數學問題解答

2017年11月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2391凸四邊形A1A2A3A4在直線l同一側，A1A3與A2A4是凸四邊形的兩條對角線，△A2A3A4,△A1A3A4,△A1A2A4及△A1A2A3的面積分別是S1,S2,S3,S4.Ai至直線l的距離為di(i=1,2,3,4),則d1S1+d3S3=d2S2+d4S4.

(江蘇如皋市教師進修學校 徐道 226500)

證明設A1→A2→A3→A4→Ai逆時針排列，Ai(xi,yi),yi>0,i=1,2,3,4,直線l的方程為y=0.

考察行列式

由于D第一列與第三列對應元素相等，故D=0.

又由行列式的性質

yl=di(i=1,2,3,4).

故d1S1-d2S2+d3S3-d4S4=0,結論獲證.

2392如圖，PAB、PCD分別是⊙O的兩條割線，交⊙O于點A、B、C、D，AD與BC相交于點Q.若點M、N分別滿足四邊形MAQC，四邊形NBQD都是平行四邊形.證明:P、M、N三點共線.

(重慶市合川太和中學 袁安全 401555)

證明如圖所示.

連接AC、BD、PQ、PM、PN.

則BN=QD,AM=QC.

易知△PAC∽△PDB，

①

又易知△QAC∽△QBD，

②

由①,②得

又易得∠PBN=∠PBD+∠DBN

=∠PCA+∠ACB=∠PCQ.

于是△PBN∽△PCQ,

故∠BPN=∠CPQ.

又由①，②可得

而∠PAM=∠PBC=∠ADC=∠PDQ,

從而△PAM∽△PDQ,

進而∠APM=∠DPQ.

于是∠BPN=∠CPQ=∠DPQ=∠APM.

故P、M、N三點共線.

(浙江溫州市區馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000)

解n可唯一地表為n=3rb，其中r，b∈N+，(3 ,b)=1. 我們來證明以下兩個結論：

證對r施行數學歸納法.

r=1時，由1k+2k≡2?0 ( mod 3 )知結論成立；

假定r=d時結論成立；

今證r=d+1時結論也成立. 對此用反證法.

如果存在正偶數m，使得

(1)

變換(1)的左端和式得

(2)

用二項式定理展開(2)的右端并注意到：

“正整數u≥2?3d+1| 3du(特別地有

3d+1| 3dm)”之后，

對(2)取模3d+1得

由此和(1)并根據同余式的性質推出

而這與歸納法假定矛盾！這就證明了結論對于r=d+1也成立 . 命題A得證 .

證b=1時，命題B即命題A.

以下設b>1. 用反證法. 如果存在正偶數m，使得

(3)

另一方面，對等式

由此和(3)以及“( 3 ,b)=1?( 3r,b)=1”

這與命題A矛盾！故命題B獲證.

由B即知，不存在滿足題述條件的正偶數.

注奇數n(n>1 )不是3的倍數，則

2394在等邊三角形ABC中，D為邊BC的中點，P為線段BD上異于端點的一點，延長線段AP交該三角形的外接圓于點Q，延長線段QD交AQ的垂直平分線MN于點M,證明：

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

證明如圖……