萬有引力定律的應用

【摘要】《萬有引力定律的應用》是必修2第三章的內容，這部分知識主要介紹了：萬有引力定律、星體運動和彗星軌道方面的知識，探究了天體的質量的有關計算，并講述了衛星的發射和運行原理，推導了第一宇宙速度，介紹了第二、第三宇宙速度。這部分知識有效運用了圓周運動有關知識。教學內容滲透了科學探究的思想和方法，同時也進一步體現了物理學中理想模型的研究方法，這有利于培養學生的科學思維能力，在面對問題時自主尋找利用已知知識去解決實際問題的辦法。由于這部分知識涉及公式過多，并且無法跟其他物理現象一樣在上課實驗，許多學生將客觀現象混淆，知識脈絡不清，規律理解不準確，運用規律解決具體問題時胡亂套用公式。為使學生對這部分知識有一個清晰的認識并且能有效利用到學習和生活中，現在這里對該部分知識進行初步的探討。

【關鍵詞】萬有引力；重力；向心力；衛星；變軌

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）12-0036-02

本文就目前的教科版高中新課標物理中萬有引力定律的應用一章節展開盡可能全面的討論和分析，讓同學們能更清楚的知道這部分內容的主次關系，教學時從何出發、重點在哪些地方，如何做到“教學無死角，解題無障礙”，旨在讓學生在學習時容易理解并活學活用而不只是單純的應付考試。

在進行本次論文之前，我在學習和研究過程中，發現學生存在以下問題：

1.不能正確區分萬有引力和重力，什么情況下重力只是萬有引力的一個分力，什么情況下重力可以近似等于萬有引力。

2.不能從力和運動的角度分析地面物體隨地球自轉作圓周運動和衛星作圓周運動的區別。

3.如何運用已知條件來計算中心天體的質量等參數。

4.不能正確理解人造衛星的最小發射速度和最大運行速度。

5.衛星發射和回收過程中涉及到能量變化速度差異的變軌問題是學生感覺很難的知識。

針對以上學生存在的問題，現將這部分知識進行如下整理。

一、地球表面上的物體受到的重力和萬有引力的關系

萬有引力定律：自然界中任何兩個物體都是互相吸引的，引力的大小跟這兩個物體的質量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比。即，其中G=6.67×10-11N·m2/kg2。重力：由于地球的吸引而是物體收到的力，重力的方向總是豎直向下.對地球上靜止的物體而言，受到萬有引力和支持力的作用，這兩個力的合力提供了物體隨地球自轉作圓周運動的向心力。也可以理解為：萬有引力可分解為重力和向心力，其中重力和支持力是一對平衡力。

1.地球赤道上物體

設地球半徑為R，地球質量為M，地球自轉周期為T，萬有引力常量為G，地球表面重力加速度為g，地球赤道上一靜止物體質量為m，受力如圖所示，其中物體所受支持力為N，由牛頓第二定律可得：物體隨地球自轉作圓周運動的向心力其中N=mg，代入數據M=5.9722×1024kg，地球半徑R=6.4×106m，T=24h=86400s，G=6.64×10-11N·m2/kg2，a向=0.034m/s2，g=9.68m/s2

由此可以看出g>>a向，通常情況下，若不需考慮地球自轉的時候，可以認為重力等于萬有引力。

2.位于地球上某一緯度的物體

現在我們來研究位于地球上緯度為φ的靜止物體，物體由于地球自轉而作圓周運動的半徑r=Rcosφ。物體受力如圖，萬有引力的一個分力提供向心力，另一個分力（即重力）與支持力構成平衡力。

由此可以看出隨著緯度φ增加，F向會越來越小，而重力會越來越大。即重力會隨著緯度的升高而逐漸接近萬有引力。

3.位于地球上南北兩極的物體

由以上分析可知，位于地球上南北兩極的物體所受的重力等于萬有引力。

綜上所述，由于地球是橢圓，隨著緯度的升高，萬有引力逐漸增大，地球表面物體隨地球自轉作圓周運動的向心力不斷減小，物體的重力逐漸增大。即重力加速度隨緯度的升高而增大。在不需要考慮地球的自轉的情況下，在地球表面附近可以認為重力等于萬有引力。

二、求中心天體質量的方法

1.已知星球表面的重力加速度，求該星球的質量

卡文迪許為什么說自己的實驗是“稱量地球的重量（質量）”？

例1.設地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半徑R=6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11N·m2/Kg2，試估算地球的質量。

例2.宇航員站在一個星球表面上的某高處h自由釋放一小球，經過時間t落地，該星球的半徑為R，你能求解出該星球的質量嗎？

提示：這兩道題實質都是利用GMm/R2=mg求解星球質量的。

2.利用萬有引力等于向心力求解中心天體的質量，（即利用GMm/R2=mv2/R）

例3.把地球繞太陽的公轉看作是勻速圓周運動，軌道半徑約為1.5×1011m，已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，則可估算出太陽的質量約為2×1030kg。

三、地球的衛星

1.近地衛星

我們如果將衛星繞地球的運動處理為勻速圓周運動，萬有引力提供了衛星作圓周運動的向心力，即有GMm/R2=mv2/R=mg，其中m為衛星質量，故有v=≈7.9km/s。

