高中三角函數教育形態的重構

沈 威，曹廣福

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高中三角函數教育形態的重構

沈 威1，曹廣福2

（1．惠州學院 數學與大數據學院，廣東 惠州 516007；2．廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

三角函數的教育形態是能夠變形式化的學術形態為學生從三角函數的數學思想和科學價值的高度再創造三角函數的內容．重構三角函數教育形態要挖掘三角學術形態的思想性與科學價值，根據數學思想和科學價值建構問題情境，提煉恰當的啟發性問題，引導學生再創造三角函數的內容，揭示三角函數的數學思想與科學價值．

三角函數；教育形態；問題情境；重構

1 問題提出

張奠宙先生（以下簡稱：張先生）對數學的學術形態轉化為教育形態作出了深刻論述，他認為變冰冷的美麗為火熱的思考要把學術形態的數學返璞歸真，從數學思想方法的高度把數學的形式化邏輯鏈條恢復為當初數學家發明創新時的火熱思考[1]．換句話說，激發學生火熱的數學思考要挖掘形成于學術形態數學中的深刻思想與科學價值，根據學生的數學現實與生活現實，重構教育形態的數學．

高中階段的三角函數蘊含了豐富的數學思想，既是正弦定理、余弦定理的基礎，還是高等數學中傅里葉級數、小波分析和泛函分析等學科的重要基礎，可見三角函數在數學研究和科學研究中的重要地位與作用．就目前看，三角函數的相關研究主要表現為4大主題：（1）三角函數教科書的比較研究，按照時間發展的縱向順序對一段時期內三角學教科書的三角函數的定義方式、圖像、誘導公式等歷史變遷作比較研究[2]，或者按照相同時間不同國家的橫向關系，對兩國或多國之間三角函數教科書的內容順序、數學概念、核心定理、知識結構與呈現方式等作比較研究[3-4]；（2）三角函數內容理解的實證研究，選擇數學專業大學生為被試編制問卷對高中三角函數內容深度進行研究[5]，或者選擇高中學生為被試編制問卷研究高中學生對三角公式的理解情況[6]；（3）三角函數的教學設計分析，以國內三角函數教科書為對象，剖析其各教學環節存在的問題，根據其教學經驗建構教學設計[7-8]；（4）三角函數教科書內容編寫的研究，對三角函數相關定義的確定或對三角函數教科書內容體系改編的論證研究[1，9-10]．可以看出后兩個主題和三角函數的教學或教育形態化有關系，但其研究內容很少從思想性與科學價值的高度探討三角函數教育形態化．鑒于三角函數的深刻思想與科學價值對學生數學思維發展的重要意義，有必要對三角函數教育形態化深入研究．

研究主要圍繞4個問題展開，首先，三角函數的深刻思想與科學價值是什么；其次，完善與建構已有三角函數教育形態化的理論框架與基本路徑；第三，當前三角函數教科書存在哪些問題；第四，三角函數的教育形態的重構．

2 三角函數的深刻思想和科學價值

任何知識的產生與發展都是源于解決問題或自身邏輯發展的需要，知識蘊含的思想性與科學價值就體現在解決問題的過程中，三角函數的發展也不例外．雖然三角函數源于天文學，但在刻畫物體振動、波的傳播過程有著極大的科學價值．

2.1 三角函數的深刻思想

天文學發展初期，為農業編寫歷書需要測量與計算天體之間的距離，在測量與計算天體距離的過程中，逐漸抽象出以三角形為背景的靜態幾何問題，任意一個三角形問題都可以轉化為直角三角形問題，也就是任意一個三角形問題都可以通過直角三角形來解決，所以測量與計算天體之間的距離就轉化為研究直角三角形的問題，在求解直角三角形中，先賢們發現當固定一個銳角，其形成直角三角形的邊之比是不變量，由此形成銳角三角函數的概念[11]．而由測量與計算天體之間距離的天文學逐漸獨立成為天文學的一個分支——恒星天文學．由此可見，初中銳角三角函數蘊含著當固定一個銳角，其形成直角三角形的邊之比是不變量的思想．

