二維圓盤顆粒體系聲學行為的數值研究?

劉曉宇 張國華 孫其誠 趙雪丹 劉尚

1)(北京科技大學物理系,北京 100083)

2)(清華大學,水沙科學與水利水電工程國家重點實驗室,北京 100084)

二維圓盤顆粒體系聲學行為的數值研究?

劉曉宇1)張國華1)?孫其誠2)?趙雪丹1)劉尚1)

1)(北京科技大學物理系,北京 100083)

2)(清華大學,水沙科學與水利水電工程國家重點實驗室,北京 100084)

顆粒物質,聲速,非線性,聲衰減

1 引 言

在非熱條件下壓縮顆粒系統可使系統經歷堵塞(jamming)轉變[1?3].根據O’Hern的分析,在jamming點(J點)附近,剪切模量G、體積模量B及剪切模量與體積模量的比值G/B均隨壓強P呈冪律標度[3?5]:P～(Δ?)a?1,B～(Δ?)a?2,G～(Δ?)a?3/2,Z?Zc～(Δ?)1/2(Z為配位數,Zc為J點配位數),G/B～P1/(2a?2),其中,a=2對應線彈性接觸,a=5/2對應赫茲接觸.因此,在J點附近剪切和體積模量比值G/B隨壓強P的標度是驗證jamming臨界性的重要標記[6].最近,Wang等[7]發現當P＞Pj(Pj為類jamming轉變點)時,雙分散的赫茲接觸顆粒體系中G/B～P1/3,體系處于TL玻璃態(橫模縱模都存在的狀態);當P＜Pj時,G/B～(P/T)?1/2,體系處于只能承載有效縱向聲子的L玻璃態;當P=0時,體系處于無剛性的未堵塞態.但是,在2D線彈性接觸的顆粒體系中是否也存在處于TL玻璃態和未堵塞態之間的L玻璃態仍然是一個未解決的問題.另外,由于L玻璃態不能嚴格定義橫波聲子,L玻璃態表現出與TL玻璃態非常不同的力學特性,目前關于L玻璃態力學特性的研究已經成為一個新的熱點.

顆粒物質是典型的無序系統,內部本征的不均勻性使得顆粒系統的力學和輸運特性與晶體的情況存在明顯不同[8].比如,顆粒材料中的振動自由度不是總能用普通的平面波表征,而是存在一個在基本成分(顆粒)的微觀尺寸和宏觀樣品尺寸之間的特征介觀長度尺度l?,低于l?的系統不再支持波長λ小于l?的聲學平面波,連續體彈性理論失效[9].但是,λ?l?的長波長聲子仍然能在無序固體中存在,在這個長度尺度上體系能被看作連續彈性介質.從這個角度講,顆粒材料等無序固體可以看作一系列由特征尺寸l?量級的區域結構單元組成[10].近年來,關于顆粒材料中介觀長度尺度隨體積分數的變化的研究已經取得了很大的進展.例如:文獻[11—13]通過研究振動態密度曲線發現顆粒體系中存在區分德拜標度和態密度平臺的過渡頻率ω?[5],與ω?對應的縱波特征波長vl為縱波聲速)及橫波特征波長vt為橫波聲速)均隨到J點的距離(???c)發散:Vitelli[14]數值研究了通過排斥彈簧互相作用的無摩擦軟球jammed體系剪切聲波的長波衰減,發現特征長度??～(???c)?1/2.Mizuno等[15]數值研究發現3D無序體系偏離宏觀彈性性質的特征尺度ξG～(?? ?c)?0.16.Wang等[7]數值確定顆粒材料等無序固體的特征長度??～P?2/9.同時Ikeda和Berthier[6]的研究給出了不同的結論,即縱向和橫向振動都在硬球區域中存在,且相關的長度尺度和時間尺度均隨著密度減少遠離J點而變微觀.由于對無序材料中的特征尺度的研究還存在爭議,值得進一步研究.

