長桿彈撞擊裝甲陶瓷界面擊潰／侵徹轉變速度理論模型＊

談夢婷，張先鋒，葛賢坤，2，劉 闖，熊 瑋

長桿彈撞擊裝甲陶瓷界面擊潰／侵徹轉變速度理論模型＊

談夢婷1，張先鋒1，葛賢坤1，2，劉 闖1，熊 瑋1

（1.南京理工大學智能彈藥技術國防重點學科實驗室，江蘇 南京210094；2.中國人民解放軍95856部隊，江蘇 南京210000）

為預測長桿彈撞擊裝甲陶瓷界面擊潰／侵徹轉變過程，采用Hertz接觸理論確定靶體內部應力，將其分別應用于陶瓷錐裂紋與翼型裂紋擴展理論。通過比較兩種裂紋擴展模型計算得到的界面擊潰／侵徹轉變速度，提出準確預測界面擊潰／侵徹轉變速度的理論模型。結果表明：將兩種裂紋擴展理論相結合的理論模型可以合理地解釋界面擊潰／侵徹轉變過程，轉變速度計算結果與已有實驗結果吻合較好。彈體半徑較小時，錐裂紋擴展控制界面擊潰／侵徹轉變過程；彈體半徑較大時，翼型裂紋擴展控制界面擊潰／侵徹轉變過程。

沖擊動力學；裝甲陶瓷；界面擊潰／侵徹轉變速度；Hertz接觸理論；錐裂紋；翼型裂紋

界面擊潰效應是指長桿彈高速撞擊裝甲陶瓷時，彈體材料在靶體表面徑向流動、彈體被侵蝕而靶體沒有明顯侵徹破壞的現象。陶瓷界面擊潰效應的研究對推進陶瓷侵徹／穿甲動力學發展具有重要意義，是目前陶瓷侵徹機理研究的熱點之一［1］。陶瓷由界面擊潰向侵徹轉變的速度（界面擊潰／侵徹轉變速度，以下簡稱轉變速度）是描述界面擊潰效應的重要參量。彈體撞擊速度低于該速度，長桿彈在陶瓷表面界面擊潰；高于該速度，長桿彈侵徹陶瓷。

近年來，各國學者針對陶瓷界面擊潰效應開展了深入的研究。G.E.Hauver等［2］、P.Lundberg等［3－5］和 C.E.Anderson Jr等［6］等對長桿彈撞擊不同種類陶瓷的界面擊潰效應進行了實驗觀測，探討了彈體材料、彈體形狀、陶瓷材料和靶體約束狀態等對界面擊潰效應的影響規律。在理論研究方面，C.E.Anderson［7］建立了界面擊潰效應的理論模型，并從實驗和數值模擬角度進行了驗證。J.C.Li等［8－9］和李繼承等［10－11］闡述了不同頭部形狀長桿彈在界面擊潰條件下速度、長度、動量變化規律，并深入分析界面擊潰／侵徹轉變過程，獲得了轉變速度和時間的表達式。T.J.Holmquist等［12］、A.Serjouei等［13］和 R.Chi等［14］借助數值模擬手段研究了約束和預應力對裝甲陶瓷界面擊潰效應的影響。

各國學者針對界面擊潰效應的理論研究均是從陶瓷材料的單一破壞機制入手解釋陶瓷界面擊潰效應、預測轉變速度，無法全面解釋界面擊潰效應作用機制。本文中利用Hertz理論［15］獲得彈靶接觸表面及靶體內部任意位置應力分布情況。根據靶體內部應力分布情況，結合錐形裂紋與翼型裂紋擴展理論，建立預測界面擊潰／侵徹轉變過程的理論模型，計算轉變速度，并驗證計算模型的正確性。

1 靶體任意位置應力分布

根據實驗［5］觀察到的界面擊潰作用過程，假設：（1）陶瓷為均質材料，靶體為半無限靶，不考慮彈靶間的摩擦；（2）界面擊潰過程中，靶體為彈性體，靶體內部應力均勻分布，忽略靶體變形及內部損傷；（3）界面擊潰效應可看作是無數個流體單元與彈性體的準靜態接觸過程組合而成的動態過程。

1.1 彈靶接觸表面壓力分布

P.Lundberg等［4］通過連續介質力學運動方程和Von Mises屈服準則，得出彈靶接觸表面最大壓力P0為：

式中：Kp為彈體體積模量，σyp為彈體材料屈服強度，ρp為彈體材料密度，vp為彈體撞擊速度。

界面擊潰過程中，陶瓷靶體變形量較小，可視為線彈性材料；金屬桿彈在靶體表面徑向流動，可視為流體。本文中采用Hertz接觸理論［15］研究彈靶接觸過程中的近似應力分布，由Hertz接觸理論計算得彈靶接觸表面壓力分布P為：