隨著恒星天文學的發展，逐漸研究天體之間旋轉運動關系，其中太陽、地球和月亮之間的旋轉關系是最基本的三體模型．太陽、地球和月亮在公轉與自轉過程中，計算何時出現日全食，何時出現月全食，也就是研究如何把天體的旋轉運動轉換為直線運動，并探討旋轉的天體在旋轉過程中所處的位置等，由此便形成高中三角函數的內容．可以看出，高中三角函數蘊含著旋轉運動與直線運動的關系，質點在旋轉過程中所處的位置等思想性．

三角函數在數學上逐漸發展出三角級數等．但是三角級數一直和恒星天文學形影不離，把三角級數運用于恒星天文學的研究，通過恒星天文學的研究促進了三角級數的發展．三角級數之所以在恒星天文學中有用，本質在于三角級數是周期函數，而天文現象大都呈周期性．開始運用三角級數于恒星天文學是要確定恒星在介于觀測到的位置之間的位置，也就是偏微分方程中的插值問題，最早研究差值問題的是歐拉，他把已經得到的方法用到行星擾動理論中出現的一個函數上，得到函數的三角級數表示[13]．人民教育出版社出版的三角函數教科書也專門辟出篇幅討論三角學與天文學的關系[14]．可以看出，三角函數與恒星天文學之間具有孿生性，沒有恒星天文學就沒有三角函數，如果三角函數得不到發展，恒星天文學就很難發展．換句話說，沒有旋轉運動與直線運動關系和質點在旋轉運動所處位置等的研究，就無法揭示三角函數的深刻思想．

2.2 三角函數的科學價值

振動無處不在決定了波的無處不在．只要物體發生振動，就會形成波動，一切波動都是某種振動的傳播過程．以波的形式傳播的還有電波和光．波分為橫波和縱波：像收音機、電視機、手機通信波，眼睛感受到的光、紅外線等都屬于電磁波，它們具有相同的物理性質，這些電磁波在真空中傳播速度都是30萬千米/秒，在電磁波中，電場和磁場的強度隨時間變化，且它們的方向與波的傳播方向垂直，這樣的波叫作橫波；像聲音等利用空氣等介質密度高低傳播的，波的傳播方向與振動方向相同的波叫作縱波．橫波中電場和磁場在與前進方向垂直的上下方向上變化，用圖形表示就是正弦函數的圖象，縱波中密度的變化用圖形表示出來，也是正弦函數，因此，不論是縱波還是橫波，都可以利用正弦函數表示．由多個簡單的波復合而成的復雜波形是傅里葉變換的基礎，或者說研究簡單波形合成復雜波的頻率和強度的數學方法就是傅里葉變換．

傅里葉變換是傅里葉在研究“熱傳導法則”問題時開始用到的，他發現再復雜的現象也是由簡單的現象組合在一起而形成的．受此啟發，復雜的波也是由多個簡單的波復合而成．1965年，根據離散傅里葉變換的奇、偶、虛、實等特性，也就是利用三角函數基本性質的組合，對離散傅里葉變換的算法進行改造，一種高效的傅里葉變換——快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform）被提出，傅里葉變換隨著FFT和計算機的發展，很快在各領域獲得應用．例如，醫院使用的心電圖儀器就是通過波的形狀把病人心臟跳動直觀表示出來，這就可以看出傅里葉變換廣泛應用的范圍了．傅里葉分析的核心是傅里葉定理，它是所有周期現象的核心．傅里葉把傅里葉定理擴展到非周期函數，把非周期函數看成周期函數的極限情況，這個想法對量子力學的發展具有重大影響．但是不管怎樣，這都離不開正弦函數和余弦函數，正弦函數和余弦函數是三角級數和傅里葉分析的核心[12]．