聲學測量是一種探測顆粒系統內部結構和力學特性的有效手段[16?19].目前,人們已經利用聲學手段對3維(3D)顆粒體系低壓下聲學特性進行了大量研究,但是關于2D圓盤顆粒體系低壓強下是否也存在L玻璃態以及其低壓強下的聲學衰減、聲學非線性等行為的研究還較少.本文利用數值模擬手段對卸載過程中2D顆粒圓盤體系在低壓強下的聲學行為展開了系統研究.首先,利用飛行時間法數值測量了卸載過程中不同壓強下二維單分散顆粒體系中的橫波聲速vt和縱波聲速vl,進一步研究了剪切模量G與體積模量B的比值G/B隨壓強的變化規律,結果表明,在低壓強區域2D單分散圓盤顆粒體系處于L玻璃態.其次,利用傅里葉變換研究了非線性系數、聲學衰減系數隨壓強P的變化以及衰減系數α隨頻率f的變化規律,并且進一步研究了2D圓盤顆粒系統中散射相關的特征長度??隨壓強的變化規律.本文的結果對于進一步理解2D顆粒體系中是否存在L玻璃態以及L玻璃態的聲學衰減及非線性行為的規律有所幫助.

2 數值模擬

研究的顆粒體系由2048個質量相同的無摩擦單分散圓盤顆粒組成,它們被隨機放置在邊長為L的正方形盒子中,采用周期性邊界,且不考慮重力的影響.顆粒與顆粒間的相互作用為單邊線性彈簧,即當顆粒i和j間距rij=ri?rj小于它們的半徑之和時存在相互作用,其中ri,rj分別為顆粒i和j的位置矢量.接觸力的法向分量由給出,其中,kn是法向接觸剛度,ζ為阻尼比,nij=rij/|rij|是顆粒i中心指向顆粒j中心的單位矢量,mi和mj是顆粒i和顆粒j的質量.在本文的模擬中,顆粒法向剛度系數為1.0×106N/m,切向剛度系數為0.

非熱(T=0)顆粒體系的具體制備過程如下:首先,在邊長為L的正方形盒子中隨機生成2048個半徑很小的單分散光滑圓盤顆粒.接著,一步增大顆粒半徑使體系的體積分數達到某一固定值(P/T=∞).然后,采用共軛梯度使得體積能量趨于能量極小的亞穩態,可認為體系為非熱體系(T=0).最后,通過逐漸減小顆粒半徑的方法對體系進行卸載,生成一系列壓強的穩定顆粒構形. 本文分別取σ,m,ε/σ2和（其中,σ=Ri+Rj為顆粒的平均直徑,m為顆粒的質量,為體系特征能量,Ri與Rj分別為體系中顆粒i與顆粒j的半徑為長度、質量、壓強和頻率的單位.

采用飛行時間(TOF)法測量顆粒體系的聲速,測量過程中分別使用單個顆粒作為激勵源和接收器.具體的測量過程如下:用單個正弦脈沖信號驅動激勵源顆粒,使它從初速度為零開始在水平(或垂直)方向上做一個完整的正弦振動(v=0.0001ωsin(ωt),時間步長t0=Tperiod/1000,Tperiod為周期,反比于圓頻率ω),同時記錄激勵和接收顆粒的v-t曲線.測量發射端信號、接收端信號第一個波峰的時間差tTOF=t2?t1(其中,t1和t2分別是激勵脈沖和接受脈沖的第一個波峰對應的時間).進而可以得到聲速vTOF=l/tTOF(l為激勵源和接收器顆粒間的距離).

采用傅里葉變換法來研究顆粒物質中的聲學衰減和非線性現象.實驗過程中,用連續的正弦信號激勵顆粒,并同時記錄激勵顆粒和接受顆粒的振動速度隨時間的變化,如圖1所示.通過對接收和發射信號的傅里葉變換分析,從中提取出接收信號和發射信號的基頻、二倍頻幅值.可進一步得到聲衰減系數其中,l為接收顆粒與激勵顆粒之間的距離,I0為激勵顆粒的振動強度即初始強度,I(l)為接收顆粒的振動強度即通過介質顆粒衰減后的強度),及接收信號二倍頻幅值與接收信號基頻幅值平方的比值,進而研究顆粒物質的非線性特性.

