多幀低分辨率圖像還原被攝物細節研究

李鮮 李鵬洋

摘要：本文基于多幀且互有位移的圖像序列，構建了從低分辨率圖像（LR）序列獲取高分辨率圖像（HR）的算法。

我們首先對HR圖像進行模糊、幾何變換和降采樣處理得到LR圖像，再用平移矩陣對得到的LR圖像平移。將多次平移后的圖像進行雙線性插值處理和三次樣條插值處理，由此得到了多幀LR圖像初步轉化成HR的圖像。

考慮到圖像平移后數據處理量的迅速增加，從使用較少幀數圖像的角度出發，本文采用了遞歸的最速下降迭代法（RSD），通過證明迭代系數λ的收斂性和有效性，從而得到了經循環遞歸的最速下降迭代法處理后的HR圖像。此外，考慮到實際圖像在小波母函數伸縮和平移所展成的函數空間中的映射，可以緩解低通濾波產生的邊緣模糊，加強高通濾波在細節處的銳化，并且在去噪的同時實現了圖像一定程度的壓縮和邊緣特征的提取。由此找到了由多幀低分辨率圖像序列在一維小波空間映射的情況下，得到的有最優細節的高分辨率圖像。

關鍵詞：高通濾波處理；峰值信噪比；最速下降迭代；小波分析

1 多幀圖像的插值與擬合

利用不同圖像之間由于幾何變換而產生的類似但不相同的信息，需要對圖像序列進行精確的配準。采用梯度方法（gradient method）進行圖像配準。幾何變換采用純平移模型，考慮泰勒級數的二維離散表示數字圖像形式：

上式中，（m-m0）和（n-n0）分別是豎直和水平方向上的平移量，記為Sm和Sn在求解Sm和Sn的時候可采用最小均方準則，即使得下式最小：

式中，M和N分別表示x和y方向總的采樣點數，得到表示成矩陣形式的方程組，可簡寫為：

插值后圖像的高頻細節被丟失，且無唯一解，難以反映出圖像的局部細節和特點。采用了空間濾波中的線性銳化濾波和高通濾波器。

一般情況下，像素的鄰域比該像素要大，即該像素的鄰域中除了本身外還包括其他像素。可利用模板與圖像進行卷積，每個模板實際上是一個二維數組，其中各個元素的取值決定模板的功能，這種模板操作也稱為空間域濾波。

線性高通濾波器是最常用的線性銳化濾波器。這種濾波器的中心系數都是正的，而周圍的系數都是負的。對3*3的模板來說，典型的系數取值是：

事實上這是拉普拉斯算子，所有的系數之和為0。當這樣的模板放在圖像中灰度值是常數或變化很小的區域時，其輸出為0或很小。這個濾波器將原來的圖像中的零頻域分量去除了，也就是將輸出的圖像的平均值變為0，這樣就會有一部分像素的灰度值小于0。在圖像處理中我們一般只考慮正的灰度值，所以還有將輸出圖像的灰度值范圍通過尺度變回到所要求的范圍。

此外，考慮到頻率域的圖像增強。頻率域增強的主要步驟是：

（1）技術所需增強圖的傅立葉變換；

（2）將其與一個（根據需要設計的）轉移函數相乘；

（3）再將結果進行傅立葉反變換以得到增強的圖。

頻率域增強的兩個關鍵步驟：

（1）將圖像從空間域轉換到頻率域所需的變換及將圖像從頻率域空間轉換回空間域所需的變換；

（2）在頻率域空間對圖像進行增強加工操作。

常用的頻率域增強方法有低通濾波和高通濾波。又由于圖像的能量大部分集中在幅度譜的低頻和中頻度，而圖像的邊緣和噪聲對應于高頻部分。高通濾波是衰減或抑制低頻分量，讓高頻的分量通過，其作用是使圖像得到銳化處理，突出圖像的邊界。

一般情況下，高通濾波對噪聲沒有任何抑制作用，為了既加強圖像的細節又抑制噪聲，可采用高頻加強濾波。高斯高通濾波的產生公式為：

由于上述方程組是在假設位移較小的情況下得到的，而圖像是以離散形式記錄的，位移可能不夠小，此時就需要用迭代的方法不斷地對位移量進行修正[5]。

2 基于循環遞歸的RSD算法

RSD算法可以寫為：

（1）初始值 X0任意 （1）

（2）Xk+1i=Xki+λHTi（Yi-Hi Xki） （2）

（3）X0i+1=X∞i，i=1，2，…，L （3）

其中Yi∈RM2×1表示第i幀采樣圖像，L為采樣圖像數，Hi∈RM2×N2表示與第i幀低分辨率圖像相對應的觀察矩陣，Hi=SHiCi。Xki表示使用第i幀低分辨率圖像進行k次迭代后，高分辨率圖像的估計值。式（2）表示對于當前輸入的第幀低分辨率圖像，我們使用最速下降迭代法求解高分辨率圖像的估計，其中λ是迭代系數，表示對于下一幀輸入的低分辨率圖像，我們將上一幀迭代的結果作為其迭代的初始值。

設X*為方程（2）的正確解，Xk是第k次迭代的估計值，第k次迭代的誤差為ek=X*-Xk，由（3）式得

ek+1=X*-Xk-λ HT（Y-HXk）=（I-λHTHi）e-λ

考慮到E[V]=0，平均迭代誤差可以寫成

E[ek+1]=（I-λ HTHi）k+E*[e0]

由于HT H滿秩，可以選擇λ使‖I-λ HTHi‖<1，從而式（3）收斂于X*。

因此RSD算法的迭代過程，可以看成是對誤差空間不斷進行正交投影的過程。由于正交投影滿足‖Px‖≤‖x‖，所以在整個迭代的過程中誤差矢量的范數只可能減少，而不會導致發散，所以RSD算法是收斂的。

3 小波變化分析

在有小波母函數伸縮和平移所展成的函數空間中，尋找對原圖像的最佳逼近，用來完成原圖像和噪聲的區分。

由此可見，尋找實際圖像空間到小波函數空間的最佳映射是小波去噪方法，它可以得到原圖像的最佳恢復。小波圖像銳化就是把圖像中尖銳的部分盡可能地提取出來，用于檢測和識別等領域。它的任務是突出高頻信息，抑制低頻信息，從快速變化的成分中分離出標識系統特性或區分子系統邊界的成分，以便進一步的識別、分割等操作。

使用小波方法進行高通濾波得到的高頻結果比較純粹，完全是原圖像上的邊緣信息，而使用小波方法，不僅只有高頻成分，還有變換非常緩慢的低頻成分，這是因為二者同樣在小波系數上體現為絕對值較低的部分。

了較大提升。

參考文獻：

[1]龔聲蓉，劉純平，趙勛杰，蔣德茂.數字圖像處理與分析.清華大學出版社.2006

[2]劉榴娣，劉明奇，黨長民.實用數字圖像處理[M].北京理工大學出版社，1998.

[3]龔耀寰.自適應濾波器[M].北京：電子工業出版社，1989.

[4]鄧記才，裴炳南.一種求解LMS算法收斂步長閾值的新方法[J].信號處理，1996，12（2）：52-56.

作者簡介：

李鮮（1995.09-）女，漢族，身份證號：411324199509144222，本科生，河南省南陽市，研究方向：給排水科學與工程

李鵬洋（1996.11-）男，漢族，身份證號：410527199611260632，本科生，河南省安陽市，研究方向：給排水科學與工程