式中：r為徑向距離，a為接觸半徑，P0為式（1）計算得到的彈靶接觸表面最大壓力。

1.2 靶內任意位置應力分布

長桿彈撞擊陶瓷靶體產生穩定的界面擊潰效應前，彈體在靶體表面徑向流動，彈靶接觸半徑隨時間增加而增加，最后進入穩定的流動狀態，彈靶材料接觸半徑與長桿彈半徑緊密相關。基于Hertz接觸力學模型［16］，忽略陶瓷小變形對應力場的影響，可近似根據球形壓力分布規律得到靶體內任意位置的應力分布：

式中：σr、σθ、σz、τrz為徑向、環向、軸向應力和剪切應力，z為軸向距離，u 為r、z 和a的相關量，ν為泊松比。

圖1為靶體內部任意位置各等效應力與徑向、軸向距離的關系。

圖1 靶體內部應力分布Fig.1Normalized stress distributions inside ceramic

根據莫爾圓，軸向剪切應力τrz＝0時可得：

式中：σ1、σ2為主應力，τmax為最大剪切應力。

由式（3）～（9）可得靶體內部軸向主應力σ1、σ2與最大剪切應力τmax為：

同理，彈靶接觸表面主應力σ1、σ2和各方向應力σr、σz的表達式為［17］：

2 預測轉變速度的理論模型

長桿彈高速撞擊裝甲陶瓷界面擊潰時，陶瓷內部可以觀察到明顯的錐裂紋和塑性區域［18］，如圖2所示。圖2表明陶瓷靶破壞過程受控于彈靶接觸面下的塑性變形及彈靶接觸面邊沿的裂紋擴展（錐裂紋）。本文中給出的理論模型將結合微觀裂紋擴展和錐裂紋擴展模型預測轉變速度，如圖3所示。

圖2 界面擊潰時TiB2內裂紋情況［18］Fig.2Cracks in TiB2 during interface defeat［18］

圖3 基于裂紋擴展的轉變速度理論模型Fig.3Combined criterion of interface defeat／penetration transition velocity based on crack propagation model

文獻［3］和文獻［17］分別從陶瓷內部錐裂紋和翼型裂紋角度研究了界面擊潰／侵徹轉變過程。前者分析了高速撞擊條件下陶瓷內部錐形裂紋的產生和擴展對界面擊潰／侵徹轉變過程的影響。翼型裂紋擴展模型建立在脆性材料壓縮失效模型的基礎之上。陶瓷內部原生裂紋在應力作用下演變成翼型裂紋，發展為塑性變形。陶瓷內部翼型裂紋擴展使陶瓷材料剪切失效，當失效區域到達彈靶接觸表面時，陶瓷材料破壞，彈體開始侵徹靶體。對于翼型裂紋擴展模型，主要研究了轉變速度與延性系數、泊松比與摩擦因數等靶體材料特性的關系。

2.1 長桿彈撞擊陶瓷靶錐裂紋擴展模型

陶瓷破壞的初始階段出現錐裂紋，也叫陶瓷錐［3］，陶瓷錐裂紋擴展過程如圖4所示。為簡化問題作如下假設：（1）裂紋沿主應力方向傳播，忽略其他類型裂紋；（2）裂紋的徑向延伸由斷裂韌性KIC決定；（3）界面擊潰為準靜態過程。

如圖4所示，錐裂紋的起始位置為ri。錐裂紋的長度c與角度θ的關系可以表示為：

由莫爾圓計算得主應力σ1為：

式中：θ為錐裂紋與靶面的夾角，r、z分別為錐裂紋尖端的徑向和軸向坐標，c為裂紋長度。由式（3）～（7）得到錐裂紋各個方向應力，代入式（17）可求解裂紋尖端主應力σ1。

陶瓷材料的臨界應力σc為：

σ1與σc的大小關系影響裂紋擴展：σ1＞σc時，錐裂紋延伸；σ1＜σc時，錐裂紋停止延伸。當σ1＞σc一直成立時，裂紋不斷延伸，最終陶瓷被侵徹。在裂紋擴展過程中，出現σ1＜σc，則陶瓷界面擊潰。通過上述分析可以在Matlab軟件中求解不同半徑長桿彈的轉變速度。圖5給出了半徑為0.5mm的長桿彈以1 000m／s速度撞擊陶瓷時，陶瓷裂紋尖端主應力、臨界應力與裂紋擴展長度的關系。

圖5表明，在高速撞擊初始階段，靶體內部產生裂紋且尖端應力大于材料臨界應力。隨著裂紋的擴展，裂紋尖端應力與材料臨界應力的差距逐漸變小。兩個應力最終趨近于相同的值，此時裂紋停止擴展，靶體表面產生界面擊潰。彈體撞擊速度越高，產生的裂紋越長，裂紋的延伸導致陶瓷材料失效，使得陶瓷表面由界面擊潰向侵徹轉變。