3 高中三角函數教育形態化的理論框架與基本路徑

高中三角函數的教學既不能直接把上述三角函數的深刻思想與科學價值直接告訴學生，也不能把三角函數的相關形式化概念陳述給學生，否則，學生只能機械記憶相關內容．這既不符合學生學習數學的心理特點，也違背了《普通高中數學課程標準（修訂稿）》中倡導引導學生探究發現的教學理念[15]．只有恰當地把三角函數蘊含深刻思想與科學價值教育形態化，才能讓三角函數知識及其深刻思想與科學價值在學生的數學認知結構中通透圓融的生成．

對于三角函數教育形態化，張先生給出如下建議[1]：

三角函數的教學，從靜態的正弦定理、余弦定理到動態的周期變化、潮水漲落、彈簧及波的振動以及在軸上均勻旋轉的輪子邊緣上熒光點的運動等現象，把代數式、三角形、單位圓、投影、波、周期等離散的領域聯系在一起．正是三角函數使它們形成一個有機整體，同時它們也是三角函數在不同側面的反映．因此對于三角函數的教學必須通過再創造來恢復學生火熱的思考，使之返璞歸真．讓三角函數豐滿起來，才能把教科書上定義—公式—圖像—性質—應用，這種冰冷的美麗變成學生豐富的聯想，使學生在某一領域孤立學習的主題能遷移到另一領域中．

可以看出，張先生的三角函數教育形態化建議較為宏觀，可操作性不強．例如，張先生指出“火熱的思考應該提高到‘數學思想方法’的高度上來”，卻未給出三角函數蘊含的數學思想與科學價值，也沒有指出如何把三角函數的數學思想與科學價值“落腳”，供學生“火熱的思考”．基于此，有必要完善張先生“三角函數教育形態化”的理論框架，明確其基本路徑，不但使三角函數教育形態化具有可操作性，也為其它數學內容教育形態化或者評價教科書良莠帶來啟發．

張先生“數學學術形態與教育形態”理論來源于著名數學教育家弗賴登塔爾數學教育思想，發展三角函數教育形態化的理論框架與基本路徑自然要以弗賴登塔爾數學教育思想的核心“數學教育是數學的再創造”為基礎．張先生已經指出數學學術形態向教育形態轉化要提高到數學思想方法的高度，所以要先挖掘三角函數的深刻思想與科學價值；其次，三角函數的深刻思想與科學價值要有適當的“落腳點”，才能為學生的再創造提供思想材料，這個“落腳點”便是建構問題情境；第三，有了問題情境，學生未必就能實現再創造，還要教師創造適當的啟發性提示語啟發學生的思維方向，再創造出三角函數的學術形態，揭示三角函數的深刻思想與科學價值．

其中，三角函數教育形態化的難點在于其問題情境的建構．除了上述指出建構三角函數的問題情境要蘊含三角函數深刻思想和科學價值，還要同時滿足下面3個要素．在天文學中，地球繞著太陽轉，月亮繞著地球轉，計算什么時候出現日全食，什么時候出現月全食，就是太陽、地球、月亮在公轉與自轉過程中，計算任意一個時刻太陽、地球、月亮所處的位置，這就必須要建立任意角、弧度制、任意角的三角函數等概念，決定了三角函數問題情境背景要有統領性．在統領性的背景下建構問題情境能夠隨著知識不斷生成而衍生出具有一定邏輯層次的新問題情境，即問題情境之間要具有連貫性．問題情境不但要蘊含三角函數的深刻思想和科學價值，還要聯系學生的生活現實或數學現實，否則學生在理解問題情境背景本身花費大量時間，無法在有效時間內透過問題情境建構知識并揭示相應的數學思想與科學價值．即三角函數問題情境要同時具備4個要素：問題情境要蘊含三角函數深刻思想和科學價值；問題情境的背景具有統領性；問題情境之間具有連貫性；問題情境要聯系學生的生活現實或數學現實．用圖1直觀表示三角函數學術形態向教育形態轉化的理論框架和基本路徑．

圖1 三角函教育形態化的理論框架與基本路徑

4 當前三角函數教科書的問題情境不真實且碎片化

依據三角函數教育形態化的理論框架與基本路徑，可以發現三角函數教科書中存在諸多問題，下面以某高中數學教科書必修4“三角函數”一章的任意角、弧度制、任意角的三角函數和誘導公式的問題情境為例予以分析（見表1）[14]．

