探析恒成立問題的解題方法

■河南省鄭州外國語新楓楊學校 胡一凡

探析恒成立問題的解題方法

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恒成立問題是高考及數學競賽的熱點。下面就此問題的幾種基本解法加以論述。

一、利用判別式法

對于涉及函數f(x)=ax2+bx+c＞0(a≠0,x∈R)的問題,可利用下列關系求解:f(x)＞0恒成立或f(x)＜0恒成

分析：本題可轉化為對任意x∈R恒有(m-1)x2+(m-1)x+2＞0成立。故可利用判別式法求解。同時要注意二次項系數為零的情況。

解：當m-1=0時,即m=1時,有f(x)=2＞0恒成立。

當m-1≠0時,則需m-1＞0,Δ=(m-1)2-8(m-1)＜0,即1＜m＜9。

所以實數m的取值范圍為1≤m＜9。

二、利用函數的最值法

對于“不等式f(a)≤g(x)或f(a)≥g(x)在給定區間I上的一切x恒成立”問題,最終可轉化為求函數在給定區間I上的最大值或最小值問題,即f(a)≤g(x)min或f(a)≥g(x)max,再解相應的不等式即可。設f(x)=lg其中a∈R,如果x∈(-∞,1]時,f(x)有意義,求實數a的取值范圍。

解：由題意知,不等式1+2x+4xa＞0對x∈(-∞,1]恒成立,即有:

三、反客為主法

在不等式恒成立的問題中,如果含有兩個變量,常把含有x的變量作為自變量,把另一個變量作為參數。但有時候我們可以換位思考,變換主元,反客為主。

解：f(x)可變形為g(a)=(x-2)a+x2-4x+4。

于是該題就變成:當a在[-1,1]內任意取值時,g(a)恒大于零,求x的取值范圍。

因g(a)是一次函數,所以g(a)在[-1,1]上為正,只要

故x＜1或x＞3。

四、數形結合法

當同一個不等式中含有兩個不同類型的函數時,可在同一直角坐標系中畫出兩個函數圖像,然后觀察函數圖像,從而得出參數的取值范圍。

解：不等式可化為x2+1＞-k(x-1)。如圖1,作拋物線弧,y=x2+1(0≤x≤1),作過(1,0)且斜率為-k的直線L:y=-k(x-1),則只需求使位于直線L上方的k的取值范圍即可。所以直線L的斜率-k＞kCA=-1,k＜1。

小結：以上四種方法是求解不等式恒成立的參數取值范圍問題的基本方法,我們要注意掌握。

圖1

(責任編輯 趙 平)