2.2 長桿彈撞擊陶瓷靶細觀翼型裂紋擴展模型

陶瓷等脆性材料在微觀狀態下存在原生裂紋等缺陷。在壓縮載荷作用下，原生裂紋在材料內部擴展。脆性材料壓縮失效模型見圖6［19］，假設原生裂紋PP′通過剪切作用在其尖端產生翼型裂紋PQ、P′Q′與塑性區PO、P′O′，翼形裂紋和塑性區長度分別為lt和lp。原生裂紋與σ1方向的夾角為γ，翼型裂紋擴展方向與原生裂紋的夾角為θ，μ為摩擦因數。在微裂紋的相互作用下，最終形成宏觀裂紋導致材料失效。

根據脆性材料壓縮失效模型［19］可預測翼型裂紋擴展中臨界剪切應力τ＊與主應力σ1、σ2、剪切屈服強度τy、摩擦因數μ、斷裂韌性Δ、翼型裂紋長度lt、原生裂紋長度2c的關系為：

圖4 錐裂紋擴展模型示意圖Fig.4Schematic illustration of cone crack propagation model

圖5 彈體半徑為0.5mm、撞擊速度為1 000m／s時，等效應力與裂紋長度的關系Fig.5Relation between normalized stress and crack length at impact velocity of 1 000m／s with projetcile radius of 0.5mm

圖6 脆性材料壓縮失效翼型裂紋擴展模型示意圖［19］Fig.6Schematic illstration of wing crack in compressive failure model of brittle materia［19］l

式中：Δ＝KIC／［τy（πc）1／2］，代表材料在壓縮作用下脆性失效強度與韌性失效強度的比值。

為方便翼型裂紋擴展模型的計算，假設：（1）由陶瓷內部中心軸線上的翼型裂紋擴展產生的剪切應力導致材料破壞失效；（2）翼型裂紋擴展至陶瓷表面時，靶體材料處于臨界狀態。

聯立式（10）～（12）和式（19）可得彈靶中心軸線Hertz剪切應力τH與臨界剪切應力τ＊、剪切屈服強度τy、彈靶接觸表面最大壓力P0、陶瓷泊松比ν、摩擦因數μ、翼型裂紋長度lt和原生裂紋長度2c的關系：

靶體材料處于臨界狀態（τH＝τ＊）時，由式（20）可得彈靶接觸應力與剪切屈服強度的關系［20］為：

式中：P＊0為臨界彈靶接觸表面最大壓力。

對式（19）進行簡化，得到導致翼型裂紋產生（lt／c＝0）的臨界剪切應力（γ＝θ＝π／4）為：

根據假設（2），裂紋擴展至彈靶接觸表面時，界面擊潰停止，此時σ1＝σr＝0。聯立式（13）、式（21）～（22）可得：

式中：R＝r／a，R＊為彈靶接觸表面壓縮損傷不受約束的位置，Pm為彈靶接觸表面平均應力（Pm＝2／3P0），P＊m為臨界彈靶接觸表面平均應力。

靜摩擦因數μ和剪切屈服強度τy與σHEL應力的關系［17，21］為：

式中：d為平均晶粒尺寸。

聯立式（25）～（28）可推得Pm與延性系數Δ、泊松比ν、陶瓷剪切屈服強度τy的關系為：

在翼型裂紋擴展模型基礎上，對鎢合金（WHA）桿彈撞擊不同陶瓷材料的轉變速度進行計算。不同靶體材料參數見表1。彈體材料參數見表2。

表1 不同靶體材料參數Table 1Target material data

表2 彈體材料參數Table 2Projctile matearil data

將計算得到的剪切屈服強度等參數代入式（29），得到不同陶瓷材料的彈靶接觸表面最大壓力與轉變速度，如表3所示，其中：vexp為實驗值，vcal為本文計算值。

表3 轉變速度計算值與實驗值對比Table 3Comparison of transition velocity between experimental data and theoretical calculation

圖7 不同理論模型得到的轉變速度與彈體半徑的關系與實驗結果［3］對比Fig.7Comparison between experimental data［3］and different theoretical calculations on transition velocity

表3表明，參數簡化后的翼型裂紋擴展模型計算得到轉變速度與已有實驗值的誤差在10%以內，因此認為簡化模型合理可靠。該模型可用于一定彈靶接觸條件下陶瓷轉變速度的計算。

2.3 模型對比分析

根據錐裂紋模型，聯立方程（1）、（3）～（7）和（15）～（18），代入彈靶參數，通過數值計算可得錐裂紋擴展模式下的轉變速度。同時，根據式（29）可以求得翼型裂紋擴展模型預測的轉變速度。以鎢合金桿彈撞擊碳化硅陶瓷為例，彈體和靶體材料參數分別見表2和表4，通過計算得到兩種裂紋擴展模型理論預測的轉變速度。理論計算結果與已有實驗結果的對比如圖7所示。

