隨機利率模型下養老基金的最優化管理

◎吳迪洲

隨機利率模型下養老基金的最優化管理

◎吳迪洲

針對我國日益加深的老齡化趨勢和養老金缺口，本文主要研究了養老金的收益保障運籌最優化問題（帶下限保障）。本文引入Cox-Ingersoll-Ross利率模型，從而對金融世界作實際的假設。通過分解養老金將有下限約束的退休收益優化問題轉化為無約束的自融資基金優化問題，最后在CIR利率模型下討論最優策略微分方程及其數值解。

背景介紹

作為社會保障體系的重要環節，員工養老金計劃的推出和風險管理是國內政府有關部門日益重視的現實問題。隨著人口結構的不斷變化，老齡化格局愈演愈烈，推動基金類也就是DCP養老金方案成為了發展的主流。本文主要討論DCP確定繳費養老金方案，而考慮到養老金計劃應該能夠支付給受益人最基本的生活保障，所以引入一個最低收益的前提。同時考慮養老金投資年限較長，一般在二十年以上，利率不會恒定不變，因此引入隨機利率模型是必要的。本文主要考慮在Vasicek利率模型下的情況。

模型建立

金融市場假設

在本文中，金融市場被假定為無套利，無摩擦且連續開放的。且對養老金的投資行為不影響各類證券的價格。現取一個完備的概率空間(Ω, F, P)，并在其上定義一個二維布朗運動（Wr(t),W(t)）,t≥0，令F(t)t≥0是該布朗運動產生的自然σ域流來描述到t時刻所有市場信息。假設市場中一共有三類投資工具：現金，股票，長期債券。

假設1 仿射利率的確定： Heath Jarrow and Morton 模型里遠期利率f(t,u)滿足，無風險瞬時利率r(t)= f(t,t)，于是可以推導現金資產的價格，此時得到Vasicek模型，代表現金資產的順勢無風險利率。令得到CIR模型。

假設22 假設到期日為T的無息票債券在t時刻的價格為B(t,T),滿足

其他假設

繳費率c(t)

假設1 繳費率c(t)

我們用繳費率（contribution rate）表示在連續時間模型中投資者在時刻t1向基金投入c(t)

假設2 下限保障G(T)

假設養老金以永久年金的形式發放，讓f(t)代表最小年金，T為截至時刻，那么

假設3 財富過程X(t)

表示為t時刻在現金S0(t) 股票 S(t)和債券B（t,K）上的資產。

最優化原則

采用效用函數期望優化

最優化問題的解

因為X（t）不是自融資過程并帶有約束條件，因此可以借助倒向隨機微分方程保證解唯一。

自融資過程的使用

把賬面價值D（t）與Y（t）拆分，可以得到Y(t)= X(t) – D (t)

通過對D（t）求導不難得到如下微分方程：

其中

既然Y（t）顯然可知是自融資過程，那么問題簡化為

G（t）用資產組合復制

讓 Z(t)=Y(t)-G(t)=X(t)-D(t)-G(t) 代入上面的微分方程

其中

即可得到

求解偏微分方程

那么有

其中Et為條件期望算子。

再令 Φ (w *; Z,P,f,t)=L(J)

其中，L為關于變量（Z,Pf)的Dynkin算子。

滿足

最終我們得到最優投資策略

結論與展望

本文得到了一個繳費確定計劃養老金的計算方法，可以用于基金經理的實際操作中。值得注意的是，我們假定了市場中投資工具分為三類，只考慮股票市場指數作為資產代表，在現實情形中我們可以對多資產的情況進行頻繁推廣。另外，通過HJM模型推導出的Vasicek模型是對隨即利率的一種刻畫的框架，而我們可以未來通過他構造更現實的利率模型。

英國利物浦大學）