于電子系統中量子自旋霍爾效應的贗自旋態.隨后通過k·p微擾法導出了Γ點附近的有效哈密頓量,并分別計算了拓撲平庸和非平庸系統的自旋陳數,揭示了能帶反轉和拓撲相變的內在聯系.最后通過數值模擬演示了受到拓撲不變量保護的聲波邊界態的單向傳輸行為和對缺陷的背向散射抑制.文中所研究的聲波體系,盡管材料普通常見,但其拓撲帶隙的相對寬度超過21%,比已報道的類似體系的帶隙都要寬,且工作原理涵蓋從次聲波到超聲波的很大頻率范圍,從而在實際應用上具有較大的優勢和潛力.

聲子晶體,拓撲相變,能帶反轉,贗自旋

1 引 言

量子霍爾效應(quantum halle ff ect,QHE)[1?3]和量子自旋霍爾效應(quantum spin hall e ff ect,QSHE)[4?7]的發現不僅開啟了凝聚態物理中拓撲絕緣體[8,9]研究的新篇章,而且也使得數學中抽象的拓撲概念在物理學中受到越來越多的關注和重視.拓撲態有許多新奇的特性,比如:單向傳輸的邊界態,對缺陷不敏感的背向散射抑制等,這些有趣的現象都引起了人們極大的研究興趣.但是在電子體系中,拓撲非平庸系統的實現在實驗條件上要求比較高,比如說QHE往往需要在低溫和強磁場中才能實現,這就給實驗和應用造成了很大的困難.

光子晶體和聲子晶體是由不同性質的材料在空間中做周期性排列而形成的人工結構,電磁波和聲波在其中的傳輸特性與自然晶體中的電子波類似,都可用能帶結構和帶隙的概念加以描述.存在外加磁場的情況下,由于破壞了時間反演對稱性,光子晶體中可實現沿邊界單向傳輸的邊界態[10?12].但對于聲子晶體,由于常見材料的聲學性質對磁場不敏感,無法像光子晶體那樣直接引入磁場來打破時間反演對稱性.于是,有學者建議通過加入旋轉的背景氣流[13?17],起到類似磁場的效果,來打破時間反演對稱性,從而實現單向傳播的邊界態.還有學者通過時空調制[18,19]、耦合共振[20?22]等方式也在聲波系統中實現了受拓撲保護的邊界態.也有學者另辟蹊徑,通過構造具有特定對稱性的光子晶體[23,24]或聲子晶體結構[25?27],使相應體現的帶結構在布里淵區中心或邊界產生狄拉克錐,再通過改變填充率或降低對稱性的方法,使狄拉克錐打開一個帶隙,進而研究體帶隙中產生的邊界態是否具有拓撲性質.例如,利用布里淵區中心的C6v對稱性,以及C6v點群的兩個二維不可約表示,在一定條件下在Γ點可產生偶然的四重簡并態和雙狄拉克錐[28?31].在此基礎上通過調節散射體的幾何參數,可實現帶隙從打開到關閉再到打開的拓撲相變過程,從而在經典波領域實現了類似于電子系統中的QSHE.此外,通過構建具有C3v對稱性的三角晶格,使得布里淵區邊界上K和K′點不等價[32],然后將K點的對稱性降低為C3,就會在K和K′點的狄拉克錐中打開一個帶隙,從而實現具有谷拓撲性質的邊界態[33,34].

本文構建了一種結構簡單的二維聲子晶體系統:由兩個三角形鋼柱組成的復式元胞按三角點陣形式排列在空氣中,并使整個系統具有C6v對稱性.與現有研究方法不同的是,本文方法不需要改變鋼柱子的填充率,也不必移動鋼柱子在元胞中的位置來降低體系的對稱性,而只需要將每個柱子繞自己中心旋轉180?就可以實現能帶反轉.有趣的是,旋轉前后的結構分別是拓撲平庸和拓撲非平庸的,盡管它們的填充率是完全一樣的,盡管每個柱子中心的位置也沒有改變.而且,通過這種簡單旋轉的方法實現的拓撲非平庸帶隙的相對寬度可以超過21%,顯著地超過已知類似體系的帶隙,這就給實驗測量和實際應用帶來了很大的方便,因為只需要較小的樣品就可以觀察到受拓撲保護的邊界態,而且該表面態的魯棒性也很好.