從問題情境蘊含三角函數思想性和科學價值的角度看，高中三角函數的深刻思想是旋轉運動與直線運動的關系、質點在旋轉過程中所處位置等，科學價值是三角函數刻畫了物體振動、波的傳播等周期現象．但是從這4節內容的問題情境看，均沒有涉及旋轉運動與直線運動關系、質點在旋轉過程中所處位置的內容，也沒有因需要刻畫周期現象而創造新概念、新命題、新公式的內容．

從問題情境的背景統領性角度看，這4節內容問題情境的背景是手表快了或慢了、不同度量單位制、用平面直角坐標系中角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數、三角函數的定義與圓的對稱性，這些問題情境的背景各不相同，相互之間缺乏聯系，不能相互統領，決定了無法把它們聯系在一起視為一個具有統領性的問題情境背景．

從問題情境之間連貫性的角度看，這4節內容問題情境的背景沒有統領性，決定了由這些背景形成的問題情境之間缺乏連貫性．例如，“弧度制”的問題情境是長度有不同的單位制、重量有不同的單位制，不同的單位制能給解決問題帶來方便，所以要給角的度量“創造”一個單位制，但是該問題情境沒有給出角度制解決問題帶來不便的例子或問題，為何給角的度量“創造”一個新的單位制？新“創造”的單位制何以能給角的度量帶來方便？僅僅因為長度有不同的單位制、重量有不同的單位制，要強制給角的度量增加一個單位制，似有“東施效顰”之嫌，存在邏輯矛盾．一個有邏輯矛盾的問題情境自然無法跟其它問題情境建立順暢的連貫性．

表1 某高中數學教科書必修4“三角函數”一章創設的問題情境或問題

從問題情境聯系學生的生活現實或數學現實角度看，“任意角”的問題情境以學生手表慢了5分鐘需要校準為問題，考查學生如何校準手表，而后問學生“如果手表快了1.25小時如何校準，校準后，分針旋轉了多少度”，從目前情況看，學生很少戴有時針/分針的機械表或者石英表，大都是表盤上直接顯示時間數字的數碼電子表，或者學生直接使用手機上的數碼電子表，這類數碼表精度高，不會出現快或慢的情況．也就是說學生在現實生活中很少接觸到帶有時針/分針的手表，從這個角度看“你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的”的問題，無法獲得預期的問題驅動效果，學生只需要回答“把數碼電子表上的數字進行調整”即可．同樣的，對于“假如你的手表快了1點25小時，你應當如何將它校準”，也是同樣的回答．雖然學生能夠計算出手表慢了5分鐘分針旋轉了多少度，但是該問題情境脫離了學生的生活現實，如果把“手表”改為“鐘表”效果要好得多，因為大部分家庭都有有時針/分針的鐘表．

僅在問題情境部分，教科書就存在諸多問題，這對把教科書當做教學和學習重要參考的教師和學生來說有嚴重的不利影響，有必要重構三角函數的教育形態，為三角函數的教學和學習提供新的視角．

5 三角函數教育形態重構框架

5.1 三角函數教育形態重構的基本思想

高中三角函數蘊含旋轉運動和直線運動的關系、質點在旋轉過程中所處位置的思想性，在刻畫物體振動、波的傳播過程的科學價值，應該在重構的問題情境中揭示．決定了創設的問題情境既要揭示三角函數的思想性，還要能體現三角函數的科學價值．天文學背景比較復雜，且超出學生的生活現實與數學現實，不宜直接引入揭示高中三角函數的深刻思想與科學價值，需要把問題情境的背景更換并作適當簡化．根據三角函數建構問題情境的四要素，從高中三角函數蘊含的深刻思想與科學價值和學生生活現實出發，以汽車車輪與里程表系統為背景建構問題情境滿足要求．汽車車輪與里程表之間的關系蘊含了旋轉運動和直線運動的關系、質點在旋轉過程中所處位置的思想性，車輪上質點隨汽車向前平移過程中相對于車軸留下的軌跡，直觀揭示了波的傳播過程，既滿足學生的生活現實和數學現實，還能同時揭示三角函數的思想性和科學價值．從這個意義上說，以汽車車輪與里程表系統之間關系作為統領高中三角函數的問題情境比較恰當．

