一個新的三角形面積公式

曹嘉興

(浙江省開化縣第二中學(xué) 324300)

已知△ABC的三邊長a、b、c求其面積△有我國南宋時期著名數(shù)學(xué)家秦九韶(1202—1261)在《數(shù)書九章》(1247)中提出的三斜求積公式：

以及古希臘著名數(shù)學(xué)家海倫(Heron,約公元1世紀(jì))在《測量學(xué)》(Metrica)一書中提出的公式：

證明設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，

推論如圖1, 在△ABC中，它的內(nèi)切圓⊙O與各邊AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，設(shè)AD·DB=x，BE·EC=y，CF·FA=z，則△ABC的面積為

圖1

容易驗證本文給出的三角形面積公式與海倫公式也是等價的.事實上，

本文給出的三角形面積公式同樣具有結(jié)構(gòu)對稱的形式，因此顯得優(yōu)美. 在一些場合還能簡化計算(或證明)的過程，現(xiàn)舉兩例說明.

例1(Finsler―Hadwiger不等式)設(shè)△ABC的各邊長分別為a、b、c，它的面積為△，則

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時等號成立.

(p-a)(p-b)=x，(p-b)(p-c)=y，

(p-c)(p-a)=z，

則a2-(b-c)2=4y，b2-(c-a)2=4z，

所以原不等式等價于

[a2-(b-c)2]+[b2-(c-a)2]+[c2-(a-b)2]

?(x+y+z)2≥3(xy+yz+zx)

?x2+y2+z2≥xy+yz+zx

最后的一個不等式顯然成立,故原不等式成立.

由最后的不等式不難看出當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z，也就是p-a=p-b=p-c,即a=b=c時等號成立，故當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時等號成立.

例2(Goldner不等式)設(shè)△ABC的各邊長分別為a、b、c，它的面積為△，則a4+b4+c4≥16△2，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時等號成立.

(p-a)(p-b)=x，(p-b)(p-c)=y，

(p-c)(p-a)=z，

所以a4≥16(p-b)2(p-c)2=16y2，

同理可得b4≥16z2，c4≥16x2.

所以a4+b4+c4≥16(x2+y2+z2)

≥16(xy+yz+zx)=16△2.

由上述證明過程不難看出當(dāng)且僅當(dāng)p-a=p-b=p-c,即a=b=c時等號成立，故當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時等號成立.