關于質點運動的矢量及其分量描述的一般討論

李江林，黃小敏，藍森軍，陳 楊

(湖北師范大學 物理與電子科學學院，湖北 黃石 435002)

關于質點運動的矢量及其分量描述的一般討論

李江林，黃小敏，藍森軍，陳 楊

(湖北師范大學 物理與電子科學學院，湖北 黃石 435002)

推導了質點的位置公式與速度公式的矢量表達形式及其在一個具體的坐標系中相應的分量形式。

質點；矢量形式；分量形式

0 引言

以牛頓定律為核心的理論體系，通常稱為矢量力學(有時也叫“牛頓力學”)，因為這種體系是以位置矢量、位移、速度、加速度、力、動量等這些矢量為基本量來說明力學系統運動的。矢量表示的優點是當給定了參考系時，與選擇具體的坐標形式無關，這便于我們作一般性的定義陳述和關系式的推導。當然在做具體計算時，我們必須根據問題的特點選擇適當的坐標系。一個矢量的分解方式，在純數學意義上其結果有各種可能性，在物理上究竟采用哪種分解方式，就是看其是否具有明確的物理意義，或者是否帶來簡捷的計算方法。下面的討論能夠進一步深化對這些問題的認識，使我們深刻地理解質點運動的矢量表達及其在一個具體的坐標系中相應的分量形式。

1 位置公式與速度公式[1,2]

取一參考系并在其中確定一個參考點O，以考察質點的運動。在圖1所示的弓形矢量圖中，每個小箭頭表示一次微分位移dr=υdt，而宏觀位移正是微分位移的矢量合成。

從矢量三角形OAB看，有：Δr=r(t)-r0，于是，任意時刻質點的位置矢量表示為：

其中r0為質點的初始位置矢量。

在速度空間中作類似的考察，如圖2所示，弓形矢量圖中的每個小箭頭表示一次微分速度的改變量dυ=adt，宏觀上的速度變化量Δr正是微分速度改變量的矢量合成。

于是，任意時刻質點運動的速度表示為：

其中υ0為質點運動的初始速度。

圖1 導出位置公式的矢量圖示

圖2 導出速度公式的矢量圖示

2 一類重要的勻加速運動

在地面上的低空區域運動的物體，在忽略空氣阻力的情況下，其加速度a=g，為常矢量。例如，拋體運動、自由落體運動。

2.1 矢量形式

根據(2)式得到這類運動的速度表達式為：

根據(1)、(3)式進而得到這類運動的位置矢量表達式為：

特別是，如果初始位置矢量為r0=0，則：

2.2 分量形式

上面我們用矢量形式寫出了質點運動的速度和位置矢量表達式，這種形式的優點是與具體的坐標系無關，只與參考系有關，因此以上結果對任何坐標系都適用。但是在具體計算時，矢量形式往往并不方便，通常將它們沿適當的坐標系的坐標軸進行分解，即將它們寫成在該坐標系中的分量形式。

下面我們以一個典型例子來說明。有一拋體運動，如圖3所示，∠xoy,∠x＇oy＇為直角，ox為水平方向，ox＇為拋體初速度υ0的方向，ox＇與ox的夾角為α，我們來分析它的幾種分量形式[3,4]。

圖3 斜拋運動圖示

圖4 沿x軸、y＇軸的分量圖示

“一些常見的曲線運動往往可以分解為兩個方向上的直線運動，分別研究這兩個方向上的受力情況和運動情況，弄清楚作為分運動的直線運動的規律，就可以知道作為合運動的曲線運動的規律，這是研究曲線運動的基本方法。”[5]

1)我們將運動沿水平方向軸、豎直方向軸分解。水平方向無加速度，豎直方向加速度為-g，所以根據(4)式其分量形式為：

2)我們將運動沿x＇軸、y軸方向分解。即物體的運動可看成沿初速方向的勻速直線運動和自由落體運動的合運動，所以根據(4)式其分量形式為：

3)我們將運動沿x＇軸、y＇軸方向進行分解。x＇軸向初速為υ0，加速度為-gsinα；y＇軸向初速為零，加速度為-gcosα。所以根據(4)式其分量形式為：

4)我們將運動沿x軸、y＇軸方向進行分解。根據圖4，可以得到：

所以根據(4)式其分量形式為：

3 結論

上面我們討論和分析了質點作一般運動其位置公式與速度公式的矢量表達形式，還就其在地面上的低空區域運動，在忽略空氣阻力的情況下，推導出了質點運動的矢量表達式及其在一個具體坐標系中相應的分量形式。矢量表示的優點是便于我們作一般性的定義陳述和關系式的推導，有時候在求解一些物理問題時用矢量解法進行分析和計算，比用分量形式計算更簡捷、更凸顯物理意義，例如空中打靶問題。上面的幾種分量表達式，是對教材的拓展和深化，大大開闊了我們的眼界，當我們把一個復雜的運動分解為簡單的運動進行研究時，我們有更多的選擇，往往我們可以選用其中某一種分量形式進行計算和分析最為方便、簡單。

[1]鐘錫華,周岳明.大學物理通用教程:力學[M].北京:北京大學出版社,2000.

[2]鄭永令,賈起民,方小敏.力學(第二版)[M].北京: 高等教育出版社,2002.

[3]祝之光.物理學(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2009.

[4]祝之光.物理學(第三版)習題分析與解答[M].北京:高等教育出版社,2008.

[5]王運淼.對“運動的合成與分解”的理解與教學建議[J]. 物理通報,2012,(11):45～47.

Descriptionofparticlemotionvectoranditscomponentofgeneraldiscussion

LI Jiang-lin,HUANG Xiao-min,LAN Sen-jun,CHEN Yang

(College of Physics and Electronics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

In this paper,we discuss the vector expression form of the position formula and velocity formula of the particle and the corresponding component form in a specific coordinate system.

particle; vector form; component form

Q213

A

2096-3149(2017)04- 0093-03

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.04.019

2017—08—23

李江林(1965— )，男，湖北安陸人，教授，碩士生導師.