下面以任意角、弧度制、任意角的三角函數和誘導公式4節內容為例，把汽車車輪與里程表之間關系進一步細化為4個子問題情境（圖2），不同問題情境揭不同知識的數學本質．

圖2 高中三角函數教育形態重構思路結構

5.2 任意角教育形態的重構

要揭示“揭示旋轉運動和直線運動的關系、質點在旋轉過程中所處位置”的思想，任意角的問題情境可以建構為：

在天文學中，計算何時出現日全食、月全食，需要計算太陽、地球和月亮所在的位置，這是一個有趣而又復雜的問題，且太陽、地球和月亮位置關系的原理在我們生活也很常見．例如，我們都坐過汽車，汽車里程表記錄了汽車所行駛的路程，里程表數和車輪就蘊含了太陽、地球和月亮位置關系的原理（見圖3），可以通過研究汽車里程表與車輪間的關系，間接研究太陽、地球和月亮之間的關系原理．

如果車輪的半徑是0.3米，如何計算里程表上的數據？如果車輪的半徑是0.25米，如何計算里程表上的數據？如果車輪的半徑是1呢？如何計算里程表上的數據？其中變的是什么？不變的是什么？你發現了什么規律？

圖3 汽車里程表和車輪

啟發性問題1：如何計算汽車里程表的數據？能不能把問題情境抽象為數學問題（圖4）？

圖4 問題情境抽象

評析：引導學生閱讀材料，把問題情境數學化為具體的數學問題，培養了學生的數學閱讀能力和抽象能力，體會“旋轉運動和直線運動關系”的思想．在此基礎上啟發學生認識到解決這個問題，要準確刻畫車輪上一點的旋轉，不僅要定義角，還要知道該點旋轉的度數、方向，當車輪旋轉超過一周時要推廣角的范圍，需要建構角的動態定義，根據角的旋轉方向定義正角、負角、零角，推廣角的范圍等都是因為解決問題的需要而必然的結果．

啟發性問題2：能不能從動態的、旋轉的視角對角作出定義？

啟發性問題3：角的始邊是如何旋轉的？如何刻畫？

啟發性問題4：當角的始邊旋轉超過一周，如何刻畫？

評析：定義動態的角、正角、負角、零角，推廣角的范圍后，還不能計算汽車里程表的數據，因為在刻畫車輪旋轉量這個問題上存在爭議，不同學生選擇角的始邊可能不一樣，給研究問題帶來一定的復雜性，有必要統一角的始邊，即角的始邊標準化．

啟發性問題5：不同學生規定角的始邊可能不同，這會給研究問題帶來什么影響？如何解決？

評析：至此，學生再創造了諸多概念，規定了角始邊的方向，而創造概念的目的是為了解決最初的問題，還需要引導學生回到最初問題上．

啟發性問題6：如何計算汽車里程表的數據？其中變的是什么？不變的是什么？你發現了什么規律？

評析：通過問題解決，引導學生認識角的終邊在周而復始的旋轉，初步體驗“周期性”思想．

5.3 弧度制教育形態的重構

對于說法一，這種說法比較牽強，原因在于函數定義歷經數次發展演變，均是因為原有函數定義不能涵蓋其所有對象，必須要發展以適應于所有的具體函數．而說法一則把函數定義視為一成不變的，所有具體函數必須要滿足函數定義，如果不滿足，則要自我調整，相對于函數概念的發展歷程，無法作為三角函數引入弧度制的必然選擇．對于說法二，前面已經分析這種說法的矛盾性．對于說法三，弧度制簡化了計算公式，人們認可這種說法，簡化公式一直是數學的追求，為計算帶來極大的便捷性，在天文學中計算日全食、月全食時，簡化公式就是優化算法，加快計算速度，這在計算機出現之前顯得尤為需要，同時，弧度制把旋轉運動形成的弧長和直線運動形成的線段建立一一對應關系，把角與弧長建立等價關系，為旋轉運動轉化為直線運動建立橋梁，體現了其重要科學價值．這在汽車里程表的數據計算上，簡化角度制下的弧長計算公式，在汽車車輪與里程表系統為背景的問題情境中依然顯得非常必要與自然．

