過程生動 思維真實 體悟真切
——兼評張亮執(zhí)教的“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一課

嚴(yán)必友

過程生動 思維真實 體悟真切
——兼評張亮執(zhí)教的“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一課

嚴(yán)必友

在教學(xué)中如何準(zhǔn)確地把握教學(xué)的起點、設(shè)計恰當(dāng)?shù)牟牧虾蛦栴}，往往是能否啟動學(xué)生思維活動的關(guān)鍵所在。針對張亮老師在“三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境、激發(fā)學(xué)生思維、自主思考探究等環(huán)節(jié)的具體實施，闡述了數(shù)學(xué)教學(xué)的幾個關(guān)鍵點和教學(xué)建議。

三次函數(shù)；數(shù)學(xué)思想；課例評析

2017年5月7日至9日，我有幸參加了第12屆江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展評活動的評審工作。這次活動的主題是“人在課中央”，這是對人與課堂、人與課程、人與教學(xué)辯證關(guān)系的形象、深刻而又精到的表達，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“以人為本”的教育理念。一方面，這里的“人”不僅包括學(xué)生，也包括教師本身，師生在課堂中同生共長，相互促進，相互推動，教學(xué)相長；另一方面，“課”是一個載體，一個平臺，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)課程，也在生發(fā)課程，豐富課程；所有的教學(xué)環(huán)境、設(shè)備、內(nèi)容、手段、方法等皆應(yīng)服務(wù)于人，服務(wù)于人的發(fā)展，讓學(xué)習(xí)活動真正發(fā)生。

南京市第一中學(xué)張亮老師執(zhí)教的“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一課，很好地體現(xiàn)、落實了“人在課中央”這一主旨精神，基于學(xué)情，從學(xué)生出發(fā)；創(chuàng)設(shè)情境，從問題出發(fā)；調(diào)動學(xué)生，讓學(xué)生真正參與；因材施教，體現(xiàn)差異和選擇；注重思想滲透、規(guī)律總結(jié)，讓學(xué)生在課堂有實實在在的“增值”。張老師在課堂上設(shè)計了6個問題，以這6個問題貫穿了整個教學(xué)內(nèi)容。下面擇要進行分析。

一、研究學(xué)情，以學(xué)定教

在蘇教版教材中，三次函數(shù)是函數(shù)研究的一個重要載體。在必修1第3章中的 “冪函數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用”、理科選修2-2、文科選修1-1中“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”的教學(xué)中，有很多問題都是以三次函數(shù)為載體進行研究的。所以，很有必要以三次函數(shù)為專題研究對象，對三次函數(shù)進行學(xué)習(xí)研究，讓學(xué)生比較系統(tǒng)、全面地掌握它的圖象和性質(zhì)。同時，學(xué)生在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)以后，也為研究三次函數(shù)提供了有效的方法和工具。

本節(jié)課學(xué)習(xí)是以導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法為主線，探索三次函數(shù)的圖象特征和相關(guān)性質(zhì)。一方面引導(dǎo)學(xué)生對三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行探索、梳理和總結(jié)，另一方面進一步理解導(dǎo)數(shù)思想，掌握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本方法，其研究過程和方法具有普適性、一般性，可以遷移到其他函數(shù)的研究中，研究過程也是學(xué)生體驗數(shù)形結(jié)合、分類與討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法應(yīng)用的過程。

學(xué)生在先前已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念、運算，對導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)（單調(diào)性、極值與最值）中的應(yīng)用有了初步的認(rèn)識。學(xué)生已經(jīng)了解了一些具體的三次函數(shù)（比如y=x3）的圖象和性質(zhì)，也具有了一定的分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等意識和能力。

但是學(xué)生還缺乏對一般意義上的三次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)的整體認(rèn)識，需要在思考、探究、合作、交流中逐步完成對三次函數(shù)圖象特征和相關(guān)性質(zhì)的直觀認(rèn)識與理性思考，形成完整的知識架構(gòu)。

學(xué)生尚未完全掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一般方法，尤其是對不熟悉、較為復(fù)雜的函數(shù)的研究，而且研究過程中需要應(yīng)用到許多與之相關(guān)聯(lián)的知識與方法。所以，應(yīng)該通過具體問題的實際操作，讓學(xué)生經(jīng)歷具體的思考、研究過程，提高學(xué)生分析判斷、解決問題的能力，體驗數(shù)形結(jié)合、分類與討論、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法。

