生活中的數學之地圖中蘊含的數學奧秘

文/劉豫寧 編輯/甄知

生活中的數學之地圖中蘊含的數學奧秘

文/劉豫寧 編輯/甄知

當你打開一張標準的世界地圖的時候，是否留意到加拿大上方那一片白色的大陸？她是世界第一大島——格陵蘭島，有200多萬平方千米。她的英文名直譯過來是“綠島”，但是這塊大陸幾乎位于北極圈內，氣候寒冷。行政上，她屬于丹麥王國。這塊大陸在地圖上看起來要比她的實際尺寸大一些，似乎能夠達到美國國土面積的一半。可是美國的國土面積有 937萬平方千米。這種相對尺度的偏差在各種地圖上都存在，所以世界地圖只能近似地反映各個國家的地理信息。

那么能不能設計一張絕對精確的地圖呢？直觀來看，這似乎是不行的，因為地球的表面是彎曲的，想把它平鋪到一張紙上總是會使某些區域出現扭曲。于是人類根據實際的需要設計出五花八門的地圖投影法，應對不同的需要。這些投影法雖然不能消除偏差，卻可以把偏差放在不太重要的位置。由于北極地區地廣人稀，在繪制行政地圖時候往往是犧牲那里的精確度而保持其他地域的版圖相對精確。

在航天器未被發明的時代，繪制精確的地圖是掌握地理信息的關鍵手段之一，在軍事、航海、行政管理等領域都有重要用途。即使到了今天，我們還要時不時地打開手機上的地圖定位一下目的地。到19世紀初，人類已經發明了幾十種地圖投影法。雖然測量會有偏差，地形的因素也制約了地圖的精確性，可是從制圖學理論的角度思考，就會自然產生一個問題：這種偏差是不是可以在理論上被消除？在歐洲，這個問題的解決最終落在了兩個德國人的肩上，一位是數學家高斯，另一位是探險家洪堡。德國當代作家丹尼爾·凱曼在2005年出版的《丈量世界》中描述了兩位同處一個時代的德國科學家以截然相反的方式進行各自的研究，最后卻奇跡般地走向同一目標。

高斯

高斯被譽為繼牛頓以來最偉大的數學天才，有數學王子的美譽，也是測量學的高手，在包括數學、物理學，統計學的十幾個領域有開創性的工作。他出生在一個貧困的猶太家庭里。他在十歲的時候利用對稱的方法解決了從 1 一直加到 100 等于多少這個問題，讓老師另眼相看。由于在數學上非凡的天分，高斯得到了去更好的學校學習的機會并受到呂訥堡公爵的資助，進入德國哥廷根大學，走上了數學科研之路。高斯一生有很多偉大的發現：他在 18 歲的時候發現了最小二乘法，可以從大量測量數據中總結經驗公式，是一種非常有用的數學優化技術。他利用該方法成功地計算了谷神星的軌道，并直接導致了后來人們重新發現這顆小行星。這使得高斯的名聲傳遍歐洲。高斯在哥廷根大學還擔任天文臺的臺長，他在大量的觀測和數據處理中發現了正態分布，它是概率論和統計學的基礎，在實際中有廣泛的應用。在十元馬克（德國貨幣）上就印著高斯和他發現的正態分布。高斯從 18歲進入哥廷根大學，在那里度過了全部學術生涯。他為哥廷根日后成為近代數學的搖籃起到了關鍵的作用。

我們故事的第二個主人公，亞歷山大·馮·洪堡出生于一個貴族家庭。他的哥哥威廉·馮·洪堡是柏林洪堡大學的創始者，也是著名的教育改革者。他重新改革了普魯士引以為傲的義務教育制度，讓所有階層的子女都有相同的機會接受教育；在高等教育領域，他提出通過科學研究方法和教學與科學研究相結合的方法去追求純粹知識的思想，科學研究第一次成為大學職能。亞歷山大·馮·洪堡從小受到家庭學術氣氛的熏陶，具有極強的好奇心。與哥哥的興趣不同，他愛好游歷各國，凡是足跡所到，高山大川無不登臨，奇花異草無不采集，兼有徐霞客的好奇心和李時珍的執著。

