例談幾何輔助線的添加規律

高建成

摘 要：在幾何解題教學中，為了證明結論的正確性，常常需要添加輔助線.輔助線的添加是有規律的.在教學中，教師應該引導學生對幾何問題進行逐步分析，隨著分析的進程，輔助線就自然生成，結論的證明也就順理成章.

關鍵詞：解題教學；基本圖形；輔助線；規律

在幾何教學中，學生常常會向教師提出這樣的問題：“老師，這條輔助線是怎樣想出來的？”“老師，添輔助線有規律嗎？”“添輔助線的規律是什么？”“老師，為什么你會想到這樣添輔助線，而我就想不到？”……要很好地回答學生的問題，教師就要回到幾何的本原，回歸基本圖形進行思考與挖掘，前者是基于《幾何原本》邏輯推理的理性，這個思維鏈條太長；后者回歸基本圖形，是思維的濃縮與凝煉，能夠提高思維效率.

我們都知道，任何復雜的幾何圖形都是由基本圖形組成的，這些基本圖形是組成一個幾何問題圖形的最簡單、最重要、最基本的，但又是具有特定性質的圖形，能明確地闡明應用條件和應用方法的圖形[1].添加輔助線利用基本圖形分析，就是一種建立在對每一個基本圖形和圖形性質的分析、認識、應用基礎上，將不完整的、殘缺的基本圖形補充完整，從而添加輔助線的分析、思考方法.

任何一個復雜的平面幾何圖形，都是由若干個基本的平面幾何圖形組合而成，當若干個基本的平面幾何圖形組合而成為一個平面幾何問題時，許多條件、性質、結論就隱去了.所以幾何解題教學中的分析和思考，就是要將這一綜合過程反過來進行，剖析、再現并找到這些基本的平面幾何圖形，應用這些基本平面幾何圖形的條件、性質、結論，使問題得到解決.

顯然，基本圖形不是構成幾何圖形的基本元，例如線段、垂線、三角形、圓等，它們必須是完整的圖形，有特定的性質，更為重要的是要能講清楚這個圖形的應用條件和應用方法，才能進入基本圖形的集合.下面，以一道幾何證明題為例，說明如何利用基本圖形尋找、添加輔助線進行解題教學.

一、案例分析

案例：如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，BE是∠ABC的角平分線，過E作EF⊥BE交BC于點F，EG⊥BC，垂足是G，求證：DG=BF.

分析：本題的條件中出現BE是∠ABC的角平分線和EF⊥BE，EF既是角平分線又是BE的垂線，就出現角平分線和向角平分線所作的垂線，所以可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明，角分垂，輔助線就呼之欲出.而現在角平分線BE的垂線EF與角的一邊BC已經相交，而與另一邊BA尚未相交，所以應將它們延長到相交，也就是延長FE交BA的延長線于點H，補全基本圖形（如圖2），這是基本圖形分析法中作輔助線的基本想法.

就可得△BEH≌△BEF，BH=BF，EH=EF，這里應用的等腰三角形中的重要線段就是這個問題的第一個基本圖形（如圖3）.

在證明BH=BF后，本題要證明的結論DG=BF，就轉化為要證DG=BH，這是兩條線段之間的倍半關系，而由于∠BEH=90°，所以這兩條線段之間的倍半關系中的倍線段就成為直角△BEH的斜邊，從而就可應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形（如圖4）進行證明.

現在圖形中是有直角三角形而沒有斜邊上的中線，所以應將斜邊上的中線添上，圖形上已有中點E，顯然就要取BH的中點I，連結EI交AD于點J，就可得EI=BH，這里應用的直角三角形斜邊上的中線就是這個問題的第二個基本圖形，也就是添加第二條輔助線的來源（如圖5）.

下面，問題就成為要證DG=EI.由于I，E這兩個中點所在的線段具有公共端點，可以組成三角形，所以這兩個中點的連線就是三角形的中位線，也就可得IE∥BF，這里應用的三角形中位線就是這個問題的第三個基本圖形（如圖6）.

在證明了IE∥BF后，就出現IE是△ABC內一條邊BC的平行線段，所以可應用平行線型相似三角形進行證明，也就可得△AIE∽△ABC，而已知AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，所以AI=AE，AJ⊥IE，垂足是J，并可得J是IE的中點，JE=IE（如圖7）.

這里應用的平行線型相似三角形就是這個問題的第四個基本圖形（如圖8）.

現在的問題就成為要證明DG=JE，由于條件還給出EG⊥BC，垂足是G，所以EG∥JD，而EJ∥GD，從而應用平行線的性質就能證明DG=JE，至此證明完成.這里應用的平行線就是這個問題的第五個基本圖形（如圖9）.

