柔性相似子結構的參數失調與振動控制研究

羅亞軍， 徐明龍， 張 帥， 張希農

(西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

柔性相似子結構的參數失調與振動控制研究

羅亞軍， 徐明龍， 張 帥， 張希農

(西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

典型柔性相似結構的耦合動力學建模與參數失調下系統的振動控制問題對航天結構設計具有重要意義。基于拉格朗日法和最小二乘法，完成了系統的耦合動力學建模和響應解耦處理，并進一步建立了柔性相似結構參數失調情況下的振動主動控制模型。最后完成了相關仿真分析，研究了結構參數失調情況下的系統模態局部化問題，振動控制仿真結果表明本文提出的基于響應解耦實現參數失調情況下系統的振動控制具有顯著效果。

柔性相似結構；參數失調；模態局部化；振動控制

航天器通常由桁架、梁、板、殼等結構簡單組成在一起，隨著科學技術的發展，航空航天工程中出現了許多前所未有的大型柔性對稱附件結構，如大展翼太陽能帆板[1]、大口徑衛星天線[2]、大型桁架等撓性子結構、具有較大幾何尺寸的宇航空間站構件等。這些附件通常都是理想化的完全對稱周期結構，但是實際生產制造過程中由于材料缺陷、制造誤差、使用過程中的磨損等因素，造成了周期性結構的子結構并不完全對稱的現象，理論及實驗研究均表明，這種并不完全對稱造成的參數失調對大型天線等弱耦合周期結構的動力學特性產生比較大的影響，可能使結構出現模態局部化現象[3-5]。楊智春等[6-7]開展了大型飛機尾翼中T尾結構的模態局部化判據研究，以及模態局部化對飛機T尾結構顫振特性的影響。蘇繼龍等[8]也對飛機機翼這類弱耦鏡像對稱工程結構的模態局部化度的結構參數表征進行了判據研究。通常，模態局部化會導致能量的不均勻分布，如果能量高度集中在系統的局部位置可能會導致整體結構的破壞[9]。李鳳明等[10]還對典型周期結構因失諧引起的結構模態局部化問題研究進行了綜述，并提出了振動局部化理論如何在振動控制中應用等展望分析。

航天工程的柔性相似結構中，在參數失調情況下耦合動力學系統出現危害性的振動能量轉換，從而引起振動危害，這需要通過解耦和控制來解決該問題。當前在多自由度振動理論分析中，耦合動力學方程中常表現為動力學矩陣的非對角線元素出現非零值，這類方程不方便直接求解，而常常需要通過坐標轉換使得非對角線元素化為零值，實現模型的解耦才能方便求解[11]。在耦合動力學系統的解耦和控制方面同樣可以借鑒該思路。劉相秋等[12]還提出一種預測控制方法，針對失諧前后的星載天線結構進行了振動控制仿真研究，控制效果較好，且相比LQR控制方法無需加激振。

柔性相似結構模型中如果出現參數失調，耦合系統的主體姿態運動將因模態局部化問題出現多階模態頻率耦合的現象。對于該問題，一方面應該對具有模態耦合的姿態運動振動信號進行解耦分析，另一方面應該完成對不需要的模態響應進行控制。本文將基于最小二乘法實現姿態響應信號的解耦，并基于解耦信號進行姿態運動的振動控制。

1 典型柔性相似結構的建模

1.1 模型介紹

如圖1是一個典型的柔性相似結構模型，其由一個航天器中心剛體加柔性附件構成，附件被模型化成固接于中心剛體的懸臂梁，坐標系X0Y選取在固連于中心剛體的質心位置，附件分別位于正負X軸。附件長度均為L，附件彎曲剛度分別是EI1，EI2，質量線密度分別是m1、m2，附件在坐標系內沿著Y方向有橫向位移，分別為w1(x,t)，w2(x,t)，中心剛體的轉動慣量為I0，姿態角為θ。

1.2 耦合動力學建模與理論求解

通常，航天器中心剛體存在姿態轉動，而兩個相似柔性附件將同時因中心剛體的姿態轉動而存在剛體運動，其次本身還存在彈性彎曲振動。因此系統是一個典型的剛-柔耦合動力學系統，一般可利用拉格朗日法建立其動力學方程。

圖1 典型的柔性相似結構模型Fig.1 Typical flexible similar structure

首先分析系統的動能T，它由中心剛體、附件1和附件2三個部分的動能組成，即：

(1)

兩個附件各自的動能分別是由中心剛體姿態運動引起的剛體動能和本身的振動引起的動能之和，這也是當前系統剛柔耦合特性的主要存在根源。系統勢能也由三個部分組成，即：

(2)