圖1 激勵波形速度度幅A1(黑線)和接收波形的速度振幅A2(藍線)隨時間t的變化Fig.1.Time t dependence of velocity amplitude of exciting waveform A1(black line)and velocity amplitude of receiving waveform A2(blue line).

3 結果與討論

3.1 橫波、縱波聲速及材料剪切模量與體積模量比值G/B隨壓強的變化

圖2(a)和圖2(b)分別顯示了用飛行時間法測得的2D圓盤顆粒體系的橫波聲速vt和縱波聲速vl隨壓強的變化曲線.由圖2可知,vt(P)和vl(P)曲線均呈現分段行為:當P＜10?4時,橫縱波聲速均隨壓強的增加冪律減小,vt～P?0.446,vl～P?0.232;當P＞10?4時,橫波、縱波聲速均隨壓強增加冪律增大,vt～P0.202,vl～P0.338,與線彈性接觸理論[5,20]預言vt～P1/4一致.應該指出的是,關于3D球形顆粒體系vt-P和vl-P曲線的分段行為在Somfai等[21]的數值模擬、Jia等[22]及張攀等[23]的實驗中也有報道,Lherminier等[24]在研究聲波通過受壓的二維顆粒介質時也發現了類似現象.值得一提的是,圖2給出的vt(P)和vl(P)曲線的分段行為與理論的預言并不一致,即在本文的體系中vt(P)和vl(P)曲線呈現先冪律減小再冪律增大的規律.這可能對應著卸載過程中在振動源顆粒和接收顆粒之間形成了一個強力鏈,導致測得的橫波和縱波聲速都按冪律增加.vt(P)和vl(P)曲線的拐點實際上對應著在振動源顆粒和接收顆粒之間強力鏈的形成點.關于整體壓強降低過程中,在體系局部形成強力鏈的過程的物理機制值得進一步研究.

圖2 聲波在光滑顆粒物質中的傳播速度與壓強的依賴關系,實線為擬合曲線 (a)橫波速度與壓強的冪律關系;(b)縱波速度與壓強的冪律關系;(c)剪切模量與體積模量的比值G/B與壓強P的變化關系Fig.2.Pressure dependence of velocity of acoustic wave propagating through frictionless granular matter,the solid line are the fitted line:(a)The velocity of transversal wave versus pressure exhibits picewise power law scaling behaviors;(b)the velocity of longitudinal wave versus pressure shows similar picewise power law as that of transversal wave;(c)the ratio of shear modulus and bulk modulus G/B versus pressure P.

材料剪切模量與體積模量的比值G/B是反映材料塑性的重要物理量,例如:對于液體,G/B=0;對于赫茲接觸固體,G/B～P1/3.為了探究卸載過程中2D顆粒體系塑性轉變,根據進一步得到2D顆粒體系的圖2(c)顯示了2D顆粒體系剪切模量與體積模量比值G/B隨壓強P的變化規律.由圖2(c)可知,在本文研究的低壓強范圍內,2D顆粒體系的G/B隨P的變化也出現了類似于在3D顆粒體系中[7,23]發現的隨壓強P增加G/B減小的現象,G/B～P?0.502,而與線彈性接觸理論[5,20]預言的在P＞Pj情況下G/B～P1/2不同.有趣的是,Wang等[7]的數值研究發現在卸載過程中硬球膠體玻璃分別經歷高壓強的TL玻璃態到低壓強的L玻璃態及從L玻璃態到未堵塞態的兩次轉變,并且發現當系統處在硬球玻璃的等效區域L玻璃區域,即Pg＜P＜Pj(Pg是玻璃化轉變點)時,赫茲接觸顆粒體系G/B～P?1/2,與張攀等[23]的實驗結果及本文在2D顆粒體系的低壓強范圍內中發現的G/B～P?0.502接近,暗示在低壓強范圍內2D顆粒體系也處于L玻璃態.值得一提的是,2D顆粒體系和3D顆粒體系在L玻璃態的中G/B隨壓強的標度指數與顆粒作用勢無關,具體原因有待進一步研究.

