在高等數學教學中融入數學建模思想

劉曉波

摘 要： 在新時代背景下，大學數學建模課程的教學目的及其開設的重要性被廣大教育學者所認知，將數學建模思想融入高等數學的教學改革中，不僅可以培養大學生的創新思維及科研意識，還可以調動學生的學習興趣，樹立學生團隊精神.提高了高等數學教學的質量，對學生的能力提升、綜合素質的培養都有著積極的作用。

關鍵詞： 高等數學教學；數學建模

1、數學建模的內涵

數學建模是近幾年發展起來的新型學科，是結合實際問題與數學理論為一體的科學. 數學建模通過建立模型來實現現實問題數學化、數學問題現實化，打破了傳統枯燥、乏味、純理論性的數學模式，是聯系現實生活與數學世界之間的紐帶。它針對現實生活中的一個特定對象和目的，根據事物內在規律，作出相應假設，通過合適的數學工具建立模型，進行研討并得出結論.

數學建模一般要經歷下列步驟。（1）調查研究。在建模前，建模者要對實際問題的歷史背景和內在機理進行全面的調查研究。（2）抽象簡化。建模前必須抓住問題的主要因素，提出必要的、合理的假設，將現實問題轉化為數學問題。（3）建立模型。將問題歸結為某種數學結構。（4）求解模型。要求建模者熟練地使用 Matlab、Mathtype、Spss 等軟件。（5）模型分析。對求出的解，進行實際意義和數學理論方面的分析。（6）模型檢驗。在許多問題中，建立的模型是否真實反映客觀實際需要驗證。（7）模型修改。使模型中的各個因素更加合理。（8）模型應用。數學模型及其求解的目的應該是對實際工作進行指導及對未來進行預測和估計。由此可見，數學建模是一個系統的過程，在進行數學建模活動的過程中需要利用各種技巧、技能以及綜合分析等認知活動。

2、數學建模的作用

隨著近代數學及其應用的發展，高等數學的基本理論和思維方法已經滲透到了社會生活的各個領域之中。高等數學是大學多學科學生的一門重要的基礎課程。可以培養學生的邏輯推理能力、抽象思維能力、思維方法和知識結構的形成等方面有著其他課程無可替代的優勢與作用。

我國高等數學課程在授課內容上，主要著眼于數學內部的理論結構和它們之間的邏輯關系，存在重經典、輕現代，重分析、輕發現，重技巧、輕方法，重理論、輕應用的傾向。過分強調數學的邏輯性和嚴密性，而忽視理論背景和實際應用。不利于培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，不能滿足后續專業課的需要。同時也使學生的創造性得不到充分發揮，不利于能力的培養。

數學建模是通過對實際問題的定量分析，建立數學模型，利用數學知識解決問題的一種手段。將數學建模思想融入大學數學教學中，使抽象的概念和具體的生活事件相聯系，打破以往枯燥、乏味、純理論性的數學學習，它為數學注入了新的活力.通過對現實生活中實際問題的研究，可以開闊知識面，培養創新思維。通過小組討論學習，共同完成研究，可以很好地樹立學生團隊精神。數學建模讓學生了解到生活中的許多問題可以用數學知識來解決，久而久之，他們會發現數學的魅力，進而培養學習興趣.

3、數學建模教學模式的探討

任何一門數學分支都是人類在探索自然規律而發展起來的，所以，重要概念的提出、公式和定理的推導以及整個分支理論的完善都是前人對現實問題進行數學建模的結果。如何將前人的建模思想在傳授知識的過程中再現給學生，可以通過如下兩個途徑來實現。

一是盡量用原始背景和現實問題，直觀的演示引入定義、定理和公式，然后再由通俗的描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。這樣不僅使學生真正了解到知識的來龍去脈，熟悉了這類問題的本質屬性，學會了如何從實際問題中篩選有用的信息和數據，建立數學模型，進而解決問題。

二是精選應用例題，進行建模示范，啟發學生用數學解決實際問題的意識。遵循減少經典、增加現代、減少技巧、增加應用的原則。，使學生體驗到應用數學解決實際問題的樂趣，加深對知識的理解。

4、高等數學教學中的教學案例

4.1微積分教學中的案例

高等數學的背景包含了大量前人數學建模的過程，蘊藏著豐富的創造性思維的軌跡。“無窮小量分析”和“微元分析”是微積分學的主要思想方法，微分和積分的基本概念就是運用這兩個思想方法，在解決實際問題中，分析和處理變與不變、直與曲、局部與全局、近似與精確、有限與無限的矛盾中建立和發展起來的。

設計如下教學過程：（1）實際問題。如何求曲邊梯形的面積？（2）引導學生利用“無限細分、化整為零、以直代曲取近似、無限積累聚零為整取極限”的微積分的基本思想，得到問題的表達式。（3）概括總結，抽象出數學模型，引出定積分定義。（4）回到實際問題。數學模型的根本作用在于它將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于采用定量的方法去分析和解決。

又例如，教材中以“ε-δ”、“ε-N”語言給予形式化精確描述的極限概念，由于這種描述高度抽象與概括，造成初學者難以用自己的思想去思考、理解它的含意。如果我們從劉徽的“割圓術”講起，并利用課件進行動態數值模擬演示，盡可能地向學生展示極限定義的形成過程，挖掘極限定義的實質，然后再利用極限語言給出準確的定義，從而使學生理解“極限”這個概念模型的構建過程。這樣既省時又直觀，教學效果自然更佳。

