出其不意的概率障眼法

小五

說起概率，大家都略知一二。太陽從東邊升起的概率是1，媽媽允許我們通宵看電視、打游戲的概率是0。但你知道嗎，概率有時(shí)候會(huì)變成最容易迷惑人的障眼法，甚至還可能引起糾紛……

概率法庭審判

瑪麗買完東西，沿著一條小巷回家。在一個(gè)拐彎處，她忽然被推倒在地。她不知道是誰推倒了自己，在暈眩和疼痛中，她只知道是一個(gè)年輕女孩搶走了自己的包：“那是一個(gè)扎著馬尾辮、有著金黃色長(zhǎng)發(fā)的女孩，她的皮膚很白。”

而搶劫案發(fā)生時(shí)，小巷盡頭的約翰正在屋前給草坪澆水。據(jù)他回憶，他聽到了一陣尖叫聲，看到一個(gè)年輕女孩從小巷里跑出來，跳上了一輛黃色小汽車。雖然沒看清女孩的長(zhǎng)相，但他看清了汽車駕駛者的模樣：“那是一個(gè)皮膚很黑的男人，留著短短的絡(luò)腮胡子。”

幾天后，警察在附近搜查發(fā)現(xiàn)一對(duì)夫婦的長(zhǎng)相，跟瑪麗和約翰所描述的非常相似，并且他們也有一輛黃色小汽車。于是，這對(duì)夫婦被認(rèn)定為嫌疑人。

在法庭上，法官發(fā)現(xiàn)沒有證據(jù)能證明這對(duì)夫婦就是搶劫犯。這時(shí)候，一位自認(rèn)精通概率學(xué)的檢察官登場(chǎng)了。他給出了這樣一份表格：

“我們知道，”這位檢察官說，“求獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率要用乘法。那么，要找出一對(duì)符合描述的夫婦的概率就是1/20×1/5×1/5×1/3×1/5×1/4×1/4×1/4×1/8=1/3840000。而我們小鎮(zhèn)只有120萬人，所以他們一定是搶劫犯！”

陪審團(tuán)成員紛紛點(diǎn)頭。眼看這對(duì)夫婦就要被定罪，他們的律師挺身而出：“我反對(duì)！這個(gè)算法是錯(cuò)的。”

“這些事件并不是完全獨(dú)立的，不能簡(jiǎn)單地用乘法計(jì)算概率。比如，頭發(fā)較長(zhǎng)的人更有可能會(huì)將頭發(fā)扎起，她扎馬尾辮的概率遠(yuǎn)大于；而白皮膚的人更有可能擁有金黃色頭發(fā)；留胡子的男性則更有可能留有短短的絡(luò)腮胡子。”律師停頓了一下，繼續(xù)說，“用概率辦案，正確的做法是先找出所有符合描述的人。假設(shè)有5對(duì)這樣的夫婦，那么法庭上站著的這對(duì)是搶劫犯的概率就是。現(xiàn)在你們還不能確定作案的兩個(gè)人是夫妻，那么符合描述的嫌疑人就更多了。”

多虧了這位真正了解概率的律師，最終法庭推翻了對(duì)這對(duì)夫婦的指控。

彩票抽獎(jiǎng)程序

中了獎(jiǎng)卻不去領(lǐng)，這看起來不太可能發(fā)生的事情卻時(shí)常發(fā)生。在某市，因?yàn)闊o人認(rèn)領(lǐng)的獎(jiǎng)金實(shí)在是太多了，于是彩票管理部門決定將這些獎(jiǎng)金換成獎(jiǎng)品回饋給彩民。他們購(gòu)買了500輛小汽車，然后編寫了一個(gè)計(jì)算機(jī)程序，準(zhǔn)備從240萬個(gè)彩票訂戶號(hào)碼（購(gòu)買彩票時(shí)獨(dú)一無二的憑證）中隨機(jī)抽取榮獲小汽車的幸運(yùn)兒，以便決定獎(jiǎng)品的歸屬。

電腦隨機(jī)抽取了500次，每次一個(gè)彩票訂戶號(hào)碼。抽獎(jiǎng)很快就完成了，結(jié)果卻讓所有人大吃一驚：有一個(gè)人獲得了兩輛小汽車，他的彩票訂戶號(hào)碼被抽中了兩次！這到底是怎么回事呢？難道程序員跟那位中獎(jiǎng)?wù)咧g存在秘密勾結(jié)？

其實(shí)，這個(gè)問題等價(jià)于這樣的生日問題：要使一群人中有2個(gè)人在同一天生日的概率大于50%，那么這群人至少應(yīng)該有多少人？

一年按365天推算，大部分人覺得這群人至少應(yīng)該有182人。但實(shí)際上因?yàn)闆]有說明是哪兩個(gè)人的生日應(yīng)該相同，我們可以有非常多的組合，因此答案是23人。具體推算如下：

第一個(gè)人的生日是 365選365，

第二個(gè)人的生日是 365選364，

第三個(gè)人的生日是 365選363，

……

第n個(gè)人的生日是 365選365-（n-1）。

那么，n個(gè)人中至少有2個(gè)人生日相同的概率就是：

1-365×365×…×365-n+1/365

而當(dāng)n=23時(shí)，概率約為0.507。

數(shù)學(xué)家們計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，在彩票事件中，出現(xiàn)這種“一人被抽中兩次”的概率大約是5%。雖然概率不大，但并沒有小到能讓人忽略不計(jì)的地步。

賭金分配問題

湯姆和塞繆爾正進(jìn)行一場(chǎng)拋擲色子比賽：?jiǎn)螖?shù)是湯姆贏，雙數(shù)是塞繆爾贏。兩人各出12枚金幣，率先贏得6局的人可以獲得全部賭金。

這是一個(gè)公平的游戲，因?yàn)樗麄儷@勝的概率都是50%。但意外發(fā)生了：湯姆以5∶3領(lǐng)先，這時(shí)色子卻不小心滾入下水道，比賽被迫中止。隨后，兩人就為如何分配賭金爭(zhēng)吵了起來。

塞繆爾抱起自己的金幣：“游戲還沒結(jié)束，所以大家拿回各自的金幣。”湯姆阻止說：“不行！我贏的概率大一些，我應(yīng)該分得更多金幣。”

兩人意見不合，該怎么解決這場(chǎng)糾紛呢？

數(shù)學(xué)家帕西歐里認(rèn)為，應(yīng)該按已贏得的局?jǐn)?shù)比例分配，湯姆分得15枚金幣，塞繆爾分得9枚金幣。但數(shù)學(xué)家費(fèi)馬不同意。假設(shè)目前是1∶0，那么湯姆就可以拿走全部金幣，這顯然是不公平的。他認(rèn)為分配需要考慮兩人要獲勝還需要的局?jǐn)?shù)（湯姆差1局，塞繆爾差3局）。

如果色子沒落入下水道，游戲會(huì)繼續(xù)下去，那么我們就能得到這樣的結(jié)果：

由上表可知，塞繆爾在連贏三局的情況下才會(huì)獲勝，概率只有。所以，金幣應(yīng)該按7∶1的比例進(jìn)行分配。也就是說，湯姆分得21枚金幣，塞繆爾分得3枚金幣。endprint