淺談大地坐標系應變張量表達及其與地心直角坐標系的相互轉換

李孟飛

摘要：大地坐標系應變張量表達與地心直角坐標系之間可以通過矩陣的方式完成相互轉換。本文對大地坐標系應變張量表達進行了簡單概述，并且在此基礎上重點分析了正交曲線坐標系的普適表達推導過程以及大地坐標系應變張量表達與地心直角坐標系之間的轉換問題，旨在為關注這一領域的人士提供一些可行性較高參考意見，推動我國相關領域的發展與完善。

關鍵詞：大地坐標系；應變張量；地心直角坐標系；正交曲線坐標系

引言：

隨著我國國民經濟的發展以及人民生活水平的提高，社會各界對于我國地質勘探與地形測繪工作，特別是大地坐標系在其中的應用關注程度越來越高。在地球物理學以及大地測量當中，計算由質點位移引起的地表應變和地表某點的空間位置變化都會應用到坐標系。因此，如何在此種環境背景下完成大地坐標系應變張量表達與地心直角坐標系之間的轉換工作，是相關領域工作人員的研究重點之一。

一、大地坐標系應變張量表達

設定點M為地面上的某一個定點，并且將這一點的坐標設定為θ、L與h，分別用于表示這一點的大地緯度、大地經度和距離地面的高度。則點M（θ，L，h）的位置向量可以用以下的公式進行表達，即：

等式中的R1為點M在橢球面與曲線法線之間交點的半徑，可以用以下公式進行表達，即：

等式中的a和b分別是大地坐標系當中的旋轉橢球的長半徑與短半徑，可以用以下公式進行表達，即：

二、大地坐標系應變張量表達與地心直角坐標系的轉換

（一）正交曲線坐標系的普適表達推導過程

將正交曲線坐標系參考面作為推導研究的基礎，在正交曲線當中選定任意一點P，以點P的坐標（q1，q2，q3）可以對曲線的坐標進行定義，將點P的前兩個坐標q1，q2作為這點到參考面法線投影在面上的曲線坐標，這一點到參考面法線之間的距離設為q3，這樣一來，點P的三個坐標分別形成了一個相互正交的三維立體網絡，這一點形成的局部直角坐標系在歐式空間當中會與某個連通域Ω笛卡爾直角坐標系相互連接[1]。變量xi是由連續可微、雙方單值且可逆的變換聯系進行定義。因為變量xi對應Ω當中的某一點，所以對不同坐標變量之間的逆向和正向兩種形式的變換矩陣需要通過雅可比行列式進行求導，即

det[T]ij=det（axi/aqi）≠0

det[T-1]ij=det（aqi/axj）≠0

與之對應的變換矩陣具有互逆性，因此可以得到

（aqi/axk）×（axk/aqj）=aqi/aqj

當等式中的i=j，那么等式的結果為1，若i≠j，那么等式的結果為0。

考慮到正交曲線坐標系的特性，在變換矩陣當中，雅可比行列式不為0，所以曲線坐標與笛卡爾坐標之間的坐標變換矩陣列向量不平行且正交。

（二）大地坐標系應變張量表達與地心直角坐標矩陣轉換

在利用GPS觀察技術和地質觀測資料對地殼的應變形式進行分析的過程中，通常情況下選擇的坐標系為大地坐標系或者是地心直角坐標系當中的一種，實現應變張量的分析。應用應變張量的矩陣轉換公式，可以將其中一種坐標系所得出的結果轉化成為另一種坐標系當中的數值，從而避免了二次測繪計算的麻煩。不用重新在另外一種坐標系當中進行張量計算，還可以降低測繪結果的誤差，獲得更加準確的坐標系地殼應變信息。作為一種空間直角坐標系，地心直角坐標系的曲線是彼此相交的正交曲線，與相比，雖然大地坐標系的坐標曲線也是彼此相交的正交曲線，但是大地坐標系是一個旋轉的橢球參考面，二者都是正交曲線的坐標系，具有正交曲線坐標系活動標架彼此正交的特性。

在對二者之間的相互轉換過程進行研究時，筆者經過對礦山測量與地籍測繪的結果進行分析，設定在某處監測站作為地心直角坐標系的原點，得出設置該監測站在旋轉橢球的坐標系當中局部標架應變張量函數為τ，再將新坐標系同舊坐標系之中應變張量矩陣進行轉換，便可以得出相應的結果。設置點M處建立的直角坐標系為單位固定標架，因此點M的單位向量左邊之間也是相互正交狀態。因為地心直角坐標系是直角坐標系當中的一種，大地坐標系是旋轉橢球坐標系當中的一種，所以地心直角坐標系與大地坐標系之間的相互轉換可以視為是直角坐標系與旋轉橢球坐標系之間的轉換。在某橢球體當中嵌入框架為地心直角坐標系的三維空間，并且將橢球體的球心點O與地心直角坐標系的原點相互重合，X1軸置于橢球起始子午面內部，球心的自轉軸與X3軸相互重合，根據轉換的原則，可以通過計算得出大地坐標系當中的點M在地心橢球面上的坐標標架表達式，再帶入到地心直角坐標系框架當中進行轉換，由此可以得出大地坐標系應變張量在地心直角坐標系當中參考面應變張量。

經過計算分析可以了解到，大地坐標系與地心直角坐標系當中相同位置的同一個點應變張量矩陣所給出的在該點地殼應變活動同坐標系之間不發生任何關系。結合我國某地區GPS數據，以當地某處進行大地坐標系應變張量與地心直角坐標系進行相互轉換為例，設定某處參考點為N，用L表示其大地經度，用大地余緯數值作為坐標轉換時的參數，將其帶入前文當中的轉換矩陣當中可以得出這一點經過轉換之后在地心直角坐標系當中所對應的位置，同時還可以確定該點應變張量是一個同所選擇坐標系不發生關系的不變量[2]。

總結：

綜上所述，作為常用的坐標系，大地坐標系與地心直角坐標系都在GPS地殼形變分析當中發揮了重要的作用。GPS觀測技術可以在監控地殼運動時，提出不同的參考框架。借助地心直角坐標系應變張量，在正交曲線坐標系基礎上，能使用最簡潔的方法推導出正交曲線坐標系應變張量表達式。推導出不同正交曲線坐標系應變張量表達式，能夠作為地殼分析工作當中的參考數據，。

參考文獻：

[1]王晶晶.流形的張量測量及其在工程應變測量中的應用[D].河南理工大學，2015.

[2]尚建奎.淺談2000國家大地坐標系的啟用[J].地球，2016（6）.endprint