3.2 衰減系數隨頻率的變化

通常,非均勻介質的聲學衰減分為吸收衰減αa(ω)=Aω和由于聲阻抗不連續發生在顆粒邊界和缺位的彈性散射αs(ω).其中αs(ω)隨頻率的冪律關系由散射機制決定[25],例如:對于瑞利散射,即入射波長頻率λ遠大于散射體的平均尺寸D(λ ?D),αs(f)=S1D3ω4;對于隨機散射(λ≤D),αs(f)=S2Dω2;對于幾何散射(λ?D),αs(f)=S3/D.為了研究2D顆粒體系的聲學衰減機制,數值測量了壓強P=0.2,0.1,0.02,0.01,0.002,0.001,0.0002,0.0001時2D顆粒體系的橫波和縱波衰減系數隨頻率的變化,如圖3(a)和圖3(b)所示.為了避開系統共振的影響,本文對遠離共振峰的實驗數據進行了擬合,如圖3中的實線所示.由圖3(a)和圖3(b)可知,2D顆粒物質的橫波、縱波衰減系數均隨頻率呈分段規律:當f＜0.05時,橫波、縱波的衰減系數均不隨頻率的增加而變化;當0.05＜f＜0.35時,橫縱波衰減系數與頻率成正比αT～f,αL～f,意味著在0.05—0.35頻率范圍(在P=0.02壓強下,對應橫波波長2.11—15.464,縱波波長9.726—64.895)內,2D顆粒物質中的衰減的主要機制為吸收衰減;當f＞0.35時,αT～f2,αL～f1.5,此時衰減機制中除了吸收衰減還有瑞利散射衰減[25].值得一提的是,在f＞0.35范圍內,橫波和縱波衰減隨頻率的變化不同(αT～f2,αL～f1.5),可能與橫波和縱波波長不同導致散射衰減占總衰減的比例不同有關[26].

圖3 壓強P=0.2,0.1,0.02,0.01,0.002,0.001,0.0002,0.0001時,衰減系數α與頻率f的變化 (a)橫波的衰減系數αT隨頻率f的變化;(b)縱波的衰減系數αL隨頻率f的變化;圖中用實線顯示不同壓強范圍內衰減系數隨頻率的冪律關系Fig.3.The attenuation coefficient α versus frequency f at P=0.2,0.1,0.02,0.01,0.002,0.001,0.0002,0.0001:(a)The attenuation coefficient of transversal acoustic αTversus frequency f;(b)the attenuation coefficient of longitudinal acoustic αLversus frequency f.The solid line in the figure shows the picewise power law frequency dependence of attenuation coefficient.

3.3 衰減系數隨壓強的變化

衰減系數的標度分析能夠提供對jammed固體結構的洞察力.為了研究2D顆粒體系中散射特征長度隨壓強的演化,本文測量了卸載過程2D顆粒物質橫波、縱波長波長衰減系數隨壓強的變化,如圖4(a)和圖4(b)所示.由圖4(a)和圖4(b)可知,2D顆粒物質的橫波、縱波衰減系數均隨壓強也呈分段現象.當P＜10?4時,橫縱波的衰減系數αT,αL幾乎不隨壓強變化;而當P＞10?4時,橫縱波的衰減系數αT,αL均隨壓強的增大而呈冪律減小,αT～P?0.099,αL～P?0.105.2D顆粒系統中聲衰減系數αT,αL隨壓強的變化與系統內部結構隨壓強調整有關.即隨著壓強的增大,顆粒的平均接觸數增加,顆粒體系內部結構更不容易發生調整,使得橫波和縱波的聲學耗散相應減小.這一點與Hong[27]對一維水平干顆粒能量衰減的研究及Liu等[28,29]、張攀等[23]對顆粒3D體系衰減耗散的研究定性一致.注意到彈性散射對衰減系數的貢獻與散射平均自由程ls(ω)成反比,α(ω)～1/ls,在顆粒介質中,觀察到聲音衰減由橫向波支配.根據瑞利定律,ls(ω)～(vt/ω)4(1/D)3(其中,D是表征對散射負責的無序結構的長度尺度),可以得到α(ω)～(ω/vt)4D3.P＜10?4時,vt∝P?0.446,P＞10?4時,vt～P0.202,αT～P?0.099,將測得的2D顆粒體系的橫波聲速,代入α(ω)～(ω/vt)4D3式,可進一步得到與散射相關特征長度隨壓強的標度:P＜10?4時,??～D～P?0.595;P＞10?4時,??～D～P0.236.在低壓強下的結果與文獻[5,14]中長波長的剪切波在J點附近存在??～P?1/2并在J點處發散的結果一致.綜合考慮圖2中vt(P)和vl(P)曲線的分段行為(P=10?4為拐點),我們認為這里發現的與散射相關特征長度隨壓強的分段標度可能與vt(P)和vl(P)曲線的分段行為具有相同的結構起源,即在卸載(整體壓強下降)過程中在振動源顆粒和接收顆粒之間形成了一個強力鏈有關.對比圖4(a)和圖4(b)可知,橫波衰減隨壓強變化的冪指數與縱波衰減隨壓強的變化的冪指數基本一致,說明縱波與橫波的衰減行為并無太大不同.

