基于MATLAB的多目標規劃問題的理想點法求解

楊伍梅，劉陶文

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基于MATLAB的多目標規劃問題的理想點法求解

楊伍梅1，劉陶文2

(1. 益陽職業技術學院基礎課部，湖南 益陽 413049；2. 湖南大學數學與計量經濟學院，長沙 410012)

針對生產、經濟活動等實際中常見的多目標規劃問題，在對現有的多目標優化方法進行一些比較的基礎上，重點對理想點法的基本思想、特點及發展過程進行了探究，并就工廠采購這類多目標規劃的實際問題采用理想點法進行模型的構建、轉化和求解，然后用MATLAB軟件對此問題進行了具體計算和結果分析﹒結果表明這類方法具有非常簡單、實用、高效的特點，在實際應用中具有一定的優越性﹒

多目標規劃；評價函數法；理想點法；MATLAB

在生產、經濟活動、工程設計和科學實驗中，往往需要同時考察多個指標才能判斷某種決策(計劃、方案、配方)的優劣，這些問題可歸結為多目標規劃問題[1]﹒最初，關于多目標問題中如何協調矛盾是由Franklin于1772年提出的，而第一次從數學角度提出多目標規劃問題并且給出Pareto最優解的概念的是Pareto﹒同時Kuhn等人也給出了向量極值問題具備有效解的必要條件﹒后來，A.Charnes等人做了許多工作，出現了如加權和法、目標規劃法、－約束法等多目標優化方法[2]﹒我國對于多目標規劃問題的研究主要是從20世紀70年代開始的，且研究的人越來越多，已逐步邁向世界先進水平[3]﹒當前，關于多目標規劃問題的研究，主要著重于其解的概念與性質、求解方法、對偶問題、不可微等4個方面，其中研究最多的是關于多目標規劃的求解方法問題﹒近年來引用次數較多，涉及知識面較廣的方法有最小偏差指標賦權法、加權偏差平方和最小化方法、線性加權法和灰色關聯分析法的集成法等﹒

對上述多目標規劃問題的求解目前主要有約束法、功效系數法和評價函數法等方法﹒約束法要根據決策者的經驗讓次要目標在某一確定的范圍內取值，所以其結果受人為因素影響較大[4]﹒功效系數法能較好的求解多目標規劃問題，但往往會因為信息的非完備性和主觀判斷等因素導致功效系數不是很準確，從而影響求解結果[5]﹒因此這里主要采用評價函數法來求解多目標規劃問題，它的基本思想是由多目標規劃問題的目標函數構造出某一個單目標規劃問題的目標函數，并稱之為評價函數[6]，從而將求解多目標規劃問題化為求解單目標規劃問題﹒由于構造評價函數時可用多種不同的方法，因此就有多種不同的評價函數法，其中最常見的評價函數法有理想點法、平方和加權法、線性加權和法和乘除法等[7]﹒文獻[8]采用平方和加權法和線性加權和法、乘除法對采礦法多目標優選進行了探討，取得了較好的效果，但該方法需要根據各個目標的重要程度給予一組適當的權重，而在實際應用中要選取這樣一組權重往往存在一定的困難，所以只能假設在某種權重下進行計算，這樣會因所假設權重的不同而導致結果與實際問題存在一定偏差﹒為了避免個人選取權重的片面性，往往采用老手法選取權重，但這項工作量比較大﹒乘除法原理簡單，計算方便，不需要考慮各個目標的權重受人為因素的影響較小，但它要求目標函數在已有條件下的函數值都具有非負性，且要分為目標函數值越小越好與目標函數值越大越好兩組，因此在實際應用中具有一定的局限性[9]﹒在文獻[10]中郭惠昕等人將理想點法用到多目標模糊優化設計中，由正、負理想點與可行解之間的距離構造出模糊判決，并由此提出了基于理想點的求解算法，但此法在工廠采購問題方面未見有關研究，本文主要采用理想點法對工廠采購問題進行一些探討﹒

1 理想點法

理想點法是指根據決策者的先驗信息構造出理想點，再在指定條件下去尋求與此理想點最為接近的可行解[11]﹒在實際情況中，問題本身可能含有多個不等式約束條件和多個等式約束條件，但在實際問題中剛好滿足等式約束條件的問題局限性較大﹒因此，本文只針對式(2)的僅含有不等式約束的多目標優化問題進行探討﹒

根據評價函數法的基本思想，理想點法的主要思路是在多目標規劃問題(見式(2))中，首先將多目標規劃問題分解為個單目標規劃問題，可得表達式(3)﹒

求解單目標規劃問題(見式(4))就可以得到兼顧多個目標的滿意解﹒

2 實例

2.1 工廠采購問題

某工廠需要采購某種生產原料，該原料市場上有A、B、C三種，單價分別為3元/kg、2元/kg、4元/kg﹒現要求所花的總費用不超過400元，所購得的原料總質量不少于150 kg，其中A原料不得少于40 kg，B原料不得少于50 kg，C原料不得少于20 kg﹒問如何確定最佳采購方案，花最少的錢采購最多數量的原料﹒