2.高空衛星

對于高空衛星而言，有GMm/r2=ma向=mv2/r=4π2mr/T2，所以可以看出隨著衛星運動軌道半徑逐漸增加，向心加速度逐漸減小，衛星運行的速率逐漸減小，運行周期逐漸增大。由于r≥R，故7.9km/s是最大的運行速率。注意：由于r≥R，所以GMm/r2≤mg，所以運算還可以將表達式轉化為mgR2/r2=mv2/r=4π2mr/T2。endprint

3.同步衛星

對同步衛星而言，衛星的周期為T=24h=86400s，根據GMm/r2=4π2mr/T2可知，同步衛星具有一定的運動平面、運動高度、運動速率。

4.地球衛星的發射速度和運行速度

當衛星的發射速率達到7.9km/s時，從理論上講，它可以剛好成為地球的一顆近地衛星，即發射出去后不需要升空就繞地運行，此時，衛星的發射速率等于運行速率。對某一衛星而言，當發射速率大于7.9km/s時，衛星進入高空運行，衛星升空過程中，由于地球引力作用，衛星所受萬有引力對衛星做負功，衛星動能減小，引力勢能增加，在無動力升空過程中機械能守恒。所以隨著發射速率的增加，衛星運動軌道半徑增加，根據GMm/r2=mv2/r可知衛星在高軌道上運行速率反而越小。這里要注意：對不同軌道上的衛星，如圖所示的A、B兩顆衛星，RAVB運，而發射速率卻是VA發EKB，EPA

四、衛星的變軌

1.漸變

衛星在運行的過程中，可能由于外界某些因素的影響，導致衛星運動軌道的緩慢變化，由于軌道半徑是緩慢變化，我們可以將衛星每一周的運動處理成勻速圓周運動。

解決此類問題的關鍵是：抓住力與運動的關系，也就是提供向心力F提（地球與衛星之間的萬有引力）與需求向心力F需（衛星作圓周運動需要的向心力）的關系。當F提>F需時，衛星作近心運動，當F提

例如：人造衛星繞地球做勻速圓周運動，在運動過程中總會受到一定的阻力作用。由于阻力對衛星做負功，衛星動能減小，運行速率減小，F需減小。而F提卻不變，此時F提>F需時，衛星作近心運動。這樣導致半徑r減小，由GMm/r2=mv2/r可知：衛星線速率v將增大，周期T將減小，動能Ek將增大，勢能Ep將減小。該過程有部分機械能轉化為內能，因此衛星機械能E機將減小。

為什么衛星克服阻力做功，動能反而增加了呢？這是因為一旦軌道半徑減小，在衛星克服阻力做功的同時，萬有引力（即重力）將對衛星做正功。而且萬有引力做的正功大于克服阻力做的功，外力對衛星做的總功是正的，因此衛星動能增加。

為使衛星仍按原軌道運動，需給衛星補充一定的能量，這一能量等于衛星克服阻力所做的功。

2.突變

由于技術上的需要，有時要在適當的位置短時間啟動飛行器上的發動機，使飛行器軌道發生突變，使其到達預定的目標。

如：發射同步衛星時，通常先將衛星發送到近地軌道Ⅰ，使其繞地球做勻速圓周運動，速率為v1，第一次在P點點火加速，在短時間內將速率由v1增加到v2，使衛星進入橢圓形的轉移軌道Ⅱ；衛星運行到遠地點Q時的速率為v3，此時進行第二次點火加速，在短時間內將速率由v3增加到v4，使衛星進入同步軌道Ⅲ，繞地球做勻速圓周運動。

第一次加速：衛星需要的向心力增大了，但萬有引力沒變，即F提

在轉移軌道上，衛星從近地點P向遠地點Q運動過程只受重力作用，機械能守恒。重力做負功，重力勢能增加，動能減小。在遠地點Q時如果不進行再次點火，衛星將繼續沿橢圓軌道運行，從遠地點Q回到近地點P，不會自動進入同步軌道。這種情況下衛星在Q點受到的萬有引力大于以速率v3沿同步軌道運動所需要的向心力，因此衛星做近心運動。

為使衛星進入同步軌道，在衛星運動到Q點時必須再次啟動衛星上的小火箭，短時間內使衛星的速率由v3增加到v4，使它所需要的向心力增大到和該位置的萬有引力相等，這樣就能使衛星進入同步軌道Ⅲ而做勻速圓周運動。該過程再次啟動火箭加速，又有化學能轉化為機械能，衛星的機械能再次增大。

結論：要使衛星由較低的圓軌道進入較高的圓軌道，即增大軌道半徑（增大軌道高度h），一定要給衛星增加能量。與在低軌道Ⅰ時比較，衛星在同步軌道Ⅲ上的動能Ek減小了，勢能Ep增大了，機械能E機也增大了。

參考文獻

[1]人教版新課標高中物理必修二.

作者簡介：姓名：張二九；出生年月：1995年12月；性別：男；籍貫：四川；學歷：大學本科；研究方向：中學物理教育。