2 研究的體系

2.1 體系的設計

將截面為正三角形的2個鋼柱子組成一個復式元胞,然后按照三角晶格形式排列在空氣中,于是就從整體上形成了蜂巢晶格的結構,如圖1所示.三角形柱子的中心位于六邊形元胞的六個頂點上,且所有三角柱子的朝向都與晶格點陣的高對稱方向重合.我們發現,即使每個柱子的朝向都與相鄰的柱子不同,還是有兩種排列方式可以確保整個晶格具有C6v對稱性,這兩種排列方式分別命名為P型和N型,如圖1所示.r為三角柱的頂點到其中心的距離,L為相鄰兩個三角柱中心的距離.復式元胞的晶格常數,基矢量

在這樣的體系中傳播的聲波方程為

其中ψ是聲壓;ρr=ρ/ρ0和Br=B/B0分別表示相對質量密度和相對體彈性模量;ρ=ρ(x)和B=B(x)是空間中某一點x處的質量密度和體彈性模量;ω為角頻率;B0和ρ0表示基體的質量密度和體彈性模量,為基體中的聲波速度.在本文中基體為空氣,散射體為鋼柱,由于兩者密度和縱波速度都相差甚大,所以可以忽略散射體中剪切波的影響,把鋼柱當作剛體來處理.事實上,只要是散射體和基體的阻抗相差很大,下面的計算結果和結論都依然成立.本文中計算和模擬都是采用COMSOL Multiphysics(一種基于有限元法的數值模擬仿真軟件)來完成的.

2.2 能帶反轉

具有C6v對稱性的晶格結構,在布里淵區中心Γ點的本征態有2個二維不可約表示:E1和E2.二重簡并的偶極子態,如圖2中的px和py,對應于E1不可約表示,具有奇宇稱,簡稱為p態.二重簡并的四極子態,如圖2中的dx2?y2和d2xy,對應于E2不可約表示,具有偶宇稱,簡稱為d態.這里所謂p態和d態的叫法都是來源于量子系統中的電子波函數.

對于P型聲子晶體,位于Γ點的二重簡并的p態和d態的頻率隨幾何參數r/L的變化情況如圖1的藍色點線所示.可以看到,當r=rc=0.31L時(紅點位置處),p態和d態在Γ點偶然簡并成為一個四重簡并態,此時帶結構在布里淵區中心形成了雙狄拉克錐線性色散關系[25?27];在其他情況下,p態和d態之間都存在著一個帶隙.通過考察不同r時的本征頻率,發現當r＜rc時,p態的頻率比d態高,二者之間有一個拓撲非平庸的帶隙;而當r＞rc時,p態的頻率比d態低,二者之間有一個拓撲平庸的帶隙.也就是說,p態和d態的本征頻率,在經過rc=0.31L時,它們的相互位置發生了改變.這稱之為能帶反轉,意味著拓撲相變[23,25?27].但從圖1中可以看到,對P型聲子晶體而言,能帶反轉前后,帶隙頻率的重合部分很小,這不利于拓撲邊緣態的產生和利用,因此我們將采用另外一種方式來實現能帶反轉.

圖1 P型和N型聲子晶體在Γ點的兩個雙重簡并態的頻率隨結構參數r/L的變化曲線.嵌入的兩幅圖分別為P型和N型聲子晶體的結構示意圖,紅色的正六邊形表示一個元胞,每個元胞包含2個鋼柱,f為頻率Fig.1.Frequencies of doublydegenerate p states and d states at the Γ point as functions of the geometrical parameter(r/L)for both P-type and N-type acoustic crystals(ACs).Insets schematically show the structure of P-type and N-type ACs,where the red hexagon represents one unit cell,which is composed of two identical steel rods.