2.2 建立模型

綜合以上分析得最優化數學模型見式(6)﹒

2.3 模型轉化與求解

注意到在多目標規劃問題中極大化目標函數是極小化目標函數的相反數，因此，上述最優化數學模型式(6)可以轉化為標準形式式(7)﹒

很明顯，這是一個多目標規劃問題，可以采用約束法、功效系數法和評價函數法等方法進行求解﹒本文采用評價函數法進行求解，即根據理想點法的求解思路，可將上述問題分解為兩個單目標規劃問題(P1)和(P2)進行求解，見式(8)﹒

2.4 實值求解與結果分析

由模型(P1)可以看出，它的評價函數為一個線性函數，且約束條件也為線性函數，所以可以利用MATLAB優化工具箱中所提供的linprog函數進行求解，其運行代碼和結果如下：

>>=[3;2;4];

=[2,3,4;-1,-1,-1];

=[400;-150];

=[40;50;20];

>>[,fval]=linprog(,,,[],[],);

Optimization terminated.

60.000 0

20.000 0

fval=410.000 0

采用類似方法可求解單目標規劃問題(P2)，利用MATLAB軟件求解，其運行代碼和結果如下：

>>=[-1;-1;-1];

=[2,3,4;-1,-1,-1];

=[400;-150];

=[40;50;20];

>>[,fval]=linprog(,,,[],[],);

Optimization terminated.

50.000 0

20.000 0

fval=-155.000 0

利用MATLAB軟件求解，其運行結果如下：

59.615 4

20.000 0

3 結論

多目標規劃在生產、經濟活動、科學實驗和工程設計中有著非常廣泛的運用，但多目標規劃在實際應用過程中，由于存在多個目標，要求各目標同時取得較優的值，從而使得求解的方法與過程都相對復雜﹒利用理想點法將多目標規劃問題化為單目標規劃問題，借助MATLAB軟件計算可以達到對多目標規劃問題求解更為簡便、高效、準確的目標，從而可將此問題推廣到更高維的情形，也可以將此方法推廣到更多領域，更好地利用多目標規劃解決實際問題﹒

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[2]艾正海. 關于多目標決策問題的理想點法研究[D]. 成都: 西南交通大學, 2007.

[3]楊桂元, 鄭亞豪. 多目標決策問題及其求解方法研究[J]. 數學的實踐與認識, 2012, 42(2): 108-115.

[4]萬嘉瀅, 張雯, 單瑩. 一種改進多目標規劃逐步Stem與妥協約束法及應用[J]. 統計與決策, 2013(14): 79-81.

[5]羅曉光, 劉飛虎. 基于功效系數法的商業銀行財務風險評價研究[J]. 科技與管理, 2012, 14(05): 93-98.

[6]郭麗暄. 關于多目標規劃的評價函數法[J]. 漳州職業技術學院學報, 2006, 8(04): 12-15.

[7]陳國華, 廖小蓮. 多目標投資組合模型的理想點解法[J]. 湖南工業大學學報, 2010, 24(1): 47-49.

[8]陳燦. 基于組合賦權-理想點法的頂底柱開采方案優選研究[J].礦業工程, 2015, 23(03): 15-18.

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[10]郭惠昕, 張龍庭, 羅佑新, 等. 多目標模糊優化設計的理想點法[J]. 機械設計, 2001, 18(8): 18-20.

[11]楊伍梅, 劉權. 基于MATLAB的多目標規劃最優投資組合方法的探討[J]. 長沙大學學報, 2014, 28(05): 9-11.

(責任編校：龔倫峰)

Research on the Ideal Point Method of Multi-objective Programming Based on MATLAB

YANG Wumei1, LIU Taowen2

(1. Department of Basic Courses, Yiyang Vocational and Technical College, Yiyang, Hunan 413049, China; 2. School of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha, Hunan 410012, China)

The common multi-objective programming problems in production and economic activities are analyzed in this paper. The basic idea, feature and development process of the ideal point method on the basis of comparing, the exising multi-objective optimizing methods are investigated. Based on the ideal point method, the model construction, transformation and solution of the multi-objective planning of the factory procurement are executed, and then the problem is calculated and analyzed with MATLAB. Experimental results show that the proposed method is simple, practical and highly efficient, and outperforms the classical multi-objective programming methods.

multi-objective programming; evaluation function method; ideal point method; MATLAB

O1

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2017.04.0013

1672–7304(2017)04–0060–04

2017-06-18

湖南省教育廳科研項目(15C1382)

楊伍梅(1981- )，女，湖南益陽人，講師，碩士，主要從事最優化理論與算法研究﹒E-mail: 40748054@qq.com