囚禁單離子的量子阻尼運動?

李金晴 羅云榮 海文華

(湖南師范大學物理系,低維量子結構與調控教育部重點實驗室,湖南省量子效應及其應用協同創新中心,長沙 410081)

囚禁單離子的量子阻尼運動?

李金晴 羅云榮 海文華?

(湖南師范大學物理系,低維量子結構與調控教育部重點實驗室,湖南省量子效應及其應用協同創新中心,長沙 410081)

囚禁離子,阻尼運動,非厄米哈密頓，存活概率

1 引 言

隨著激光冷卻、整形和操控技術的發展,控制囚禁離子的量子態已成為量子信息領域的研究主題之一[1?5].通過深入研究,人們發現囚禁離子在激光冷卻過程中會出現阻尼效應[6].根據阻尼產生的原因,人們嘗試用不同的方法來研究阻尼囚禁離子的經典和量子運動.在經典方面,對于囚禁在開放Paul阱中的單離子,其阻尼運動可以用含阻尼項的馬蒂厄方程來描述[7].而對于多離子相互作用系統,用阻尼非線性方程來描述加熱現象[8,9].Duffing方程也可以用于描述囚禁離子在激光作用下的經典非線性運動[10,11].在量子方面,對于阻尼諧振子的量子化,最初考慮的是用正則變換的方法來處理[12,13].后來,Akerman等[14]用含非線性阻尼項的 Duffing振子模型很好地描述了一個單囚禁離子在多普勒激光冷卻的非線性區域的穩定運動.對于量子跳躍和躍遷過程中產生的阻尼拉比振蕩[15,16],可以利用主方程進行處理[17,18],反饋冷卻[19]的阻尼問題也可利用主方程來解決[20].

開放量子系統常?？梢杂梅嵌蛎坠茴D量描述,它的復本征值不僅包含系統的能量,而且給出量子態的壽命[21].復的系統參數可以描述開放系統與外界環境交換過程中的耗散與增益[22,23]以及電子的產生和吸收[24]等現象.而PT對稱的非厄米量子諧振子的研究,為實驗觀測非厄米系統的相干態提供了可能[25].Song等[26,27]探索了PT對稱非厄米哈密頓量和相應的厄米哈密頓量之間的關系,他們發現的PT對稱非厄米緊束縛格子的任意實能量本征態與相應厄米系統的共振透射態相同.對于沒有PT對稱的非厄米Bose-Hubbard模型,可以選取不同的系統參數來控制對于相同參數不能共存的實能量本征態之間的量子躍遷和存在虛本征能量時的衰減態存活概率的衰減速率[28,29].大量研究工作說明,非厄米哈密頓系統具有重要的物理意義[30?35].

傳統量子力學原則上可以處理任何經典力學保守系統,引入非厄米哈密頓量后則可以處理任何經典力學阻尼系統[34].本文利用非厄米哈密頓量的性質,研究控制單囚禁離子的量子阻尼運動.通過對非厄米哈密頓系統進行求解,得到系統的能量本征值和相應的量子態,同時給出相應于不同態的參數區域和存活概率.當系統與外界的能量交換達到平衡時,得到實能量本征值及相應的定態,并且改變系統參數可得到不同的實能量本征值和定態.可以發現該非厄米系統外場參數能惟一確定量子穩定定態和影響波函數形態的新特征,據此提出非相干操控穩定定態之間量子躍遷的方法.當系統存在能量耗散時,得到了虛能量本征值及相應的衰減態.該情形下系統的存活概率和時間取決于能量本征值虛部的大小,從而可以通過調節系統參數來提高開放系統的存活概率.非厄米哈密頓量的位置期待值滿足的運動方程和經典諧振子阻尼運動方程在形式上具有一致性.因此,采用非厄米哈密頓量來描述有阻尼的囚禁離子運動是可行的,并且控制開放系統定態之間的量子躍遷對量子信息處理具有實際意義.