將P型聲子晶體中的每個三角柱繞著自己的中心旋轉180?,就變成了N型聲子晶體,此時C6v對稱性依然得以保留.N型聲子晶體的p態和d態的頻率隨參數r/L的變化情況如圖1的綠色點線所示.通過觀察其本征頻率,發現N型聲子晶體永遠都是p態在d態上面,無論怎么改變r都不可能發生拓撲相變.但如果比較P型和N型兩種聲子晶體,就會發現在0.31＜r/L＜0.50的范圍內,N型聲子晶體拓撲非平庸的帶隙(p態在d態上面)總是包含著P型聲子晶體拓撲平庸的帶隙(p態在d態下面).因此,下文中將利用N型聲子晶體的非平庸帶隙和P型聲子晶體的平庸帶隙來構造和研究邊界態.

作為例子,圖2(a)和圖2(b)中,分別給出了P型和N型聲子晶體在r/L=0.45時的帶結構.在圖2(a)中,Γ點有兩個二重簡并態,且在它們之間有個很大的帶隙fa/c0=(0.865?1.022),帶隙相對寬度,即帶隙頻寬與帶隙中間頻率之比,達到了16.6%,這比已報道的類似體系的拓撲帶隙[25?27]都要寬.嵌入的四個圖分別表示這兩個二重簡并態的本征場,可以看出在帶隙下方的二重簡并態為p態,帶隙上方的為d態,因此這個帶隙是拓撲平庸的.在圖2(b)中,Γ點也有兩個二重簡并態,且它們之間的帶隙更大fa/c0=(0.803—0.996),帶隙相對寬度甚至達到了21.4%.注意這里由于第四條帶的最低點不在Γ點而在M點,所以實際的絕對帶隙為(0.803—0.996),而不是Γ點兩個雙重簡并態之間的頻率間隔(0.803—1.102).并且p態在帶隙上方,d態在帶隙下方,因此這個帶隙是拓撲非平庸的.也就是說,與圖2(a)相比,p態和d態在Γ點實現了反轉.

圖2 P型和N型聲子晶體在r/L=0.45時的帶結構,嵌入的圖為Γ點(紅點處)的兩個雙重簡并態(p態和d態)的聲壓場 (a)P型聲子晶體的拓撲平庸的帶結構;(b)N型聲子晶體的拓撲非平庸的帶結構Fig.2.Band structures of P-type and N-type ACs when r/L=0.45:(a)The band gap of P-type AC is topologically trivial;(b)the band gap of N-type AC is topologically nontrivial.In both(a)and(b),insets show the acoustic pressure fields of the doublydegenerate p states and d states at the Γ point.

2.3 贗時間反演對稱性與贗自旋態

前文已提到,C6v點群有2個二維不可約表示:E1和E2.{px,py}對應于E1表示,而對應于E2表示.根據E1和E2表示基函數的旋轉對稱性,可以構造一個贗時間反演算符T=UK,其中U=?iσy是一個反幺正算符,K為復共軛算符[23,25?27].T算符具有如下性質:

可以看出,T算符的角色完全類似于電子系統中真實的時間反演算符,所以T稱之為贗時間反演算符.顯然,兩個贗自旋態都是T的本征態:它們在T的作用下能互相轉換.p+和p?分別表示贗自旋向上和贗自旋向下的態.同樣的道理,根據d態的旋轉對稱性,也能構造出類似的贗自旋態

2.4 哈密頓量與自旋陳數

為了研究Γ點附近的色散關系,根據k·p微擾理論[23?26,29,30,35?37],可以只考慮兩個二重簡并態的貢獻.此時,體系的有效哈密頓量在基矢(|px〉,|py〉,|dx2?y2〉,|d2xy〉)T下可寫為

其中k±=kx±iky,M=(εd?εp)/2,A來自一階微擾項的非對角項.B來自二階微擾項的對角項,且小于零.