獲得弧度制之后的內容，例如，弧度制與角度制之間的比較、互化，給弧度制下的角規定方向，弧度制下角的集合與實數集之間建立一一對應關系等，人民教育出版社等出版的《普通高中課程標準試驗教科書·必修4》都已經給出比較好的參考，因此，這里僅探討弧度制的生成．

弧度制的問題情境可以建構為：

在任意角部分，探究了汽車里程表數據與車輪之間的關系，你們是如何計算的？計算的式子是否復雜？觀察式子，能不能找出規律，簡化計算過程？

評析：引導學生把注意力放在已有的式子上，觀察式子的結構，找出式子不變的部分，根據不變性對其作出新的規定與定義．

啟發性問題3：在弧度制下，汽車里程表數據的計算公式是什么？在弧度制下，還有哪些公式還可以簡化？

評析：因簡化公式的需要，建構了弧度、弧度制等，這些概念是為解決問題服務的，啟發性問題3則是引導學生回到并解決問題情境的問題．弧度制的形成過程主要培養了學生的縱向思維，而“在弧度制下，還有哪些公式還可以簡化”則是培養學生橫向思維，弧長公式、扇形面積公式等均和圓心角有關系，這里放棄相關教科書以例題證明的形式給出，而是以問題的形式提出，培養了學生觸類旁通、舉一反三的橫向思維．

5.4 任意角的三角函數教育形態的重構

任意角的三角函數在三角學中具有重要地位，在教學中，引導學生認識到因為研究問題的需要而建構任意角三角函數歷來都是教學的重點和難點．這里則把注意力放在此處，當引導學生認識到因為研究問題的需要而建構任意角三角函數之后，也就是定義任意角的三角函數、討論三角函數在平面直角坐標系四個象限的符號等，相關教科書給出了較好的參考，這里不再贅述．

問題情境：因為探究何時出現日全食、何時出現月全食，我們研究了汽車里程表系統與車輪之間的關系，獲得了任意角和弧度制的概念，現在運用任意角和弧度制能否計算何時出現日全食、何時出現月全食了？還不可以，僅有任意角和弧度制還不能確定任一時刻太陽、地球和月亮的位置，但是他們卻為我們進一步研究奠定了堅實的基礎．太陽、地球和月亮在公轉時都是在做近似圓周運動，確定任一時刻太陽、地球和月亮的位置，就相當于車輪上一質點在任意角度所處的位置，如果把車輪半徑視為單位1，你能用數學方法刻畫車輪上一質點所處的位置嗎（圖5）？

圖5 數學方法刻畫車輪質點位置

評析：汽車通過車輪旋轉驅動汽車向前或向后運動，把車輪上一個點視為一個質點，它繞著車軸旋轉，車輪旋轉使得車輪作圓周運動推動汽車向前做平移運動，也就是旋轉運動轉變為直線運動，汽車向前平移過程中，車輪上質點所處位置在時刻發生變化，本質上是一個質點繞著一個正在做直線運動的質點做旋轉運動的問題．把這個情境數學化，就是車輪上質點橫坐標是汽車平移的位移，而縱坐標就是汽車平移位移的正弦值．當汽車在行駛過程中，車輪的不斷旋轉使得汽車平移的自變量在逐漸不斷增加或減小，超出了銳角的范圍，因此需要定義任意角的正弦函數．同時，在汽車向前平移過程中，質點繞著車輪中心旋轉的角度在不斷增加，如果問題指向質點繞車輪中心的相對位置是什么，這就需要同時定義任意角的正弦函數和余弦函數．由此，建構任意角三角函數概念的必要性就被清楚揭示出來．

