利用基本不等式破解最值問題

■江西省瑞金市第三中學(xué) 劉小東

利用基本不等式破解最值問題

■江西省瑞金市第三中學(xué) 劉小東

利用基本不等式求最值時(shí),必須注意“一正,二定,三相等”。①一正:關(guān)系式中,各項(xiàng)均為正數(shù);②二定:關(guān)系式中,含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值;③三相等:含變量的各項(xiàng)均相等。要取得最值,三條件缺一不可。如果項(xiàng)是負(fù)數(shù),可轉(zhuǎn)化為正數(shù)后解決,當(dāng)和(或積)不是定值時(shí),需要對(duì)項(xiàng)進(jìn)行添加、分拆或變系數(shù),將和(或積)化為定值。

題型一：已知x＞0,求x+k(k＞0)的x最小值,可直接利用基本不等式。

解析：因?yàn)閍,b∈R,ab＞0,則a4+4b4≥4a2b2。

評(píng)注:本題先利用重要不等式得出a4+4b4≥4a2b2,再利用基本不等式得出≥4,取等號(hào)的條件由前后共同決定。

評(píng)注:本題屬于基本不等式在應(yīng)用題中的運(yùn)用。題型二：已知正數(shù)x,y滿足m(λ,μ∈R+,m∈R+且m為定值),求px+qy(p,q∈R+)的最小值。

評(píng)注:本題主要考查基本不等式。先將已知式子變形,再利用1的靈活應(yīng)用,給待求式子配上式子,再運(yùn)用基本不等式和不等式性質(zhì)求出最值。

A.8 B.9 C.12 D.16

綜上可得x+y的最小值為9。故應(yīng)選B。

評(píng)注:本題中給定的形式不直接適合基本不等式,可將已知式子變形,給待求式子配上式子,構(gòu)造出基本不等式的形式再進(jìn)行求解。

題型三：已知正數(shù)x,y滿足λx+μy=

m(λ,μ∈R+,m∈R+且m為定值),求的最小值。

解析：直線平分圓周,則直線過圓心(1,1),所以有a+b=2(當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取“=”),故應(yīng)選D。

評(píng)注:本題先利用直線與圓的位置關(guān)系列出式子,再運(yùn)用基本不等式求解。

評(píng)注:對(duì)于本題,給已知式子配上式子x+(1-x),再利用多項(xiàng)式的乘法相乘,分組并項(xiàng)后利用基本不等式即可求出最小值。

題型四：利用基本不等式將等式放縮,得到不等式,再求解。

評(píng)注:在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。本題中利用基本不等式,將等式轉(zhuǎn)化為不等式,再解一元二次不等式,結(jié)合已知條件,得出mn的最小值。

(責(zé)任編輯 徐利杰)