2 囚禁阻尼單離子非厄米哈密頓系統的精確量子態

考慮一個囚禁在Paul阱中的單離子系統,離子的運動方向沿x軸,且受到一個沿該方向的靜電場作用.考慮可用阻尼來描述的開放環境,其經典運動方程為熟知的阻尼諧振子方程[6,35]

式中λ(t)為偶極外電場項,可包含靜電場和交流場;ω為諧振子的角頻率;γ是經典阻尼系數.為了對該阻尼諧振子系統進行量子化,有研究者直接通過正則變換得到這個耗散系統的厄米哈密頓量[12,13],其中包含隨時間指數增長的項.通常指數增長的哈密頓量是非物理的,而量子力學中,可觀測量對應于厄米算符僅僅是一個充分條件而不是必要條件.因此,在λ(t)=λ(0)為時間無關的靜電場時,可以用如下非厄米哈密頓量來描述該耗散系統:

在方程(2)中,p為動量,B表示靜電場強度,A和C為量子非厄米項的耗散系數,它們都是無量綱的實數.為簡便計算,這里已采用自然單位進行無量綱化。同時,考慮耗散較弱的情形,即|A|≤1,|C|≤|B|.

定義“類定態”波函數ψn(x,t)=ψn(x)e?iEnt,可得非厄米哈密頓的本征方程

它的本征態和能量本征值分別為

其中Nn(A,B,C)為歸一化常數,Hn(αX)是自變量為αX的厄米多項式.注意到

將(5)式代入歸一化條件

得歸一化常數為

3 能譜與非厄米勢能參數區域

從(6)式中可以看到,能量本征值是復數.利用

(6)式可分解成實數部分和虛數部分,即

在一個開放系統中,量子系統與外部環境的能量交換是客觀存在的.能量虛部大于零可導致量子態ψn(x)e?iEnt隨時間指數增大,這在物理上是不被允許的[28,29].當系統的能量損失時,能量虛部小于零,量子態隨時間指數衰減,離子在環境中只有一定的存活壽命.當能量虛部為零時,這個非厄米系統和外界的能量交換達到一種平衡,量子態成為不衰減的穩定定態.考慮通常的弱阻尼運動,描述耗散作用的虛數項A的絕對值應小于1,并且C的絕對值不能大于B的絕對值.通過實驗調節靜電場強度B,可以控制量子態的衰減率.

3.1 PT對稱和不對稱情形不同的實能譜與穩定量子態

在(11)和(12)式中,能量實部和虛部都是系統參數A,B,C的函數.開放環境中能量虛部為零的穩定量子態是人們最為關注的,它們存在于PT對稱和不對稱兩種情況.例如,取A=B=0,C/=0時,非厄米哈密頓量(2)式顯然是PT對稱的,令(6)式中A=B=0,得能量本征值

也可選取合適的系統參數A,B,C使PT不對稱情形的能量虛部為零,即存在穩定量子態的條件為根據(14)式,可以分析參數A,B,C的取值與不同穩定態ψn(x)之間的關系.

在圖1(a)中,取B=2為例,繪出n=0,1,2時A與C之間的函數關系圖.由圖1(a)可見,能量虛部為零且虛勢能參數不為零時,不同穩定態對應于參數平面上不同的參數點,說明“厄米系統的一套外場參數允許存在不同定態的特征”對于該非厄米系統不再成立.取定A=0.5,圖1(b)給出穩定條件(14)下C與B的函數關系.圖中正方形、圓形和三角形分別表示在C=0.8處n=2,1,0態對應的不同B值.因此,利用“在一定條件下非厄米系統外場參數惟一確定量子穩定定態”的新特征,通過調節外場參數B可以控制系統在不同穩定態之間的量子躍遷.這種控制方法不同于通常的相干控制,被稱為非相干控制[28].

結合(5)式、(14)式和圖1,在穩定條件下,取A=B=0,C=0.3可繪出相應的PT對稱時定態的概率密度圖,如圖2(a)所示.取B=2,C=0.3,根據(14)式算出n=0,1,2時的A值分別為0.2702,0.2193,0.1851,相應的PT不對稱情形的定態概率密度如圖2(b)所示.從圖2可以發現一個有趣的現象,即該非厄米系統的某些定態波函數在有限區域沒有零點,這與相應厄米諧振子的波函數ψn具有n個零點的性質不同.由波函數在位形空間中全體零點組成的波節圖樣反映了波函數的形態特征,該特征是研究量子混沌的重要途徑之一[36].非厄米性導致波函數形態特征的變化,對量子混沌的研究有用.