圖4 衰減系數隨壓強的依賴關系 (a)在1×10?4—0.2的壓強范圍內,橫波衰減系數隨壓強冪律減小αT～P?0.099,實線為冪律擬合曲線;(b)在1×10?4—0.2的壓強范圍內,縱波衰減系數隨壓強的冪律依賴αL～P?0.105,實線為冪律擬合曲線Fig.4.The pressure dependence of attenuation coeffi-cient,the line is a power law fit:(a)The power law decrease of attenuation coefficient of transversal acoustic αTwith the pressure P increasing from 1×10?4to 0.2,αT～P?0.099;(b)the power law decrease of attenuation coefficient of longitudinal acoustic αLwith pressure P increasing from 1×10?4to 0.2,αL～P?0.105.

3.4 非線性系數隨壓強的變化

顆粒材料是典型的非均勻系統,體系內部的弱接觸使得體系表現出強烈的非線性.由于系統非線性的影響,當用正弦信號激勵顆粒介質時,顆粒介質中聲波除了一階聲波外,還會出現二階甚至更高階的諧波.非線性系數（其中,A1是接收基頻振幅A2是接收二倍頻的振幅,v代表聲速,ω代表頻率)是一個表征非線性大小的重要參數,非線性系數越大,二次諧波成分越大,波形畸變越嚴重.為了研究壓強變化對系統非線性的影響,本文數值測量了2D顆粒體系橫波、縱波非線性系數隨壓強的變化,如圖5(a)和圖5(b)所示.由圖5(a)和圖5(b)可知,2D顆粒體系橫波、縱波二倍頻振幅與基頻振幅平方的比值均隨壓強呈分段關系:當P＜10?5時,橫縱波的不隨壓強變化;當P＞10?5時,橫波、縱波二倍頻振幅與基頻振幅平方的比值均隨壓強增大冪律減小:利用本文測得的可進一步得到橫波、縱波非線性系數隨壓強的冪律標度:當P＜10?4時,橫波非線性系數βT∝P?0.230,縱波則與壓強無明顯的依賴關系.當P＞10?4時,兩者均隨壓強增大呈冪律減小βT～P?0.703,βL～P?0.684.顆粒體系非線性系數隨壓強增加而減小可能與體系結構隨壓強調整有關,即隨著壓強的增加,顆粒間的接觸緊密,隨著接觸網絡的變化,非線性系數減小.值得注意的是,2D顆粒體系表現出與3D赫茲接觸顆粒體系[30]類似的非線性隨壓強的冪律衰減.但是,當P＞10?4時,2D體系的非線性系數隨壓強變化的冪指數的絕對值略大于3D體系β～P?0.51的冪指數.