我們再來看一個關于零點存在定理的實例：

零點存在定理：設 f（x）∈C[a，b]，若 f（a）·f（b）<0，則至少存在一點 ξ∈（a，b），使f（ξ）= 0。

這個定理很抽象，我們先從簡單的題型講解，然后再拿出實例去運用這個定理。舉例：一登山運動員從早上七點開始攀登某座山峰， 在下午七點到山頂，第二天早上七點再從山頂開始沿著上山的路下山，下午七點到達山腳，這個運動員會在這兩天的某一相同時刻經過登山路線的同一點嗎？

要解決這個問題，首先要找到運動員在上山和下山時，時間與路程的函數關系，建立數學模型，再思考解答。

不妨設登山員從山頂到山腳經過的路程為 S， 他爬山經過 Δt 時間走的路程為 f（Δt），下山時經 Δt 時間走的路程為 g（Δt）。于是， 當 Δt=0 時，就有 f（0）=g（0）=0，并且有當 Δt=12 時，這是他走完全程所用的時間，就有 f（12）=g（12）=S。

建立了模型后，接下來解決這個問題：

假設路途是連續的，那么就有 f（Δt），g（Δt）在區間

[0，12]上是連續的，只要說明存在一點 Δξ 屬于開區間（0，12），使 f（Δξ）

+g（Δξ）=s，就證實了他在這兩天某同一時刻經過了路線的同一點。

這樣建立數學模型，利用閉區間連續函數的零點存在定理就解決了這個登山問題了，將數學建模的思想應用到枯燥乏味的高等數學課程中。既增加了課堂的趣味性，又讓學生學會了定理，也使他們初步了解了數學建模。

4.2. 線性代數和空間解析幾何教學中的案例

在講 Gauss 消元法時，介紹計算機層析 X 射線照相術。教學過程：（1）實際問題。計算機層析掃描儀根據僅從病人頭外部測得的 X 射線，來計算此病人大腦的圖像，這樣做合理嗎？（2）模型建立。引導學生用點線圖（點代表人體某個器官，線代表X 射線）來描述掃描儀的工作原理，建立相關的線性方程組。（3）模型求解。利用剛學的 Gauss 消元法求解。（4）模型分析。解釋計算機層析 X 射線照相術的合理性。

這種給形式化的抽象的數學問題賦予實際意義的做法，使學生認識到數學既源于生活、又高于生活，縮小了抽象數學與現實之間的差距。讓學生領悟到簡單的數學知識也能應用到神秘的儀器中，學習線性代數的愉悅感油然而生。

4.3 常微分方程教學中的案例

建立常微分方程，解常微分方程是建立數學模型解決實際問題的有力工具。因此，教師在傳授常微分基礎理論的同時，還應多花時間講授在實際問題中那些可用此方法建模、如何提煉出微分方程模型。下面以分離變量法的教學為例。

設計如下教學過程：（1）實際問題。根據估計，中國總人口的峰值年是 2044 年，人口數達到 15.6-15.7 億。如何建立一個數學模型，合理的論證估計及如何準確定位、保持人口合理增長？（2）模型基本假設。假定人口總數是隨時間連續可微地變化，并假定單位時間內人口增長量與當時的人口成正比。（3）模型建立。引導學生用微分來刻畫人口增長率，用一階齊次微分方程建立模型。事實上就是著名的 Malthus 人口模型。（4）模型求解。讓學生利用剛學過的分離變量法求解。（5）模型分析與檢驗。讓學生課后查閱計劃生育委員會的統計數據，進行檢驗及完善。

這種將數學問題賦予生活內涵的教學法，可喚起和支配學生學習數學和研究的興趣。更重要的是，在人口統計方面的驚人數字給學生的震撼力，可引導著學生關注社會、關注未來。

4.4 運籌學教學中的案例

運籌學是一門應用性很強的數學科學，目前幾乎涉及社會的各個方面。運籌學在解決實際問題時，按研究對象的不同所采取的建模方法各異。運籌學模型可分為確定性模型和隨機性模型。確定性模型包括：線性規劃模型、目標規劃模型、整數規劃模型、非線性規劃模型、網絡分析中的模型。隨機性模型包括：動態規劃模型、排隊論模型、存儲論模型、對策論與決策論中的模型。因此，從一定意義上說，數學建模屬于運籌學的一部分，所以，教師在運籌學的教學中更應該突出數學建模的思想，強化數學建模能力，增強數學應用意識。教師在講授運籌學時，遵循如下步驟。（1）提出和形成問題。盡可能選取貼近學生實際的問題。（2）建立模型。引導學生分析問題的要旨，用準確的數學語言表述，建立模型。（3）模型求解。讓學生利用 Lindo、Lingo 或 Matlab 求解。（4）解的檢驗。對學生的所做結果給出及時的肯定和指正。（5）解的控制和實施。

5、反思和展望

數學建模不僅是數學知識的應用和升華，而且是一種數學思想的表達和教學方法，實際上基本概念、公式、定理都是一個數學模型。所以，數學教學的實質就是數學模型教學。在教學過程中貫穿數學建模的思想和方法時，應注意如下幾點。（1）模型的選題要大眾化。應選擇密切聯系學生，有趣味、實用的數學建模內容。（2）設計有新意的例子，啟發學生積極思考，發現規律。舉例宜少而精，忌大而泛。（3）從現實原形出發，引導學生觀察、分析、概括、抽象出數學模型。（5）循序漸進，由簡單到復雜，逐步滲透，逐步訓練學生用數學建模知識解決現實生活中的問題。

目前大部分高校都開設了“數學建模”選修課，但僅此一舉，對培養學生能力所起的作用是微弱的。一方面，由于“數學建模”所包含的內容非常廣泛，對不同問題分析的方法又各不相同，真正掌握難度很大。另一方面，數學建模教育實質上是一種能力和素質的教育，需要較長的過程。因此解決這一問題的有效辦法是在整個數學教學中滲透數學建模思想，介紹數學建模的基本方法。

參考文獻

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