我們看到，在上述學(xué)情的背景下，張老師達到了以下教學(xué)目標(biāo)：1.從具體問題出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷三次函數(shù)圖象特征和性質(zhì)的研究過程，掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一般方法，體驗數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法；2.在理解導(dǎo)函數(shù)值的正負與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的基礎(chǔ)上，掌握三次函數(shù)的圖象特征和相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用；3.通過三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的探究，經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜、具體到抽象的過程，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、樂于探索的良好品質(zhì)，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的意識與能力。

二、學(xué)為教本，依學(xué)而教

張老師設(shè)計的6個問題，針對教學(xué)的不同環(huán)節(jié)，各有側(cè)重。以前3個問題為例，第1個問題是畫出函數(shù)f（x）=x2+2x-3的大致圖象。由學(xué)生各自在練習(xí)紙上作圖，教師查看、指導(dǎo)，了解、記錄他們各自的思路和方法。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上通過對具體二次函數(shù)大致圖象作圖方法的討論，明確作圖的常用方法。三次函數(shù)的研究需要借助于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，這里也為下一步研究做了知識和方法上的鋪墊。

第2個問題的教學(xué)片段如下。

師：借助二次函數(shù)，可以研究什么函數(shù)呢？

教師故作驚訝，未置可否。有的學(xué)生表示贊同，有的學(xué)生流露出疑惑的眼神。

師：d是什么？

生2：d是任意常數(shù)。

師：為什么？你是如何得到的？

生2：這個問題等于是求一個新函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)是 f（x）=x2+2x-3，那它應(yīng)該是一個三次函數(shù)，我用待定系數(shù)法求出了這個函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)就是這個二次函數(shù)，而且它具有一般性。

這里是一次非常重要而且有價值的拓展，學(xué)生實際上解決了一個求不定積分的問題，而且運用的是簡單的待定系數(shù)法。尤其對常數(shù)項不確定的討論體現(xiàn)出思維的深刻和嚴(yán)密。

第3個問題是探索三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖象和性質(zhì)。這一問題的求解對學(xué)生具有很大的挑戰(zhàn)性，通過對導(dǎo)函數(shù)判別式的分類討論，先研究導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的關(guān)系，從其開口方向以及與x軸的交點個數(shù)探求出原函數(shù)的大致圖象和性質(zhì)，這體現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生從一般意義上理解并把握問題的本質(zhì)。

在學(xué)習(xí)研究了一般三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學(xué)生對解決問題的一般方法已經(jīng)有了大致的了解，此時，需要對學(xué)生的掌握情況進行反饋和鞏固，以發(fā)現(xiàn)問題、及時矯正。為此，張老師提供了一道例題，供學(xué)生探討。教學(xué)過程如下。

已知函數(shù) f（x）的導(dǎo)數(shù) f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b 為實數(shù)，1＜a＜2。

（1）若 f（x）在區(qū)間［-1，1］上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值，并作出函數(shù)的圖象；（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點 P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線 l的方程；

學(xué)生練習(xí)，教師巡查指導(dǎo)。

教師用投影展示學(xué)生的求解過程：

由 f′（x）=0，得 x1=0，x2=a。

∵x∈［-1，1］，1＜a＜2，

∴ 當(dāng) x∈（-1，0］時，f′（x）＞0，f（x）遞增；

當(dāng) x∈（0，1］時，f′（x）＜0，f（x）遞減。

∴f（x）在區(qū)間［-1,1］上的最大值為 f（0）=b，∴b=1。 （圖象略）

我們看到，這是一道應(yīng)用鞏固題，既對三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)起到了反饋鞏固的效果，又聯(lián)系了有關(guān)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本方法，使新舊知識相互關(guān)聯(lián)，融為一體，從而幫助學(xué)生深化理解，提升能力。

三、思緒萬千，余味悠遠

聽完了張亮老師的這一節(jié)課，給了我很多的啟發(fā)和思考。我想到了當(dāng)前的課堂，想到了數(shù)學(xué)教學(xué)，想到了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難和艱辛。

