基于一種新的混沌系統的動態分析和圖像顯示*

王劃，盛瀟澍，昝鵬

（上海大學電站自動化技術重點實驗室，上海200072）

0 引 言

近年來在各個領域中如：低功耗的液體混合、高性能的通信電路設計、防止電力系統的崩潰、人類大腦、心臟、生物醫學工程等，混沌行為被不斷發現，混沌理論也因此得到了長足的發展?；煦缪芯恳矎倪^去單純的揭示和刻畫混沌現象本身轉向理論和應用相結合。越來越多的研究者將目光轉到了混沌系統，混沌生成也成為了一項具有挑戰性的工作。早在1963年，著名的氣象學家Lorenz發現了“蝴蝶效應”現象［1］，提出了里程碑式的混沌方程。

1975年，李天巖和J.A.York聯合發表了文章《周期三蘊含混沌》［2］，深刻揭示了從有序到混沌的演變過程。1976年，R?ssler［3］提出新的三維混沌系統。

1999年，Chen等［4］利用混沌反控制（Chaotification）方法成功實現了一個與Lorenz系統相似但非拓撲等價的新混沌系統，即Chen系統。2000年，Lü等人相繼提出了Lü［5］混沌系統，其第二個和第三個系統方程都包含二次項。雖然Chen系統和Lü系統有類似的結構形式，但是兩者不具有拓撲等價性［6］。根據 Celikovsky和 Vanecek［7］的定義，Chen系統和Lü系統都是對偶的混沌系統。對于系統x·=Ax+f（x），其中 A=［aij］3×3。Lorenz系統滿足 a12a21＞0，然而Chen系統和Lü系統滿足a12a21=0。因此在2002年，呂金虎和陳關榮等人提出了 Lorenz系統族［8］，其包含了Lorenz系統，Chen系統和 Lü系統。

2004年，Liu et al.［9］提出了三維 Liu混沌系統。之后，四維超混沌系統［10］被相繼發現。近年來，研究人員已經將混沌系統的研究擴展到了時滯混沌系統［11］。隨著非線性科學的發展，混沌理論在信號處理領域的應用變得越來越廣泛，混沌和密碼學之間所具有的天然聯系和結構上的某種相似性，為密碼系統的設計開拓了新思路，使得混沌密碼技術被列為現代密碼研究的重要前沿之一。文章提出了一種三維連續二次自治混沌系統。其顯示為雙螺旋吸引子。相對于Lorenz系統族，其具有更復雜的拓撲結構，展現出更加有趣的動力學特性。最后通過三種方式實現了混沌圖像的顯示，為混沌系統在圖像加密與解密方面的應用提供了新的思路。

1 混沌系統的基本分析

1.1 混沌系統的動力學特性

1.1.1 混沌系統的數學模型

文章提出了一個簡單的三維連續自治常微分方程，含有三項二次非線性項，其數學模型為：

式中 a，b，c是實參數，x，y，z為狀態變量。

式（1）產生系統（1），將系統（1）與 Lü系統進行對比分析，發現兩者具有類似的簡單代數方程形式。但是第一個和第二個方程與對應的Lü系統互為鏡像。不同于其它Lorenz族，系統（1）中第三方程具有兩個二次項，因此，將產生更加復雜的吸引子。

1.1.2 對稱性和不變性

分析式（1），當（x，y，z）→（-x，-y，z）轉換時，系統存在不變性，所以系統關于z軸對稱，且對于所有的a，b，c的取值都存在這種特性。

1.1.3 耗散性及其吸引子的存在

因為：

將式（1）代入式（2），得到 ΔV=a-c-b，即若a＜b+c時，ΔV＜0時，系統（1）是耗散的。當 t→∞時，V（t）=V0ea-b-c將指數收斂到零。因此，系統（1）會產生相應的混沌吸引子。

1.1.4 平衡點和穩定性分析

得到混沌系統的三個平衡點 l0=（0，0，0），l1=

在平衡點l0=（0，0，0）處，混沌系統的雅克比矩陣為：

其三個特征根為 λ0=a＞0，λ1=-c＜0，λ2=-b＜0，所以，平衡點l0為不穩定鞍點。

式（5）的三個特征根為 λ0=3.67+j14.35＞0；λ1=3.67-j14.35＜0；λ2=-23.34＜0，所以，平衡點l1和l2為不穩定焦點。

選擇系統（1）的初始值為（10，10，10），得到如圖1～圖4的混沌吸引子。其中，常微分方程的數值解采用龍格-庫塔算法，通過Matlab編程進行求解。很明顯，下圖的混沌吸引子不同于Lorenz混沌系統族。