為了描述體系的拓撲序,可通過下面的式子來計算自旋陳數(spin Chern number)[4,38]:

顯然,如果BM＜0,Cs=0,對應于拓撲平庸態;如果BM＞0,Cs=±sgn(M),對應于拓撲非平庸態.在本文的體系中,對于P型聲子晶體,d態頻率在p態之上(εd＞εp),M＞0,Cs=0,所以帶隙是拓撲平庸的.但對于N型聲子晶體,d態頻率在p態之下(εd＜εp),M＜0,Cs=±1,帶隙則是拓撲非平庸的.

無論是有效哈密頓量,自旋陳數,還是拓撲相變機理,本文的聲子晶體系統都類似于CdTe/HgTe/CdTe量子阱系統中的Bernevig-Hughes-Zhang模型[4],因此完全有理由相信,在本文的聲子晶體系統可以出現一個類似電子QSHE的聲學自旋霍爾效應.

2.5 自旋依賴的拓撲邊界態

既然體態受到自旋陳數的保護,根據體態-邊界態對應原則,在非平庸聲子晶體的邊界上會出現受到拓撲保護的單向傳播邊界態.將上面的P型和N型聲子晶體拼接在一起,形成一種三明治結構:厚度為10層的N型聲子晶體被厚度為10層的P型聲子晶體從兩邊夾在一起,如圖3(b)所示.計算了該超胞結構沿ΓM方向的投影帶結構,結果如圖3(a)所示,其中黑點表示體態,藍點表示邊界態.可以看出,邊界態(藍色)出現在體態帶隙的地方,且邊界態將體態連接起來.值得注意的是,圖中邊界態(藍色)上的每一點都為二重簡并,這是由于在同一波矢同一頻率處永遠都有贗自旋向上和贗自旋向下兩個態同時存在所導致的.而且,這兩個同頻率的邊界態分別位于N型聲子晶體的左側和右側邊界上.為了更直觀地顯示結果,在圖3(a)中選取了A,B兩個代表點,將其所對應的邊界態的場圖繪于圖3(b)中.

B點的場圖繪于圖3(b)的上方,可以看出:左側邊界上能流是逆時針旋轉的,對應贗自旋垂直紙面朝上,該邊界態向下(?y方向)傳播;右側邊界上能流是順時針旋轉的,對應贗自旋垂直紙面朝下,該邊界態也向下(?y方向)傳播.A點的場圖與B點類似,只不過能流方向、贗自旋方向和傳播方向均與B點相反:左側邊界上能流是順時針旋轉的,贗自旋垂直紙面朝下,該邊界態向上(+y方向)傳播;右側邊界上能流是逆時針旋轉的,贗自旋垂直紙面朝上,該邊界態也向上(+y方向)傳播.這樣就在每條邊界上(不管是左側邊界還是右側邊界),同時都存在2個邊界態,每個邊界態都有一個確定的傳播方向,且鎖定一個確定的贗自旋方向.因此,這種邊界態是手性的(helical).

圖3 P型/N型聲子晶體界面上的拓撲邊界態 (a)表示PNP三明治結構(由10層N型結構被10層P型結構從兩邊包夾而組成)沿著ΓM方向的投影帶結構,黑色的點表示體態,藍色的點表示邊界態;(b)藍色矩形代表計算所用到的超胞結構,上面兩個場圖畫出了B點的邊界態,下面兩個場圖為A點的邊界態,其中黑色箭頭表示時間平均后的能流密度矢量,逆時針旋轉的能流對應贗自旋方向垂直紙面朝外,用綠色的旋轉箭頭表示,順時針旋轉的能流對應贗自旋垂直紙面朝內,用紅色的旋轉箭頭表示;中間的示意圖表示在每個界面上攜帶某個贗自旋分量的聲波邊界態只能沿著一個固定的方向傳播,體現了邊界態的手性Fig.3.(a)The projected band structure along the ΓM direction for a ribbon of a N-type AC(10 unit cells)sandwiched by two P-type ACs(10 unit cells)from both sides,black and blue dots represent bulk and edge states,respectively;(b)the blue rectangle represents the supercell used in the calculation,acoustic pressure field distributions at edge states A and B are shown,where the wave energy is obviously localized around the interface between N-type/P-type ACs,black arrows represent the time-averaged Poynting vectors,the counterclockwise and clockwise rotational behaviors of the Poynting vectors are consistent with the spin-up and spin-down orientations of the pseudospin components.