啟發性問題1：車輪上一質點繞車軸旋轉有什么特點？旋轉形成的軌跡是什么？

評析：根據問題情境，啟發學生認識到車輪上一質點作勻速圓周運動，呈周期性變化，旋轉形成的軌跡是圓周，這為下面研究任意角三角函數提供抽象基礎．當學生把單位圓抽象出來后，便可以引導學生建構任意角三角函數的過程了．雖然已經獲得點的軌跡是單位圓，但是如何刻畫點的橫坐標和縱坐標還存在突破的空間，特別是橫、縱坐標的自變量．人民教育出版社等教科書均是直接給出(sin, cos)，自變量就是角的終邊旋轉量，這里有一個疑問，即雖然角的終邊旋轉量為，那么的橫、縱坐標的自變量一定是嗎？為了引導學生對這個問題的本質認識，自然引出啟發性問題2．

啟發性問題2：現在假設車輪中心在軸上，車輪半徑為1，視車輪所在的圓上一質點與平面直角坐標系原點重合．當汽車行駛時，質點在平面直角坐標系中的坐標(,)如何表示（圖6—圖8）？

圖6 E點坐標表示（一）

圖7 E點坐標表示（二）

圖8 E點坐標表示（三）

啟發性問題3：質點繞車軸旋轉，它相對于車軸的位置如何刻畫（圖9）？

圖9 質點C相對于車軸的位置

評析：啟發性問題2揭示了點縱坐標及其自變量之間的關系，啟發性問題3則把研究范圍擴展到點的橫、縱坐標，學生有了縱坐標的研究經驗，繼續研究橫坐標則會順利些．根據點所在的位置，引導學生認識到需要定義任意角的三角函數．

啟發性問題4：如何定義任意角的三角函數？

5.5 誘導公式教育形態的重構

為了計算何時出現日全食、月全食，獲得了任意角的三角函數，它刻畫了圓周上一質點在任意時刻所在的位置，但相應位置三角函數值的求解還未解決，因此，探究求解任意角的三角函數值的方法就是該節內容的主要任務．該節繼續并充分用好“汽車車輪上質點坐標”這個物理背景，讓學生在對這個物理背景有充足認識的前提下繼續深挖該物理背景，從而獲得誘導公式，由此解決“汽車車輪上質點坐標”問題．誘導公式的實質是“揭示了任意角三角函數與銳角三角函數之間的關系”，揭示了“任意角三角函數與銳角三角函數之間的關系”，從而發現“任意角的三角函數值可以用0°~90°以內角的三角函數值求得”，這正是在計算機發明之前，誘導公式的美妙之處、價值所在，這也才是誘導公式的本質之所在．

問題情境：我們在上一節已經能夠表征出汽車車輪上質點的坐標，即(, sin)，但如何求出任意角的正弦函數sin的值（圖10）？

評析：由圖10能夠看出點坐標(, sin)“周而復始”地出現，并相差一個圓周的整數倍，即相差2π的(?Z)倍．若令∠=，當?[0, 2π]時，而汽車向前平移了時，且=2π+，其對應的縱坐標相等，則獲得公式sin(2π+)=sin．結合相對于車輪中心并繞車輪中心旋轉的汽車車輪上質點的坐標看（圖11），若令?[0, 2π]時，當質點旋轉了時，且=2π+，其對應的橫坐標、縱坐標相等，則獲得公式一：sin(2π+)=sin，cos(2π+)=cos，tan(2π+)=tan(?Z)．即終邊相同的角的同一三角函數值相等．利用公式一，可以把求任意角的三角函數值，轉化為求0~2π角的三角函數值．

圖10 任意角的正弦函數值

啟發性問題1：雖然公式一能夠把任意角的三角函數值轉化到求0~2π角的三角函數值，如何求0~2π角的三角函數值？你會求哪些角的三角函數值（圖12）？

評析：引導學生根據初中銳角三角函數知識求銳角三角函數值，根據“終邊相同的角的三角函數值相等”，若任意角與銳角的終邊相同，即角和之間相差2π倍，有=2π+(?Z)，那么它們的三角函數值相等．

