歐拉不等式的一個加強的改進及其類似

王 圣

(安徽滁州中學 239000)

設△ABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則有不等式R≥2r.上述不等式是數(shù)學家歐拉于1765年建立，該不等式具有簡單而不平凡的特點，關于它的各種加強、隔離和推廣的研究從未間斷過. 文[1]給出歐拉不等式與邊長間的一個不等式鏈，文[2]則建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強不等式

定理1設R,r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)

(1)

當且僅當△ABC為正三角形時取等號.

(2)

下面給出式(2)的證明.

由于

原本到此，對式(1)的探究可以暫告一個段落了，但是數(shù)學大師波利亞告誡我們：“沒有一道題目可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方”，那么式(1)是否還有東西可以進一步的挖掘？

定理2設R,r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有

(3)

當且僅當△ABC為正三角形時取等號.