表4 不同靶體材料參數Table 4Target material data

從上述理論計算結果與實驗數據［3］的對比（圖7）可以看出：（1）實驗數據［3］表明彈體存在臨界半徑Rc，Rc是兩種模型交點的橫坐標；彈體半徑R＜Rc時，轉變速度隨半徑的增加衰減迅速；彈體半徑R＞Rc時，轉變速度的衰減速度隨著半徑的增加變慢；（2）錐裂紋擴展模型得到的轉變速度可以反映界面擊潰的尺寸效應：當彈體半徑R＜Rc時，通過錐裂紋擴展模型計算得到的轉變速度與實驗結果相吻合。彈體半徑較大時，理論計算結果與實驗數據差異較大；（3）由翼型裂紋計算模型得到的轉變速度不隨彈體半徑變化而變化：在彈體半徑較小時，理論計算結果與已有實驗數據差異較大；在彈體半徑R＞Rc時，理論與已有實驗數據相一致。

由上述分析可知，陶瓷錐裂紋和翼型裂紋擴展模型均能在一定程度上預測轉變速度。彈體半徑較小時，界面擊潰／侵徹轉變過程由錐裂紋擴展機制控制；彈體半徑較大時，界面擊潰／侵徹轉變過程由翼型裂紋擴展機制控制。

綜上所述，裂紋擴展主導的轉變速度理論模型主要內容可分為兩部分：（1）R＜Rc，錐裂紋模型控制轉變速度；（2）R≥Rc，翼型裂紋模型控制轉變速度。

2.4 轉變速度理論模型計算結果分析

根據轉變速度理論模型，將計算結果與T.Behner等［22］開展的金制桿彈撞擊碳化硅陶瓷和P.Lundberg等［3］開展的鎢制長桿彈撞擊碳化硅陶瓷的實驗數據進行比較。彈體材料鎢合金與金的材料參數見表2。

從圖8中可以看出根據錐裂紋和翼型裂紋擴展模型建立的轉變速度理論模型獲得的計算結果與已有實驗數據吻合，表明理論模型有一定的準確性。圖8表明，金質材料彈體更易在較高速度下發生界面擊潰效應。隨著彈體半徑增加，兩種彈體材料的轉變速度趨向于同一個值。

圖8 不同彈體材料轉變速度與彈體半徑的關系Fig.8Relation between transition velocity and projectile radius of different projectile materials

3 結 論

本文假設界面擊潰／侵徹轉變過程是由陶瓷內部錐裂紋和翼型裂紋擴展共同作用產生，通過Hertz接觸理論計算獲得了靶體內部應力分布，將其應用于陶瓷錐裂紋與翼型裂紋擴展理論，計算了轉變速度與彈體半徑的關系。結合兩種裂紋擴展理論的特點，發展完善了預測轉變速度的理論模型。由轉變速度理論模型預測的轉變速度與已有實驗數據吻合情況較好，該現象表明所建立的轉變速度理論模型對預測不同尺寸效應下的轉變速度具有較高的可靠性。

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Theoretical model of interface defeat／penetration transition velocity of ceramic armor impacted by long－rod projectile

Tan Mengting1，Zhang Xianfeng1，Ge Xiankun1，2，Liu Chuang1，Xiong Wei1
（1.Ministerial Key Laboratory of ZNDY，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing210094，Jiangsu，China；2.Unit 95856 of PLA，Nanjing210000，Jiangsu，China）

In this study a theoretical model was established to predict the interface defeat／penetration transition velocity of a ceramic armor impacted by a long－rod projectile.Predications of the transition velocity were obtained by measuring the stress inside the target and then applying it in turn to the conical crack and the wing crack propagation theory.After that，a theoretical model consisting of the conical and the wing crack propagation theory was presented.The results show that the theoretical model can reasonably well describe the interface defeat／penetration transition process.The interface defeat／penetration transition velocity calculated by the theoretical model agrees well with the experimental results from the previously published literature.The conical crack propagation dominates the interface defeat／penetration transition process when the projectile radius is small，while the wing crack dominates the transition when the projectile radius is large.

impact dynamics；ceramic armor；interface defeat／penetration transition velocity；Hertz contact theory；conical crack；wing crack

O381 國標學科代碼：13035

A

10.11883／1001－1455（2017）06－1093－08

2016－03－24；

2016－08－18

國家自然科學基金項目（11772159）；江蘇省研究生科研創新計劃項目（KYCX17＿0385，KYZZ16＿0196）；瞬態沖擊技術重點實驗室基金項目（61426060101162606001）

談夢婷（1991－ ），女，博士研究生；通信作者：張先鋒，lynx＠njust.edu.cn。

（責任編輯 王小飛）