展開式系數求解方法感悟

■江蘇省響水中學高三(7)班 姜大鵬

展開式系數求解方法感悟

■江蘇省響水中學高三(7)班 姜大鵬

求展開式中指定項的系數是二項式定理的重要內容,也是高考的常考內容,下面談談展開式系數的求解方法。

一、利用二項展開式的通項求解

方法感悟:求一個二項式或兩個二項式積的展開式的系數,可利用二項展開式的通項,先由條件確定r,再求出指定項的系數。

A.6 B.7 C.8 D.9

二、利用賦值法求解

方法感悟:關于x的二項式(ax+b)n(a,b是常數)的展開式可以看成關于x的函數,當x賦予某一值時,可以得到一個與系數有關的等式,所以,當展開式涉及系數,特別是系數和的問題時,可以利用賦值法求解。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析：令x=-1,則(1+1)(-2+1)9=a0+a1+a2+…+a11,得a0+a1+a2+…+a11=-2。故選A。

解析：令x=1,得:

0=a0+a1+a2+a3+a4+a5。①

令x=-1,得:

25=a0-a1+a2-a3+a4-a5。②

由①+②得a0+a2+a4=24,①-②得a1+a3+a5=-24。

則(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256。

特別提醒:若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式的各項系數之和為f(1),常數項a0=f(0),奇數項系數之和為a0+a2+a4+…=偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=

三、利用換元法求解

方法感悟:數學解題是一個轉化與化簡的過程,利用換元法,可將某些系數問題轉化為二項展開式系數問題求解。

A.9 B.10 C.-9 D.-10

解析：令t=x+1,則x=t-1,多項式化為t-1( )2+t-1( )10=a0+a1t+…+a9t9+a10t10,則a9=C110-1( )=-10。故選D。

四、利用計數原理求解

方法感悟:求幾個多項式積的展開式中某一項的系數,根據多項式的乘法法則,可利用計數原理求解。

A.160 B.240 C.360 D.800

解析：(x2+3x+2)5看成五個因式(x2+3x+2)的積,含x的項是五個因式中都不取x2項,恰在一個因式中取3x,從余下的四個因式中取常數形成的,則含x的項為,所以x的系數為240。故選B。

(責任編輯 徐利杰)