啟發性問題2：公式一的作用是什么？根據公式一的獲得過程，你能獲得哪些結論？

圖11 質點B坐標

圖12 求三角函數值（一）

圖13 求三角函數值（二）

圖14 求三角函數值（三）

圖15 求三角函數值（四）

評析：對角終邊對稱關系的定位在為解決問題的需要而不得不引入，在該節之初所提出的問題中沒有涉及角的終邊的對稱關系，因為還不知道要把角的終邊的對稱關系引進來．作角的終邊關于坐標軸對稱、關于原點對稱是獲得把未知問題轉化為已知問題的工具，何時使用工具全看問題解決本身的需要，而不是在沒有問題之前，就把工具放在面前，面對工具思索這些研究工具可以做什么，這不符合數學研究規律．

[1] 張奠宙，王振輝．關于數學的學術形態與教育形態[J]．數學教育學報，2002，11（2）：1-4．

[2] 劉冰楠，代欽．民國時期國人自編三角學教科書中“三角函數”變遷[J]．數學教育學報，2015，24（3）：81-85．

[3] 陳月蘭．中日三角比內容比較[J]．數學教育學報，2013，22（3）：1-4．

[4] 朱少卿，胡典順．中美兩套教科書中三角函數的比較研究[J]．數學通報，2014，53（10）：46-50．

[5] 佘丹．高中三角函數內容深度的實證研究[J]．數學教育學報，2014，23（6）：85-87．

[6] 何憶捷，彭剛．高中生三角公式理解的實證研究[J]．數學教育學報，2014，23（1）：51-56．

[7] 黃曉琳，李祎．“任意角的三角函數”教學析惑與設計探微[J]．數學通報，2014，53（11）：22-25．

[8] 渠東劍．追求自然連貫的數學教學過程[J]．數學通報，2014，53（12）：12-16．

[9] 章建躍．為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數[J]．數學通報，2007，46（1）：15-18．

[10] 張景中．三角下放全局皆活[J]．數學通報，2007，46（1）：1-4．

[11] 容建湘．恒星天文學[M]．北京：高等教育出版社，1986：1-50．

[12] 馬奧爾．三角之美：邊邊角角的趣事[M]．北京：人民郵電出版社，2010：111．

[13] 克萊因 M．古今數學思想（第三冊）[M]．上海：上海科學技術出版社，2014：182．

[14] 課程教科書研究所．普通高中課程標準試驗教科書A版·數學（必修4）[M]．北京：人民教育出版社，2007：2-27．

[15] 洪燕君，周九詩，王尚志，等．《普通高中數學課程標準（修訂稿）》的意見征詢——訪談張奠宙先生[J]．數學教育學報，2015，24（3）：35-39．

[16] 章建躍．如何使學生理解三角函數概念[J]．中小學數學（高中版），2017（6）：66．

[責任編校：周學智]

Reconstruction of the Education Form of Trigonometric in Senior High School

SHEN Wei1, CAO Guang-fu2

(1. College of Mathematics and Big-Data Science, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China;2. School of Mathematics & Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

The education form of trigonometric function was to change the formalized academic form into the content of trigonometric function recreated by the students highly from the mathematical idea and the scientific value. Reconstruction of the education form of trigonometric function needed to explore the ideological content and scientific value of the academic form of triangle, construct problem situations according to the mathematical idea and scientific value, summarize proper heuristic questions, and guide the students to recreate the content of trigonometric function, to reveal the mathematical idea and scientific value of trigonometric function.

trigonometric; educational form; problem situation; reconstruction

G632.0

A

1004–9894（2017）06–0014–08

沈威，曹廣福．高中三角函數教育形態的重構[J]．數學教育學報，2017，26（6）：14-21．

2017–06–02

廣東省“特支計劃”教學名師項目——問題驅動的數學課堂教學；廣東省高等教育教學改革項目——卓越視野下職前數學教師教學能力培養模式研究；惠州學院優秀青年培育項目——數學教師核心素養研究

沈威（1982—），男，安徽靈璧人，副教授，博士，主要從事數學課程與教學論研究．