為了完成大地測量，洪堡曾考察過西歐、南北美洲、北亞和中亞等地，其科學活動涉及地理學、地質學、地球物理學、氣象學和生物學等。他最重要的貢獻之一是根據前人和自己所測定的世界各地溫度，于1817年第一個繪制了全球等溫線圖，指出氣候不僅受緯度影響，還與海拔高度、離海遠近、風向等因素有關，并使同緯度各地的氣候得以互相比較。他研究了氣候帶分布、大陸性和海洋性氣候、地形對氣候的形成作用；發現植物分布的水平分異和垂直分異性，論述氣候同植物分布的水平分異和垂直分異的關系，得出植物形態隨高度而變化的結論；根據植被景觀的不同，將世界分成16個區，確立了植物區系的概念，創建了植物地理學；首次繪制地形剖面圖，進行地質、地理研究；指出火山分布與地下裂隙的關系；認識到地層愈深溫度愈高的現象。 他是 19 世紀科學界中最杰出的人物之一，被譽為是哥倫布之后最偉大的博物學家、地理學家。洪堡廣泛游歷于世界各地，他的科學成就和著作推動了近代自然科學的發展，在世界上產生了很大影響。為紀念洪堡，德國建有洪堡基金會，資助世界各國的自然科學研究。

亞歷山大·馮·洪堡

高斯與洪堡無論出身還是經歷都不相同，丈量世界的方法也是大相徑庭。高斯是個理論派，他把制圖學看成一門理論科學，認為基本的理論應該在天文臺就可以完成。他對于制圖學中的理論誤差的認識是非常獨到的。他想解決的問題是：如果忽略地形因素，把地球看成一個圓球，怎么把它或者它的一部分精確地投影到一張紙上？他經過大量的測量和計算發現這種理論誤差是無法避免的，即使是繪制德國地圖！

這個結論聽上去就有點反直覺了。為了說明白這件事，我們得先解釋一下“度規”這個概念。度規其實就是兩點間的距離。迄今為止人類發明了幾十種繪制地圖的方法。其本質都是把地球投影到平面上。然而無論用什么投影方式繪制的地圖，它上面任何兩點間的距離都由直線段給出，從而給出一個度規。而在地球表面，兩點之間的最短連線的長度就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度。大圓就是經過球心的平面截球面所得的圓。一般來說地球上任何兩個城市間的航班都是由大圓連接的。如圖所示，從舊金山飛到倫敦的航班，并不是沿著緯線飛行。所以地球表面兩點的距離也會給出地球表面上的一個度規。因此繪制絕對精確地圖的本質就是要找到一種投影方法，把地球投射到平面上，使得它與地球表面的度規一模一樣。高斯經過復雜的計算證明：曲面上的度規決定了它的曲率（準確來說，是高斯曲率）。然而平面作為一種特殊的曲面，它的高斯曲率永遠是零，與度規的選取無關，因為它完全沒有彎曲；而球面的高斯曲率不是零。這就反推出平面上不存在與球面上同樣的度規，也就在理論上論證了地圖永遠畫不準。

高斯的論證不僅對于整個地球，而且對于地球上的任意一塊區域都是可行的，這也就說明無法通過不斷增加測量精度來提高地圖的整體精度。值得一提的是，高斯的理論非但沒有終止大地測量學這一學科，而是為它的發展指出了新的道路，特別是高斯曲率這一不變量的引入，對地球表面的度規和彎曲給出了定量的描述。如果說高斯的理論給出了大地測量學的數學基礎和理論骨架，那么洪堡大量的實際考察和觀測則賦予了這一學科以血肉。兩位先哲用各自的方式大大加深了人類對于自身所處的自然環境的認識。

劉豫寧

博士，上海紐約大學數學助理教授。2006年畢業于武漢大學數學系，2011年獲法國南錫第一大學應用數學博士學位。