圖4 (a)贗自旋向上(S+)的聲波能沿著左側的P/N邊界向下傳播,但不能沿著右側的N/P邊界向下傳播(b);(c)贗自旋向下(S?)的聲波不能沿著左側P/N邊界向下傳播,但能沿著右側的N/P邊界向下傳播(d)Fig.4.(a),(b)When excited by a pseudospinup source(S+),there exists an edge mode that can propagate along the left hand side P/N interface,but no edge state exists along the right hand side N/P interface;(c),(d)when excited by a pseudospin-down source(S?),there exists an edge mode that can propagate along the right hand side N/P interface,but no edge state exists along the left hand side P/N interface.

為了驗證手性邊界態的性質,圖4展示了不同贗自旋態的聲波沿兩種邊界傳輸的情況.圖4(a)和圖4(b)模擬的是贗自旋朝上(S+)的聲波從樣品上方入射到兩個邊界的情況,可以看出聲波可以沿左側邊界(P/N邊界)無損耗傳輸,但無法通過右側邊界(N/P邊界).圖4(c)和圖4(d)模擬的是贗自旋朝下(S?)的聲波從樣品上方入射到兩個邊界的情況,同樣可以看到,聲波只能沿其中一個邊界傳輸,但與前一種情況剛好相反:贗自旋朝下的聲波能通過右側邊界(N/P邊界),但不能通過左側邊界(P/N邊界).邊界態的這種行為與電子系統中的QSHE完全一致.

2.6 缺陷免疫

圖5 (a)平面波入射到一個具有彎曲通道的PN型聲子晶體中,可以發現聲波幾乎沒有阻礙的傳播過去;(b)在(a)圖的基礎上引入了空穴和無序的缺陷,但聲波繞過這些缺陷傳播了過去,與(a)相比只是相位有所改變;紅色箭頭代表入射波方向Fig.5.(a)The edge mode can propagate unidirectionally along the interface with almost no backscattering even when there are four 90-degree bends at the interface;(b)similar to(a)but with two more defects(a cavity defect and a disorder defect)are introduces into the interface.It can be seen that the acoustic wave can go round all these defects with little back-scattering.Red arrows represent the incident waves.

拓撲邊界態的一個重要性質就是它的魯棒性:它對缺陷是免疫的,不管是彎曲邊界,還是邊界上存在空穴(cavity)和無序(disorder)等缺陷,受拓撲保護的邊界態都可以繞過這些缺陷傳輸過去,并且幾乎沒有反射.圖5(a)模擬的是平面波從上方入射到一條有四個直角轉彎的邊界上,可以發現聲波沒有阻礙地沿著邊界傳輸過去,幾乎沒有反射,就像在直邊界上傳播一樣.圖5(b)是在圖5(a)的基礎上在邊界中加入了空穴和無序的缺陷,同樣讓平面波從上方入射,可以發現聲波很輕易地就繞過了這些缺陷向下傳輸了過去,就像這些缺陷不存在一樣.值得注意的是,邊界態之所以具有這么好的魯棒性,是因為本文所設計的系統具有很寬的拓撲帶隙.如前所述,帶隙的相對寬度達到了21%,比已報道的類似體系的帶隙都要寬,這使得邊界態對缺陷很不敏感,從而在實際應用上具有較大的優勢和潛力.

