2017 年高考不等式經(jīng)典問題聚焦

■陜西省洋縣中學 劉大鳴(特級教師)

2017 年高考不等式經(jīng)典問題聚焦

■陜西省洋縣中學 劉大鳴(特級教師)

2017年高考對不等式的考查圍繞“不等式求最值的多種思維方法及應用,線性規(guī)劃及應用,不等式求解函數(shù)”展開,凸顯不等式的工具性。

聚焦1 “多種方法”湊定值,用不等式求最值

點評:基本不等式的常用形式包含a2+b2≥2ab(a,b∈R),a+b≥2應用基本不等式求最值,必須滿足 “一正、二定、三相等”。要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為定值的形式,如本題中“1”的妙用和三角換元都是為了滿足使用基本不等式的條件。

聚焦2 多次用不等式求最值,保證同時取等號的條件

解析：分式類二元函數(shù)求最值,可用不等式和部分分式湊積為定值求最值。

點評:多次使用基本不等式求最值時,要注意等號是否同時成立,需構建同時滿足條件的方程組,求解并進行驗證。

聚焦3 用均值不等式求解實際應用題

解析：構建總費用的目標函數(shù),用基本不等式求解。由題意知總費用當且僅當即x=30時等號取得。

點評:求實際應用中的最值,常常構建目標函數(shù)用基本不等式求解,要注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足 “正”(即條件中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號成立的條件)的條件才能應用,否則會出現(xiàn)錯誤。

聚焦4 用不等式尋找媒介值切入確定大小關系

解析：用基本不等式找媒介值,特殊化取值,借助指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質及對數(shù)函數(shù)的性質確定大小關系。因為a＞b＞0,且ab=1,所以log2(a+b)＞log22,則媒介值為1。注意條件a＞b＞0,且ab=1,特殊化處理可取a＞1,則0＜b＜1,故由指數(shù)函數(shù)y=2x及y=x圖像之間的取對數(shù)得關系有+b(b∈(0,1)),故,所以選B。

點評:若冪的底數(shù)相同或對數(shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較。本題雖小,但考查的知識點較多,需靈活利用基本不等式找媒介值,取特殊值,再借助指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質,指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像間的關系,作出判斷。

解析：根據(jù)約束條件畫出可行域,結合目標函數(shù)的幾何意義,在可行區(qū)域內(nèi)求最值。

不等式組表示的可行域如圖1所示。

圖1

最小值為3×(-1)-2×1=-5。

點評:在線性約束條件下,求目標函數(shù)的最大(小)值步驟是不變的:(1)尋找線性約束條件;(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域畫出可行域;(3)在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解。目標函數(shù)分為:①直線型,轉化成斜截式比較截距大小,要注意z前系數(shù)為負時,截距越大,z值越小;② 分式型,其幾何意義是已知點與未知點的斜率;③ 平方型,其幾何意義是距離,尤其要注意的是最終結果應該是距離的平方;④ 絕對值型,其幾何意義是點到直線的距離。

聚焦6 利用“線性規(guī)劃”求解實際應用問題

表1

已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600min,廣告的總播放時間不少于30min,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍。分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)。

(1)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式,并畫出相應的平面區(qū)域;

(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使收視人次最多。

解析：列出約束條件的不等式組,作可行域,利用線性規(guī)劃知識求解最優(yōu)值。

(1)由已知得x,y滿足的關系式為:

該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖2中陰影部分內(nèi)的整點(包括邊界)。

(2)設總收視人次為z萬,則目標函數(shù)為z=60x+25y。

圖2

所以,電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多。

點評:本題是線性規(guī)劃解最值問題,解交點做可行域,把目標函數(shù)化為標準的斜截式,運動使目標函數(shù)(平行的直線系)過特殊的交點取得最值,凸顯數(shù)形結合思想在最優(yōu)化問題中的具體應用,但要注意實際問題中的最優(yōu)解是整數(shù)。

聚焦7 利用“線性規(guī)劃”求解變量的取值范圍

解析：動點與兩定點構成的向量的數(shù)量積的最大值,其實質就是二元一次變量在_可行域上的最值。設P點坐標為(x,y),由·≤20和x2+y2=50易得2x-y+5≤0。由,可得(,)或M-5-5 N(1,7)。由2x-y+5≤0得,P點在圓左邊上,結合限制條件-52≤x≤52,可得點P橫坐標的取值范圍為[-52,1]。

點評:用線性規(guī)劃求解取值范圍,首先,明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域,分界線是實線還是虛線,其次,確定目標函數(shù)的幾何意義,是求橫坐標或縱坐標、直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率,還是點到直線的距離等,最后,結合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍。解本題時易忽略-52≤x≤52。

聚焦8 利用不等式研究函數(shù)區(qū)間上的最值

以a為分類對象進行討論:

③當4＜a＜5時,由復合函數(shù)值域知,[f(x)]max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},則:

點評:本題利用基本不等式和對勾函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,由x∈[1,4]知x+∈[4,5],通過對解析式中絕對值號的處理,進行分類討論:① 當a≥5;②a≤4;③4＜a＜5。問題的難點在于對分界點的確定及討論上,解題時應仔細對各種情況進行討論。特別注意當4＜a＜5時,由復合函數(shù)值域知,[f(x)]max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},進而分類解含有絕對值的不等式組。

(責任編輯 徐利杰)