通過這一例題的分析，就可以發現像這樣一道比較復雜的幾何問題（圖形），實際上是由五個基本圖形組合而成的，分析并找到這五個基本圖形，也就找到了添加輔助線的位置，再應用這五個基本圖形的性質，就可以使問題得到解決，這樣一種分析方法就是基本圖形分析法，利用基本圖形分析來添加輔助線就找到了規律.

二、教學啟示

（一）幾何問題中輔助線的添加是有規律可循的

任何一個復雜的平面幾何圖形，都是由若干個基本的平面幾何圖形組合而成的，當若干個基本的平面幾何圖形組合而成為一個平面幾何問題時，許多平面幾何圖形的條件、性質、結論就隱去了，尋找基本的平面幾何圖形，并對殘缺、不完美的基本平面幾何圖形進行補充和完善，就是添加輔助線的本質、規律所在.對平面幾何圖形進行剖析后發現，平面幾何中的基本圖形，綜合起來有七大類：全等三角形、相似三角形、等腰三角形、平行線、特殊角三角形、與面積方法相關的三角形、與圓相關的角等等.這就要求我們在教學中，對基本圖形要進行系統深入分析，在一個幾何問題中，為什么會想到要應用這個基本圖形而不是想到要應用另外的一個基本圖形，顯然是決定于這個基本圖形的特征，決定于這個基本圖形不同于其他基本圖形的屬于他本身獨具的本質屬性，決定于這個基本圖形和其他基本圖形的本質上的差異，因此，學生如何能夠迅速抽離出基本圖形，并選取圖形中有用條件進行分析就很關鍵.

有了這種基本認識，教師在面對前面的問題“老師，添輔助線有規律嗎？”“添輔助線的規律是什么？”“老師，這條輔助線是怎樣想出來的？”“老師，為什么你會想到這樣添輔助線，而我就想不到？”時，就能作出正確的回答：探尋隱去的基本圖形.幾何問題中添輔助線的規律，只要經過認真的學習，是可以學會，可以掌握的.endprint

（二）幾何問題中的每一條輔助線都是分析的結果

對每一條輔助線都能夠講清楚它是怎樣想出來的.題目千變萬化，唯有思維方法不變，規律要個人參悟.只能意會幾何問題中的所有的輔助線是從哪里來的.它們都應該是由人的大腦想出來的，應該是人們經過分析、思維得到的，而絕不是從天上掉下來的.因此，幾何問題中的每一條輔助線都應該是分析的結果，從而對每一條輔助線，我們也就能夠明白它是怎樣想出來的.在平面幾何教學中，教師應將每一條輔助線想出來的過程，剖析出來并展示在學生的面前，在一個幾何問題的分析過程中，在任何一個步驟上，教師都能接受并經受得住學生的提問，并能給予正面、直接和正確的回答.

我們所講的每一道例題，要有意識地采用展示思維過程的方法來進行介紹，問題很清楚，有了正確的思維過程，正確的證明過程就是必然的歸宿，而沒有正確的思維過程，正確的證明過程不可能從天上掉下來.正確的思維過程就是：反復回歸到基本圖形，從復雜圖形中識別圖形內在結構，利用基本圖形性質去想象輔助線.

（三）幾何問題中的輔助線是逐步添加出來的

幾何問題的分析和思維過程，是一步一步推進的，老師的講課就應該是像剝筍一樣，一層一層地剝出來，讓學生清楚地看到一步一步走向成功的思維過程，這是幾何教學成功的關鍵，也是衡量教師教學水平和教學能力的一條重要標準.因此，輔助線的添加應該隨著分析過程的進行，分析到哪里，添加到哪里，因而是逐步添加出來的.

尤其是當一個問題中出現多條輔助線時，這些輔助線的添加有一個先后的次序和過程，只能是一條一條、有先有后地想出來或添出來，從而也就只能隨著分析過程的進行和發展，逐步添加，逐步完成，也就是分析到哪里就添到哪里，這樣就能夠完整地向學生顯示每一條輔助線是怎樣想出來的，整個問題的解決又是怎樣一步一步想出來的.在這樣一個前提下，我們還可以進一步發現，幾何問題中的輔助線是既不能少添，這樣問題就會解決不了；也不能多添，因為這時多添加出來的部分就會是說不清楚道理的.

綜上所述，平面幾何基本圖形分析法的獨創之處，就在于具體而周全地展示每一個平面幾何問題的思維、分析過程，詳盡地介紹每一個平面幾何問題是怎樣一步一步想出來的，基本的平面幾何圖形也是隨著思考的進程而被逐個發現出來的，一條條輔助線也是隨著分析的過程而自然“生長”出來.這樣，就從根本上消除了學生長期以來存在著的對平面幾何學習、實質上就是對添輔助線問題學習的畏懼心理.

參考文獻：

[1]陸麗麗.一個基本圖形的拓展與應用[J].中學數學（初中版），2012（9）：79-81.endprint