數學問題解答

2016年12月號問題解答(解答由問題提供人給出)

2341已知a，b，c，d≥0，a+b+c+d=3，求證：

a+ab+abc+abcd≤4．

(陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 安振平 712000)

證明(1)先證3元的類似不等式：

已知a，b，c≥0，a+b+c=3，求證：

a+ab+abc≤4．

(*)

事實上，由條件知a≤3，應用2元均值不等式，得

a+ab+abc=a+ab(1+c)

所以

a+ab+abc≤4．

(2)再證4元的不等式：

由條件a，b，c，d≥0，a+b+c+d=3，得

于是，條件變形為a+d，b，c≥0，(a+d)+b+c=3，并注意應用(*)，得

a+ab+abc+abcd

=(a+abcd)+ab+abc

≤(a+d)+ab+abc

≤(a+d)+(a+d)b+(a+d)bc≤4．

所以

a+ab+abc+abcd≤4．

容易獲知，等號成立的條件為(a，b，c，d)=(2，1，0，0)．

2342設⊙N切△ABC的兩邊CA，CB于點E，F，同時與△ABC的外接圓⊙O內切于點P．連結CN并延長交⊙O于T，求證：⊙(T，TB)與EF相切 ．

(湖北省谷城縣第三中學 賀斌 441700)

證明設CT與EF交于點S，連結TO并延長交⊙O于M，連結PO并延長交⊙O于Q(點N在PQ上)，則

∠CFN=∠CSF=90°，

所以NC·NS=NF2．

又NC·NT=NP·NQ=NF·NQ，

所以NC·NS+NC·NT=NF2+NF·NQ．

而NC·NS+NC·NT=NC·(NS+NT)

=NC·TS，

NF2+NF·NQ=NF·(NF+NQ)

=NF·(NP+NQ)

=NF·PQ，

所以NC·TS=NF·PQ．

①

又因為△CFN∽△MBT，

所以NC·TB=NF·PQ．

②

由①、②得NC·TS=NC·TB，TS=TB．

注意到CT⊥EF知，EF是以點T為圓心，定線段TB長為半徑的圓的切線．

故⊙(T，TB)與EF相切．

2243設ai,xi,λi∈R,(i=1,2,…,n,n≥2),t∈R，且

M1=λ1x1+λ2x2+…+λn-1xn-1+λnxn>0,

M2=λ2x1+λ2x2+…+λnxn-1+λ1xn>0,

，

Mn=λnx1+λ1x2+…+λn-2xn-1+λn-1xn>0,

并令

N1=(t-λ1)x1+(t-λ2)x2+…+(t-λn)xn,

N2=(t-λ2)x1+(t-λ3)x2+…+(t-λ1)xn,

，

Nn=(t-λn)x1+(t-λ1)x2+…+(t-λn-1)xn,

若t(λ1+λ2+…+λn)>0，則

若t(λ1+λ2+…+λn)<0，則式中不等號反向．

于是由柯西不等式可得

當t(λ1+λ2+…+λn)<0，則式中不等號反向．

2344在△ABC中，以BC中點M為圓心，作圓交AB、AC于F、E，作DF⊥AB，DE⊥AC，FE交AD于P，BP、ME交Q，求證：QA∥BC．

(江西師范高等專科學校 王建榮 陳志欽 335000)

證明設BQ交AC于R，由梅氏定理可知：

延長QA至G，顯然D是△ABC的垂心，

由※和※※可得：

?cos(∠QAE-∠FDA)-cos(∠QAE+∠FDA)=

=cos(∠ADE-∠GAB)-cos(∠ADE+∠GAB)，(積化和差公式)

由∠QAE+∠GAB=∠ADE+∠FDA

?cos(∠QAE+∠FDA)=cos(∠ADE+∠GAB)

因此∠QAE+∠FDA=∠ADE+∠GAB

?∠FDA=∠GAB，

由弦切角和已知條件?DA⊥AQ，

由AD⊥BC得QA∥BC．

(甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍 741600)

=2n+2n·2n-1=2n·(n+1)

所以當n=1時，不等式

取等號．

2017年1月號問題(來稿請注明出處——編者)

2346若a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，試證：

(1)

(浙江湖州市雙林中學 李建潮 313012)

2347在Rt△ABC中，CA≠CB，CD為斜邊AB上的中線，過A作CD的垂線交直線CB于點E，

過B作CD的垂線交直線CA于點F，連接EF交線段AB于點P，求證：△AFP的外接圓與△BEP的外接圓在其交點P處的切線互相垂直．

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

2348若△ABC的面積為S，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

(北京市陳經綸中學 張留杰 100020)

2350若a，b，c>0，則3(a4+b4+c4)+(ab+bc+ca)2≥6(a2b2+b2c2+c2a2)．

(浙江省寧波市甬江職高 邵劍波 315016)