縱觀本節(jié)課的教學(xué)過程，其主要內(nèi)容是以導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法為主線，探索三次函數(shù)的圖象特征和相關(guān)性質(zhì)，并且在具體問題的應(yīng)用中進行消化、鞏固。學(xué)習(xí)過程是一個不斷提出問題、解決問題的過程，學(xué)生在不斷分析問題、解決問題的過程中學(xué)會思考、探究、總結(jié)、提升，思維不斷被激發(fā)，有了真實的思維參與、感受體驗和深度學(xué)習(xí)。

首先，如何讓每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)活動都能真正發(fā)生？要因材施教，關(guān)注每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)背景和學(xué)習(xí)方式，充分考慮到學(xué)習(xí)內(nèi)容的差異性和選擇性。教師在備課時要充分考慮到學(xué)生的客觀實際，精心設(shè)計不同的問題、材料和情境，并對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動作出預(yù)判和準(zhǔn)備，在教學(xué)中為他們提供適當(dāng)?shù)呐_階。在這節(jié)課中，教師能充分結(jié)合學(xué)生的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗提出問題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。這在日常教學(xué)中是最為寶貴的，只有準(zhǔn)確診斷、把握學(xué)生的基礎(chǔ)、困難和需求，探明了學(xué)生學(xué)習(xí)的真實位置，才能科學(xué)設(shè)定學(xué)習(xí)的起點，使學(xué)習(xí)活動真正發(fā)生。而脫離了學(xué)生的學(xué)情坐標(biāo)，教師的教學(xué)可能就是一種主觀臆斷和一廂情愿，必然事倍功半甚至勞而無功。其實，學(xué)生在課堂上的真實思維是最為寶貴的，我們不應(yīng)過分追求思維的嚴(yán)密性、科學(xué)性和正確性，只要是真實的思維就是有價值的東西，哪怕是斷斷續(xù)續(xù)或者星光點點。

其次，教師沒有用自己的思維或者個別學(xué)生的思維替代全體學(xué)生的思維，而是始終讓學(xué)生去思考、解決問題，并關(guān)注學(xué)生的思維、探究過程，通過展示、比較、分析，尋找路徑和方法。本節(jié)課的教學(xué)充分體現(xiàn)了方法提煉的過程性特征，讓學(xué)生在解決問題的過程中逐步形成。盧梭在《愛彌兒》中寫道：“我們在路上不是像驛夫那樣追趕路程，而是像旅行家似的沿途觀賞。我們的心中不只是想到一個起點和終點，還要想到起點和終點間相隔的距離。”叔本華也曾說過：“記錄在紙上的思想，不過是像在沙上行走者的足跡而已。我們也許能看到他走過的路徑，如果我們想要知道他在路上看見了什么，則必須要用我們自己的眼睛?！痹谶@節(jié)課中，教師盡可能地讓學(xué)生走進問題，身臨其境，用自己的觀察和思考獲得真知。

在本節(jié)課中我們不難看出，教師選擇的問題也是淺顯而基本的，這說明一個樸實的道理：在基本的甚至簡單的問題中也可以講清深奧的道理。教學(xué)中不宜過分追求問題的難度和技巧，這樣會妨礙部分學(xué)生參與思維活動，甚至?xí)诱`、沖淡主題。概念教學(xué)應(yīng)該注意這樣幾個重要問題：要在真實的情境中引發(fā)問題，在對問題的思考中啟動思維，在分析、比較中形成概念，在鞏固應(yīng)用中深化概念。

再次，教師在教學(xué)過程中十分注重方法和規(guī)律的及時總結(jié)和提煉，使學(xué)生有留得下、帶得走的東西。教學(xué)不是一種排演和過場，透過材料、問題和結(jié)論，背后有哪些有價值的東西值得體味？西方有一種教學(xué)觀點很值得我們學(xué)習(xí)和借鑒：教學(xué)中看得見、摸得著的東西往往不是最重要的。數(shù)學(xué)教學(xué)的背后有一個抽象的，能夠用數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、語言精確表達的東西，即規(guī)律、規(guī)則、模型，這才是需要學(xué)生體悟的。

課堂應(yīng)該是思維的放飛、思想的洗禮和精神的遨游，是一次真實而生動的經(jīng)歷和體驗，充滿著困難、挑戰(zhàn)和艱辛，也伴隨著突破、成功和喜悅。

G633.6

A

1005-6009（2017）59-0061-03

嚴(yán)必友，南京市教學(xué)研究室（南京，210001）主任，高級教師，江蘇省特級教師。