圖1 混沌吸引子（3D）Fig.1 Chaos attractor（3D）

圖2 x-y平面Fig.2 x-y phase plane

圖3 x-z平面Fig.3 x-z phase plane

圖4 y-z平面Fig.4 y-z phase plane

此外，如圖5所示，x（t）的時域波形顯示出混沌系統的非周期、貌似隨機的運動軌跡。雖然系統的相軌圖能夠直觀的反映狀態的變化情況，判斷初步的動力學行為，但是對于復雜的動力學行為，文章采用龐加萊映射來進一步分析和判斷，如圖6所示為系統的龐加萊截面，可見，在龐加萊截面的降維作用下，系統顯示出似隨機的分散點，系統呈現出屬于混沌行為的分形的幾何特性。

圖5 x-t時域波形Fig.5 x-t time domain waveform

圖6 z=32龐加萊截面Fig.6 z=32poincaremapping

1.2 李亞普諾夫指數譜

系統的Lyapunov指數譜可有效地表征變量隨時間演化時系統對初值的敏感性。指數小于零說明體系的相體積在該方向上是收縮的，此方向的運動是穩定的。而正的指數值則表明了體系的相體積在該方向上不斷膨脹和折疊，以致吸引子中本來鄰近的軌線變得越來越不相關，從而使初態對任何不確定性的系統的長期行為成為不可預測，即所謂的初值敏感性。設某一系統的指數譜為 λ1，λ2，….λn，若系統具有混沌吸引子，則必須同時滿足以下條件：

（1）至少存在一個正的sLyapunov指數；

（2）至少存在一指數為0；

（3）指數譜之和為負。

李亞普諾夫指數為：

圖7所示為系統的李亞普諾夫指數譜，其中LE0＞0，LE1=0，LE2＜0，且滿足 LE0＜-LE2。這些特性都表明系統（1）滿足混沌系統的李雅普諾夫指數的基本要求。

圖7 李亞普諾夫指數譜Fig.7 Lyapunov index spectrum

1.3 分岔圖

選取初始狀態 sx（0）=（10，10，10），系統的分岔圖如圖8所示，橫坐標代表參數b，縱軸代表狀態x。

圖8 狀態x的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram of state x

當系統的參數b發生變化時，龐加萊截面在某一個坐標軸上的投影，即為分岔圖。如圖所示，當b從0到1時，系統呈現出周期性，可預測性且與初始值無關。每個周軌道都經倍周期或Hopf分岔后產生激變形成各自的混沌帶；因此，當b從1到12時，系統呈現出反向倍周期分岔通向混沌的軌跡，其分岔結構具有自相似性，這時系統是不可預測，且對初始值敏感，從而引發混沌現象。

2 圖像顯示

2.1 Matlab編程

按照上文提到的，采用龍格-庫塔算法，基于Matlab進行編程。相對應的程序如下，在一個目錄下存在一個主程序和一個次程序。

次程序：

主程序：

2.2 Simulik模型

Simulink是MATLAB最重要的組件之一，它提供一個動態系統建模、仿真和綜合分析的集成環境。根據式（1）建模，如圖9所示。

圖9 Simulink模型Fig.9 Simulink model

其中，Gain為增益模塊，Sum為求和模塊，Integrator為積分模塊，Product為求積模塊，XY Graph為示波器，顯示系統圖像。

2.3 電路實現

根據式（7），采用純模擬電路，通過Multisim軟件，得到系統的實驗仿真電路，如圖10所示。其中，放大器選擇LF347N，乘法器選擇AD633。由于實際電路系統中，考慮到模擬乘法器和運算放大器的容許電壓值，確保硬件在適當工作范圍下運行，信號幅度不宜超過有源器件的飽和電壓，也不宜過低導致輸出信號失真。因此，將系統（1）進行如下變換：

得到：

利用Multisim軟件對電路進行瞬態分析，得到的混沌圖像，其仿真結果與對應的系統方程的數值仿真結果一致。

3 結束語

文章提出了一個不屬于Lorenz混沌系統族的新三維混沌系統，該系統具有簡單的代數結構，卻能產生拓撲結構復雜的雙螺旋吸引子。最后分別進行Matlab編程，Simulink建模，以及基于Multisim軟件的電路仿真得到相應的混沌圖像。對進一步深入研究一般混沌系統圖像顯示具有重要意義，同時也為基于混沌系統的圖像加密與解密的應用提供了理論支撐。

圖10 電路設計圖Fig.10 Circuit design diagram