圖1 在穩定條件Im[En]=0下(a)B=2情形,參數A和C之間的函數關系;(b)A=0.5情形,C與靜電場強度B之間的函數關系Fig.1.Under the stability condition Im[En]=0(a)for B=2 case the relation curves of parameters A and C;(b)for A=0.5 case parameter C as a function of the static field strength B.

圖2 幾個低激發定態的概率密度分布 (a)PT對稱情形,A=B=0,C=0.3;(b)PT不對稱情形,B=2,C=0.3,與n=0,1,2對應的A值由(14)式確定,分別為0.2702,0.2193,0.1851Fig.2.Probability density distributions of stationary states ψn(x),n=0,1,2 for(a)the PT symmetry case with parameters A=B=0,C=0.3,and(b)the PT asymmetry case for B=2,C=0.3,and A=0.2702,0.2193,0.1851 determined by Eq.(14).

3.2 PT不對稱情形的虛能譜與衰減的量子態

當能量本征值虛部小于零時,系統存在能量損耗.為了更系統地研究虛能量和參數的具體關系,根據(11)式和(12)式繪出基態(n=0)實能譜圖以及與之對應的虛能譜圖,如圖3所示,圖中的每組參數分別對應一條實線和一條虛線.在圖3(a)和圖3(b)中,給定其他參數,顯示能量實部和虛部為A的函數,其中(a)圖B=1,(b)圖B=2.兩圖中的粗實線和粗虛線分別表示C=0時的能量實部和虛部的函數圖像,而細實線和細虛線表示C=0.5時相應的函數圖像.同理,在圖3(c)和圖3(d)中,能量實部和虛部為C的函數,前者B=1,后者B=2.兩圖中的粗實線和粗虛線分別表示A=0時的能量實部和虛部,細實線和細虛線表示A=?0.5時的能量實部和虛部.圖3中的紅色圓點是坐標軸原點.可以求得圖3中不同參數對應的能量實部和虛部,例如,對于n=0,B=2,C=0.5,A分別取 0.1,0.2,0.4這三個值,相對應的能量虛部Im[En]分別為?0.7795,?0.5512,?0.1174;能量實部Re[En]分別為?1.1548,?1.4927,?1.45167. 圖3中,能量虛部存在零點.當零點位于坐標軸原點上時,A=C=0,系統哈密頓量是厄米的;當零點不在坐標軸原點上,會得到前文提及的PT對稱或不對稱時的穩定定態和實能量值.

對于不同系統初態的存活概率可定義為[37,38]

其中ψn(x,t)=ψn(x)e?iEnt是含時量子態,ψn(x,0)是歸一化的初態.從(15)式中可以看出,存活概率是時間的指數函數,能量虛部的大小直接影響系統存活概率的衰減速度.對于Im[En]＞0情形,系統的存活概率大于 1,并且隨時間增加趨向于無窮大,這在物理上是沒有意義的.在Im[En]=0情形,存活概率恒等于1,系統處于穩定定態.Im[En]＜0的參數區域相應于圖3中E0=0以下虛線上的參數,在取這些參數時,系統存活概率將隨時間衰減.對于任意初態,存活概率都將最終衰減至零.同時由圖3可見,對于同一A值,較大的|C|值對應于較大的負能量虛部的絕對值.對于同一C值,負能量虛部的絕對值與A的絕對值正相關.負能量虛部絕對值的增加可導致系統的耗散速率增加.因此,可以通過調節系統參數來改變能量虛部的大小,從而控制衰減態的存活概率的變化.為了分析虛能量負值的大小對存活概率衰減速度的影響,取A=0.4,0.2,0.1和C=0.5做出了衰減態ψ0(x,t)的存活概率隨時間的演化圖,如圖4所示.從對應于B=1的圖4(a)和對應于B=2的圖4(b)中可以看出,對于同一B值,虛能量的絕對值越大(A值越大),衰減態的存活概率隨時間衰減得更快.因此,可以通過調節系統參數來控制衰減態的衰減速度.

