淺析數列an+1=pan+q·rn型通項公式的解題方法

■四川省內江市第六中學高18級14班 張藝巍

■四川省內江市第二職業中學 吳 毅

淺析數列an+1=pan+q·rn型通項公式的解題方法

■四川省內江市第六中學高18級14班 張藝巍

■四川省內江市第二職業中學 吳 毅

由遞推公式求數列的通項公式歷來是高考重點、熱點題型,此類題通常較難,故為我們研究的重點。以下就遞推關系為an+1=pan+q·rn(p,q,r為非零常數)的數列通項公式的求法(或證法)作一些膚淺的解析,起一個拋磚引玉的作用。

解法1：由an+1=3an+2n+1,可設an+1+x2n+1=3(an+x2n),即an+1=3an+x2n。由2n+1=x2n,解得x=2。所以an+1+2·2n+1是以a1+2·2=5為首項,以3為公比的等比數列。所以an+2·2n=5·3n-1,所以an=5·3n-1-2n+1。

點評:構造等比數列是求解該題的不錯的途徑,將2n拆分成兩部分給an+1與an,構造新數列an+x·2n

{},再由待定系數法確定x的值。

②×2,消2n+1得:

an+1-2an=3(an-2an-1),n≥2。

所以數列{an+1-2an} 是以a2-2a1=5為首項,3為公比的等比數列,即an+1-2an=5·(3)n-1,③將①式代入③式,整理得an=5·3n-1-2n+1。

點評:同解法1構造等比數列是求解該題的有效途徑。由已知得消去2n+1生成新的等比數列。

解法3：將an+1=3an+2n+1兩邊同除以

解法4：因為an+1=3an+2n+1,所以an+1-3an=2n+1。因此,an=(an-3an-1)+3(an-1-3an-2)+32(an-2-3an-3)+…+3n-2·(a2-3a1)+3n-1a1=2n+3·2n-1+32·2n-2+…+3n-2·22+3n-1·(3-2)。

整理得an=5·3n-1-2n+1。

點評:累加法也是解該題的有效途徑。其公式是an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1。

將本題中的“求數列{an}的通項公式”改為“證明數列{an}的通項公式為an=5·3n-1-2n+1”,可采用此法證明如下:

解法5：(1)當n=1時,a1=5-4=1,結論成立。

(2)假設當n=k時,ak=5·3k-1-2k+1。

那么,當n=k+1時,ak+1=3ak+2k+1=3(5·3k-1-2k+1)+2k+1=5·3k-3·2k+1+2k+1=5·3k-2k+2。

所以當n=k+1時,結論也成立。

由(1)(2)可知,通項公式an=5·3n-1-2n+1對任意n∈N*都成立。

點評:數學歸納法證明本題,以前的教材有這類證明方式,有興趣的學者可探討,這也有曲徑通幽之妙。

以上是數列an+1=pan+q·rn的幾種解法,構造法內含很強的邏輯能力和推理能力,它沒有固定思維方式,且有一定難度,但在解決實際問題中因構造法方法靈活,適于建模,與其他方法相比優越性凸顯,且通過創造性的構造思維訓練,可有效地提高同學們的思維能力,以達到解數列通項公式題時游刃有余之效。

(責任編輯 徐利杰)