需要強調的是,以單一顆粒激勵作為聲源可能會測量到力鏈效應.本文中測量到的vt(P)和vl(P)曲線以及與散射相關特征長度隨壓強變化曲線的分段標度很可能與卸載(整體壓強下降)過程中在振動源顆粒和接收顆粒之間形成了一個強力鏈有關.另外,由單粒子源輻射引起的擴散衰減的削減可能與在源顆粒和接收顆粒之間存在的多個衰減通路的統計平均有關.

圖5 (a)橫波非線性系數隨壓強的變化,在低壓強下βT～P?0.230,在高壓強下βT～P?0.703,實線為擬合曲線;(b)縱波非線性系數隨壓強的變化,在高壓強下βL～P?0.684;插圖為橫縱波的二倍頻振幅與基頻振幅平方的比值隨壓強P的變化關系,實線為擬合曲線Fig.5.(a)The pressure dependence of the nonlinear coeffcient of transverse wave,βT～P?0.230,at lower pressure,βT～P?0.703,at higher pressure,and the solid line is a power law fit;(b)the pressure dependence of the nonlinear coefficient of longitudinal wave,βL～P?0.684,at higher pressure.The inset is the ratio of the second harmonic amplitude of the transverse and longitudinal wave to the square of the fundamental frequency amplitudewith pressure P,and the line is a power law fit.

4 結 論

數值研究了在二維光滑圓盤顆粒體系中傳播過程的橫波、縱波的聲速、剪切模量與體積模量的比值G/B、聲衰減及非線性效應隨壓強的變化規律,得到如下結論.

1)2D顆粒體系中,橫波和縱波聲速隨壓強的變化均出現了分段現象,當P＜10?4時,橫縱波聲速均隨壓強的增大而減小,vt～P?0.446,vl～P?0.232;而當P＞10?4時,橫波、縱波聲速均隨壓強呈現冪律關系為vt～P0.202,vl～P0.338.由此可以得到2D圓盤顆粒體的G/B隨壓強P的變化關系G/B～P?0.502對應著L玻璃態.

2)2D顆粒體系中橫波和縱波衰減隨頻率的變化規律不同:對于橫縱波,在低頻率下,有α～f,暗示2D顆粒體系的橫縱向衰減主要是起因于阻尼導致的吸收衰減及少部分散射衰減.而在高頻率下,橫波經歷了αT～f到αT～f2的轉變,縱波經歷了αL～f到αL～f1.5的轉變.表明隨頻率的增加,橫縱波衰減中的散射衰減成分增加.

3)2D顆粒體系的聲衰減系數隨壓強也呈分段規律:當P＜10?4時,橫波、縱波聲衰減系數αT和αL幾乎都不隨壓強變化;當P＞10?4時,橫波、縱波聲衰減系數與壓強呈現冪律規律,αT～P?0.099,αL～P?0.105,進而得到2D顆粒體系散射相關的特征長度??隨壓強P的冪律關系:當P＜10?4時??～P?0.595;當P＞10?4時??～P0.236.

4)2D顆粒體系的橫波的非線性響應要略大于縱波,且橫波、縱波非線性系數隨壓強的變化也呈分段現象:當P＜10?4時,橫波非線性系數βT～P?0.230,βL不隨壓強變化;而當P＞10?4時,橫波、縱波非線性系數均隨壓強P的增加呈冪律減小,βT～P?0.703,βL～P?0.684.在高壓強下非線性系數的減小暗示高壓強下顆粒間的接觸緊密,沿強力鏈傳播的聲波產生了更少的非線性響應.

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[29]Wang P J,Xia J H,Li Y D,Liu C S 2007Phys.Rev.E76 041305

[30]Brunet T,Jia X,Johnson P A 2008Geophys.Res.Lett.35 L19308

Numerical study on acoustic behavior of two-dimensional granular system?