圖3 (網刊彩色)基態能量本征值E0的實部(實線)和虛部(虛線)與A或C之間的函數關系 (a)B=1,C=0,0.5,A為變量;(b)B=2,C=0,0.5,A為變量;(c)B=1,A=0,?0.5,C為變量;(d)B=2,A=0,?0.5,C為變量Fig.3.(color online)Real(solid lines)and imaginary(dashed lines)parts of ground-state eigenenergy E0as functions of A or C for(a)B=1,C=0,0.5,A changed;(b)B=2,C=0,0.5,A changed;(c)B=1,A=0,?0.5,C changed;(d)B=2,A=0,?0.5,C changed.

圖4 衰減態ψ0(x,t)的存活概率 (a)B=1和C=0.5;(b)B=2和C=0.5Fig.4.Survival probability of the decaying state ψ0(x,t)for(a)B=1 and C=0.5;(b)B=2 and C=0.5.

3.3 虛能量的參數區域

已經證明,不同系統參數對應于不同的虛能量,不同的虛能量則對應于不同的耗散性和衰減率.為了更全面地研究系統參數A,B,C對該耗散系統的描述,以B=2為例,分別就能級n=0,1,2做對應于不同能量虛部的參數區域圖,如圖5所示.圖中不同顏色代表不同的能量虛部值,據此可粗略看出:1)衰減所對應的能量虛部小于零的區域偏向各圖的左上方;2)能量虛部為零的參數靠近從參數點(A,C)=(?1,?1)附近出發的對角線;3)能量虛部大于零的區域偏向圖的右下方,相應于量子態不穩定地指數增長;4)最大能量虛部的區域和最小能量虛部的區域都隨量子數n增大而增大.根據這些參數區域,可以通過調節用于冷卻的激光和改變其他開放環境來粗略調節虛勢能參數A,C,達到一定程度上控制量子態的目的.

圖5 (網刊彩色) 靜電場強度B=2時,對應于不同能量虛部的參數區域 (a)n=0;(b)n=1;(c)n=2Fig.5.(color online)Parameter regions associated with the different imaginary parts of eigenenergies for B=2:(a)n=0;(b)n=1;(c)n=2.

4 衰減量子態與經典阻尼諧振子解的對應

已知阻尼囚禁離子的經典位移滿足阻尼諧振子方程(1),根據經典-量子對應原理和諧振子相干態的性質,處于相干疊加態的量子粒子的位置期待值應滿足與(1)同樣的方程.利用與量子態(5)相應的一般相干疊加態可得到位置期待值為

為計算簡單,取系統的量子態僅為基態和第一激發態的疊加

它滿足初始時刻的歸一化條件.將(17)式代入(16)式,積分可得到

利用三角函數關系,(18)式可化簡為

(18)式和(19)式中,

其中K0,K1,K2,K3,K4,K5,θ,ξ都為常數.然后,求位置期待值(19)式的一階和二階導數,消去常數K2,K3,K4,K5,θ,ξ,μ,可得阻尼諧振子方程

(21)式中

由此可見,經典阻尼運動方程和非厄米哈密頓量位置期待值的運動方程形式上是一樣的.

令(21)式與(1)式一致,得到如下關系:

正如所料,經典阻尼系數等于能量虛部之和的負值,從而量子阻尼運動的衰減與經典阻尼運動一致;經典振子的頻率ω則依賴兩能量實部之差和表示阻尼系數的能量虛部.利用(22)式,選取適當的參數A,B,C,使得K0=0和Im[E1]=0或者K1=0和Im[E0]=0,從而λ是一個和時間無關的常數,對應一個受到恒力影響的經典阻尼運動,其量子動力學由非厄米哈密頓量(2)式描述.這就嚴格證明,λ為常數的經典阻尼振子系統(1)的量子動力學確實可以由非厄米哈密頓量(2)來支配.

5 結 論

對于一個處于開放環境中的囚禁離子,在激光冷卻及與環境相互作用過程中產生的經典阻尼效應對量子動力學的影響可以用一個含有虛勢能的非厄米哈密頓來描述.考慮四極囚禁勢和偶極靜電場下的經典運動通常用諧振子模型來描述,我們用包含偶極和四極虛勢能項的非厄米哈密頓算符來描述該系統的量子阻尼運動.導出了該系統的精確本征態和本征能量,包含PT對稱和不對稱情形不同的實能譜與穩定量子態,以及PT不對稱情形的虛能譜和衰減量子態.發現該非厄米系統外場參數可以惟一確定量子穩定定態并導致波函數形態變化等新特征,同時給出相應于不同態的參數區域和存活概率,據此提出非相干操控相應量子躍遷的方法.證實該非厄米系統中離子的位置期待值滿足的運動方程和經典阻尼諧振子運動方程形式上的一致性,得到偶極和四極虛勢能參數與經典阻尼參數的對應關系.所得結果將進一步豐富具有廣泛應用背景的囚禁離子動力學,其中控制開放系統穩定定態之間量子躍遷的方法對量子信息處理可能具有實際意義.