3 討論與結論

設計了兩種具有C6v對稱性的二維聲子晶體:它們是由兩個三角形鋼柱組成的復式元胞按三角點陣的形式排列在空氣中所形成的.只需將所有三角柱繞著自己的中心旋轉180?,這兩種聲子晶體就能簡單地完成互相轉變.這樣就在保持晶格對稱性和填充率不變的條件下實現拓撲相變.通過利用Γ點二重簡并的p態和d態的空間對稱性,構造了一個贗時間反演對稱性,從而在聲學系統中實現了類似于電子系統中QSHE的贗自旋態.接著通過k.p簡并微擾法導出了Γ點附近的有效哈密頓量,并計算了P型和N型兩種聲子晶體帶結構的自旋陳數,揭示了能帶反轉和拓撲相變的聯系.然后又通過數值模擬證實了具有自旋取向依賴的單向傳輸的邊界態,該邊界態具有很好的魯棒性,對直角彎曲、空穴和無序等缺陷是免疫的.雖然該類型的聲子晶體用到的都是普通常見材料,但拓撲帶隙很寬,結構也并不復雜,其基本原理適用于從次聲波到超聲波的很大頻率范圍的聲波,在實際應用上具有較大的優勢和潛力.

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PACS:43.40.+s,43.20.+g,46.40.–f,46.40.CdDOI:10.7498/aps.66.224301

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11274120,11574087).

?Corresponding author.E-mail:phjunmei@scut.edu.cn

Topological phase transitions caused by a simple rotational operation in two-dimensional acoustic crystals?

Wang Jian Wu Shi-Qiao Mei Jun?

(School of Physics,South China University of Technology,Guangzhou 510641,China)

24 July 2017;revised manuscript

19 September 2017)

We design a two-dimensional acoustic crystal(AC)to obtain topologically protected edge states for sound waves.The AC is composed of a triangular array of a complex unit cell consisting of two identical triangle-shaped steel rods arranged in air.The steel rods are placed on the vertices of the hexagonal unit cell so that the whole lattice possesses theC6vsymmetry.We show that by simply rotating all triangular rods around their respective centers by 180 degrees,a topological phase transition can be achieved,and more importantly,such a transition is accomplished with no need of changing the fill ratios or changing the positions of the rods.Interestingly,the achieved topologically nontrivial band gap has a very large frequency width,which is really bene ficial to future applications.The topological properties of the AC are rooted in the spatial symmetries of the eigenstates.It is well known that there are two doubly-degenerate eigenstates at theΓpoint for aC6vpoint group,and they are usually called the p and d states in electronic system.By utilizing the spatial symmetries of the p and d states in the AC,we can construct the pseudo-time reversal symmetry which renders the Kramers doubling in this classical system.We find pseudospin states in the interface between topologically trivial and nontrivial ACs,where anticlockwise(clockwise)rotational behaviors of time-averaged Poynting vectors correspond to the pseudospin-up(pseudospin-down)orientations of the edge states,respectively.These phenomena are very similar to the real spin states of quantum spin Hall e ff ect in electronic systems.We also develop an e ff ective Hamiltonian for the associated bands to characterize the topological properties of the AC around the Brillouin zone center by thek·pperturbation method.We calculate the spin Chern numbers of the ACs,and reveal the inherent link between the band inversion and the topological phase transition.With full-wave simulations,we demonstrate the one-way propagation of sound waves along the interface between topologically distinct ACs,and demonstrate the robustness of the edge states against di ff erent types of defects including bends,cavity and disorder.Our design provides a new way to realize acoustic topological e ff ects in a wide frequency range spanning from infrasound to ultrasound.Potential applications and acoustic devices based on our design are expected,so that people can manipulate and transport sound waves in a more efficient way.

acoustic crystals,topological phase transition,band inversion,pseudospin

10.7498/aps.66.224301

?國家自然科學基金(批準號:11274120,11574087)資助的課題.

?通信作者.E-mail:phjunmei@scut.edu.cn