基于鏈式法則的平面應變梯度的計算分析★

呂 娜 殷玉沉 孫玉周

(中原工學院建筑工程學院，河南 鄭州 450007)

·結構·抗震·

基于鏈式法則的平面應變梯度的計算分析★

呂 娜 殷玉沉 孫玉周

(中原工學院建筑工程學院，河南 鄭州 450007)

為了探究應變梯度的分布規律，建立新舊坐標系下平面矢量的坐標轉換公式，應用鏈式法則，推導了新坐標系下應變梯度的變換關系式，分析并求解出了應變梯度的極值情況，為應變梯度傳感器的使用提供理論依據。

應變梯度，鏈式法則，坐標轉換，極值

1 概述

人類的現代化步伐離不開工程的現代化發展，無論是航空航天、地球海洋、冶金化工，還是地質巖礦、建筑結構、電力石油，每一類工程的實現都以工程力學為基礎，從最初的設計到成品的安全監測，都離不開工程結構的力學分析。在土木工程領域中，應用最為廣泛的材料是混凝土，混凝土作為一種混合材料，其內部骨料、水泥石上都含有一定的微裂紋或氣泡，隨著混凝土變形的發展，其內部微裂紋和氣泡也相應發展、擴散直至貫通，形成宏觀裂縫[1]。裂縫作為土木工程結構中最為常見的一種現象，不管是鋼筋混凝土結構還是瀝青混凝土結構或鋼結構，在使用過程中都會有不同程度的裂縫出現。不同結構部位、不同寬度的裂縫對結構的承載能力、耐久性會產生不同程度的影響。

水泥混凝土的裂縫主要包括溫度裂縫、材料自收縮裂縫以及外部荷載或結構變形作用下結構內力引起的裂縫。不管是何種裂縫，歸根結底其產生的原因在于該處混凝土的拉應變超過了材料的極限拉應變，材料發生局部受拉破壞。結構在施工、使用過程中是否出現裂縫、在什么位置出現以及裂縫寬度的大小，是結構監測中迫切需要解決的問題。在結構損傷監測中，大多通過對應變進行測量和分析以確定混凝土中裂縫的產生和生長。現有的各類應變傳感器測量應變時，均假設所測量區域內的應變為均勻分布，這顯然有悖于損傷區域應變分布的真實情況。對混凝土類材料局部化破壞的研究表明，材料在發生破壞時，往往不會產生很明顯的塑性屈服，而是由于內部微裂隙、微空洞等缺陷的擴展和連通使材料剛度降低，非線性變形積累，最終造成材料局部化損傷和破壞，在剪切帶內部，常常發現有較大的應變梯度存在[2-6]。研究顯示應變梯度相對于應變其變化更加劇烈，應變梯度顯然更容易快速、直觀地反映出損傷的位置，應變梯度信息對于結構健康監測具有不言而喻的重要價值[7]。通過對多峰反射光譜進行分析，有可能獲得幾毫米范圍內的結構局部非均勻應變或應變梯度的變化情況，這一特性表明，光纖布拉格光柵的性能顯著優于現有的用于結構損傷識別的其他各類應變傳感元件[8]。為了探究應變梯度的分布規律，本文通過建立新舊坐標系下平面矢量的坐標轉換公式，應用求導的鏈式法則，推導新坐標系下應變梯度的變換關系式。基于坐標轉換推導出的任意方向上應變梯度表達式，分析討論該狀態下應變梯度的極大值、極小值及其對應方向，為應變梯度傳感器的使用提供理論依據。

2 應變梯度的計算

在Oxy坐標系中，方向矢量r(x,y)經過變形為r′(x′,y′)，其平面應變分量為[9]：

(1)

假設將坐標軸旋轉α角(逆時針方向為正)，得到新坐標系Ox′y′，如圖1所示。M點的位移矢量U在新坐標軸x′和y′上的投影為u′和v′，位移矢量U應與坐標系的選擇無關，矢徑也與坐標系的選擇無關[10]，因此可得:

u′=ucosα+vsinα
v′=-usinα+vcosα
x=x′cosα-y′sinα
y=x′sinα+y′cosα

(2)

x=(x,y)表示原始參考構形，x′=(x′,y′)表示當前構形。從變形前到變形后的變形映射由x′=x′(x)定義，一階變形梯度F和二階變形梯度G分別為:

(3)

(4)

將式(1)代入式(3)可得:

(5)

將式(1)代入式(4)，G111可表示為:

(6)

同理可得:

(7)

上式即為應變梯度表達式，則在新坐標系Ox′y′下應變梯度表示為:

(8)

若把u′和v′看作是x和y的函數，x和y又是x′和y′的函數，由求導鏈式法則[11]，G111′可表示為:

(9)

上式中的偏導數由式(2)求出為:

(10)

將式(6),式(7)和式(10)代入式(9)，整理后可得:

G111′=G111cos3α+G222sin3α+(G211+2G112)sinαcos2α+(2G212+G122)sin2αcosα

(11)

同理可得:

G112′=G112cos3α-G212sin3α+(-G111+G212+G122)sinαcos2α+(-G211-G112+G222)sin2αcosα

G122′=G122cos3α+G211sin3α+(-2G112+G222)sinαcos2α+(G111-2G212)sin2αcosα

G211′=G211cos3α-G122sin3α+(-G111+2G212)sinαcos2α+(-2G112+G222)sin2αcosα

G212′=G212cos3α+G112sin3α+(-G211-G112+G222)sinαcos2α+(G111-G212-G122)sin2αcosα

G222′=G222cos3α-G111sin3α+(-2G212-G122)sinαcos2α+(G211+2G112)sin2αcosα

(12)

上式即為坐標轉換時應變梯度的轉換規律，將G111′記為Gα，式(11)又可寫成:

Gα=G111cos3α+G222sin3α+(G211+2G112)sinαcos2α+(2G212+G122)sin2αcosα

(13)

3 應變梯度的分析

式(13)表明，平面應變梯度Gα隨α角的改變而變化，即Gα是α的函數，利用式(13)便可確定應變梯度的極值和它所在的角度。

式(13)對α求導可得:

(14)

-3G111sinα0cos2α0+3G222sin2α0cosα0+(G211+2G112)(cos3α0-2sin2α0cosα0)+(2G212+G122)(2sinα0cos2α0-sin3α0)=0

(15)

方程式(15)的解α0即為應變梯度的極值位置，為了確定極值類型，將式(14)對α取導數，得:

(16)

解方程式(15)如下，令α0≠Nπ，N為整數，方程兩端同時除以cos3α0，可得:

-(2G212+G122)tan3α0-(2G211+4G112+3G222)tan2α0+2(2G212+G122-3G111)tanα0+(G211+2G112)=0

(17)

分別令a=-(2G212+G122)，b=-(2G211+4G112+3G222)，c=2(2G212+G122-3G111)，d=G211+2G112，a≠0代入方程可得:

atan3α0+btan2α0+ctanα0+d=0

(18)

由卡爾丹公式解方程式(18)可得:

(19)

1)當Δ>0時，方程有一個實根和兩個共軛復根，由于方程有工程實際背景，只取實根即tanα1。

2)當Δ=0時，方程有三個實根，此時有兩種情況：

3)當Δ<0時，方程有三個不等的實根，即tanα1,tanα2,tanα3。

4 結語

通過對應變梯度狀態的計算和分析，本文得出結論如下：

1)建立了新舊坐標系下平面矢量的坐標轉換公式，應用求導的鏈式法則，推導了新坐標系下應變梯度的變換關系式；

2)分析了某變形狀態的應變梯度G，得出了該狀態下任意方向的應變梯度表達式；

3)分析了某變形狀態的應變梯度G，討論了該狀態下應變梯度的極大值、極小值及其對應方向。

以上結論為光纖光柵應變梯度傳感器的使用提供了理論依據。

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Calculationandanalysisofplanestraingradientbasedonchainrule★

LvNaYinYuchenSunYuzhou

(SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou450007,China)

In order to explore the distribution law of strain gradient, the coordinate transformation formula of plane vector in new and old coordinate system is established. By using chain rule, the transformation relation of strain gradient in new coordinate system is deduced, and the extreme value of the strain gradient is analyzed and solved, which provides the theoretical basis for the application of strain gradient sensor.

strain gradient, chain rule, coordinate transformation, extreme value

1009-6825(2017)32-0021-03

2017-09-01 ★:國家自然科學基金(11472316)；河南省科技創新人才項目(164200510020)

呂 娜(1991- )，女，在讀碩士； 殷玉沉(1990- )，男，在讀碩士； 孫玉周(1974- )，男，博士，教授

TU311.4

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