根據得到的穩定定態對靜電場強度B的依賴關系以及對應于不同能量虛部的參數區域,可以通過調節靜電場強度來提高開放系統的存活概率以及實現穩定定態之間的量子躍遷.同時,用于冷卻的激光和離子所處的開放環境也可粗略調節,這等價于調節虛勢能參數A,C,通過這種調節也可達到一定程度上控制量子態的目的.本結果可以方便地推廣到周期驅動的囚禁離子系統[39?43],該推廣僅需讓非厄米哈密頓(2)式中的偶極或四極勢能參數中包含時間的周期函數,其中含時偶極勢對應于方程(1)中的λ(t)項.

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Quantum damping motion of a single trapped ion?

Li Jin-Qing Luo Yun-Rong Hai Wen-Hua?

(Synergetic Innovation Center for Quantum Effects and Applications of Hunan Province,Key Laboratory of Low-dimensional Quantum Structures and Quantum Control of Ministry of Education,Department of Physics,Hunan Normal University,Changsha 410081,China)

26 August 2017;revised manuscript

13 September 2017)

Classical motion of a single damped ion con fined in a Paul trap is usually described by a damped harmonic oscillator model.We report the treatment of quantum damping motion of the system via a non-Hermitian Hamiltonian with dipole and quadrupole imaginary potential.By deriving and analyzing the exact solution of the system,we obtain the different real energy spectra and stable quantum states for the PT symmetry and asymmetry cases,as well as the imaginary spectrum and decaying quantum state for the PT asymmetry case.The corresponding imaginary energy parameter region and the survival probability are investigated.We find that the non-Hermitian system parameters of the external filed uniquely determine the quantum stable states and lead to the new characteristic of the morphology of wave function.Based on these properties,we propose a method of incoherently manipulating quantum transitions between the quantum stable states.By setting the decayed expectation value of ion position to be the same as the decayed displacement of the classical damped harmonic oscillator,we obtain the correspondence between the imaginary potential strength and the classical damping parameters.The results will enrich the quantum dynamics of the damped trapped ions,which may be useful in a wide application field.

trapped ion,damped harmonic oscillator,non-Hermitian Hamiltonian,survival probability

PACS:37.10.Ty,46.40.Ff,03.65.—wDOI:10.7498/aps.66.233701

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11475060),the Hunan Provincial Innovation Foundation for Postgraduate and Graduate Degree Thesis,China(Grant No.CX2017B222),and the Hunan Provincial Natural Science Foundation of China(Grant No.2017JJ3208).

?Corresponding author.E-mail:whhai2005@aliyun.com

(2017年8月26日收到;2017年9月13日收到修改稿)

用包含偶極和四極虛勢能項的非厄米哈密頓算符來描述Paul阱中囚禁阻尼單離子在靜電場下的量子運動.通過導出和分析系統的精確解,得到在PT對稱和不對稱情形下的不同實能譜與穩定量子態,以及PT不對稱情形的虛能譜和衰減量子態,同時給出相應于不同態的參數區域和存活概率.結果發現該非厄米系統外場參數能惟一確定量子穩定態并導致波函數形態變化,據此提出非相干操控相應量子躍遷的方法.讓量子態衰減導致的離子位置期待值的衰減與經典阻尼諧振子的衰減一致,得到虛勢能參數與經典阻尼參數的對應關系.所得結果將進一步豐富具有廣泛應用背景的囚禁離子動力學.

10.7498/aps.66.233701?國家自然科學基金(批準號：11475060)、湖南省研究生科研創新項目(批準號：CX2017B222)和湖南省自然科學基金(批準號：2017JJ3208)資助的課題.

?通信作者.E-mail:whhai2005@aliyun.com