Liu Xiao-Yu1)Zhang Guo-Hua1)?Sun Qi-Cheng2)?Zhao Xue-Dan1)Liu Shang1)

1)(Department of Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China)
2)(State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

15 May 2017;revised manuscript

17 July 2017)

The transversal and longitudinal wave velocities,the acoustic attenuation coefficients,the nonlinear coefficients at different pressures and the acoustic attenuation coefficient as a function of frequency in a two-dimensional(2D)monodisperse disc system are numerically calculated.The results show that the transversal and longitudinal wave velocities both exhibit a piecewise power law with pressureP.WhenP＜10?4,the velocity decreases with the increase of pressure in the 2D disc granular system,and whenP＞10?4,the transversal wave velocityVtand longitudinal wave velocityVlshow the scaling power laws,i.e.,vt～P0.202andvl～P0.338,respectively.The ratio of the shear modulus to the bulk modulusG/Bshows a power law scaling with the pressure,G/B～P?0.502,implying that the system lies in an L glass state at low pressure,similar to that of a three-dimensional(3D)spherical granular system.The attenuation coefficients(αT,αL)of the horizontal excitation and vertical excitation also show the picecewise behaviors with the change of frequencyf.Whenf＜0.05,neither of the two attenuation coefficients changes with frequencyf.Whenf＞0.05,α∝fαT,αL∝f.And whenf＞0.35,αT∝f2andαL∝f1.5.In addition,the nonlinear coefficient and the attenuation coefficient of the 2D disc granular system under the vertical and horizontal excitation both also show a piecewise law behavior with pressure,similar to that of the acoustic velocity.WhenP＜10?4,only the transversal nonlinear coefficient changes according toβT∝P?0.230,while the other coefficient has no change.WhenP＞10?4,the attenuation coefficients and nonlinear coefficients decrease according to their power law with the increase of pressure,i.e.,βT∝P?0.703,βL∝P?0.684,αT∝P?0.099,αL∝P?0.105.The characteristic length??,which characterizes the disordered structure responsible for the scattering,also decreases according to power law with the increase of pressure,whenP＜10?4,?? ∝P?0.595;whenP＞10?4,?? ∝P0.236.

granular matter,acoustic velocity,nonlinear,acoustic attenuation

PACS:45.70.–n,46.40.Cd,43.40.+sDOI:10.7498/aps.66.234501

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11272048,11572178,91634202).

?Corresponding author.E-mail:zhguohua@sas.ustb.edu.cn

?Corresponding author.E-mail:qcsun@tsinghua.edu.cn

(2017年5月15日收到;2017年7月17日收到修改稿)

數值測量了卸載過程中二維單分散圓盤顆粒系統的橫波、縱波聲速、聲衰減系數、非線性系數隨壓強的變化以及聲衰減系數隨頻率的變化.結果表明,二維(2D)圓盤顆粒體系的橫波、縱波聲速均隨壓強呈分段冪律標度:當壓強P＜10?4時,橫波、縱波聲速隨壓強的增大而減小;當P＞10?4時,有vt～P0.202,vl～P0.338.進一步得到其剪切模量和體積模量的比值G/B也隨壓強呈冪律標度,G/B～P?0.502,暗示在低壓強下,與三維(3D)球形顆粒體系類似,2D圓盤顆粒體系也處于L玻璃態.水平激勵和垂直激勵下2D圓盤顆粒系統的衰減系數隨頻率變化也呈現分段行為:當頻率f＜0.05時,衰減系數不隨f變化;當f＞0.05時,橫波縱波的衰減系數α～f;當f＞0.35時,橫波衰減系數αT～f2,縱波衰減系數αL～f1.5.此外,豎直水平激勵下的2D圓盤顆粒系統的非線性系數和衰減系數隨壓強也呈現與聲速類似的分段規律:當P＜10?4時,橫波非線性系數βT～P?0.230,其余都不隨壓強變化.當P＞10?4時,兩者均隨壓強增大呈冪律減小:βT～P?0.703,βL～P?0.684,αT～P?0.099,αL～P?0.105.進而得到2D圓盤顆粒系統中散射相關的特征長度??隨壓強呈冪律標度,當P＜10?4時,??～P?0.595;當P＞10?4時,??～P0.236.

10.7498/aps.66.234501

?國家自然科學基金(批準號:11272048,11572178,91634202)資助的課題.

?通信作者.E-mail:zhguohua@sas.ustb.edu.cn

?通信作者.E-mail:qcsun@tsinghua.edu.cn