由于柔性附件的質量輕，與中心剛體相比可以忽略不計，所以不考慮其耗散能。而中心剛體本身常被施加阻尼性質的控制項，因此系統的耗散能來源于中心剛體，即：

(3)

將附件的彈性位移展開為廣義坐標的形式為：w1(x,t)=φ1q1,w2(x,t)=φ2q2，且每個附件僅考慮其一階局部模態的影響，q1和q2分別為兩附件的廣義坐標，φ1和φ2為懸臂梁的一階振型，進一步便可以寫出廣義坐標下的T，V，D。由拉格朗日方程，可得

(4)

式中，qj表示θ、q1和q2三個自由度，能量表達式對三個自由度分別求導并整理可得系統的動力學方程：

(5)

式中，

(6)

C=diag(cθ,0,0)

(7)

(8)

由模態分析可以得到系統的主振型Φ，進行坐標變換，有模態坐標表達的方程為

(9)

式中，Mp=ΦTMΦ，Cp=ΦTCΦ，Kp=ΦTKΦ。設系統的初始條件為q0，則主坐標下的初始條件為

(10)

(11)

式中，

ξi=Cpi/(2ωiMpi)

(12)

系統在主坐標下的響應為

ηi(t)=e-ξiωit[ηi(0)cosωdit+

(13)

式中，ωdi是第i階阻尼固有頻率：

(14)

若初始條件中廣義速度為零，則

(15)

所以，阻尼耦合系統的物理坐標下的響應為

q=Φ{η1η2η3}T

(16)

1.3 參數失調模型的響應信號解耦與振動控制

耦合系統主坐標的理論解為

(17)

如果令

(18)

則姿態轉角響應θ的擬合信號可以表示為

(19)

式中:ξi，ωi可由θ(t)的幅頻響應分析求出，而系數b11、b12和b13按理論描述均為系統的特征參數，可以通過最小二乘法擬合獲得，從而實現姿態信號的解耦。通過對姿態信號的解耦，可以分離出來非姿態模態信號，即第2、3階頻率信息。則可以設計振動控制算法，設法抑制該兩階頻率信息。

設u0(t)為分離出來的僅含一階模態信息的分離信號，即

u0(t)=b11f(ξ1,ωd1)=b11e-ξiωit[cosωdit+

(20)

則有轉角信號中的干擾信號為

u(t)=θ(t)-u0(t)

(21)

如果以干擾信號作為反饋源信號，并采樣比例速度負反饋控制律設計方法，則有控制系統方程為

(22)

2 數值仿真

2.1 模態數值分析

設仿真模型的參數如下：m1=m2=0.03 kg/m，I0=1 000 kg·m2，L=10 m，kθ=500 N·m/rad，cθ=50 N·s/rad，EI1=EI2=15 N/m。表1給出了柔性附件2中彎曲剛度EI2出現剛度失調時的系統固有頻率結果。

圖2給出耦合系統的模態振型圖。可發現耦合系統前三階模態振型依次分別為姿態振型、同向模態振型和反向模態振型。

2.2 系統參數失調數值仿真分析

下面開展系統振動響應分析，仿真時系統具有非零初始位移條件。圖3為耦合系統無失調時的仿真分析結果，圖中分別給出轉角和兩個柔性附件的廣義位移響應，以及系統總體動能變化的時域曲線。從圖中可以看到耦合系統的姿態響應在阻尼效果下在200 s內衰減趨于0，之后為兩個柔性附件的穩態振動，系統的總能量趨于穩定，且系統的總能量主要為兩個柔性附件的振動能量。

表1 柔性附件2中彎曲剛度參數失調時耦合系統的固有頻率Tab.1 Natural frequency of coupling system withdetuned parameter (EI2)

圖2 柔性相似結構的模態振型圖Fig.2 Modal shapes of flexible similar structure

圖3 無參數失調時系統的響應曲線Fig.3 Response curves without parameter detuning

圖4進一步給出了耦合系統三個廣義位移的幅頻曲線，從該圖可以發現轉角響應中僅含一階頻率信息，且阻尼效果顯著，姿態響應幅值譜峰值位置因阻尼的存在而非常平緩。而兩個柔性附件的振動響應幅值譜曲線相同，幅值譜曲線均在0.125 1 Hz達到1.456 m的峰值。

圖4 無參數失調時系統的響應幅值譜曲線Fig.4 Response spectrum curves without parameter detuning

圖5給出了柔性附件2的彎曲剛度EI2出現2%失調時的仿真結果，圖6給出了相應的幅值譜仿真結果。圖5顯示參數失調后姿態運動經歷初始的大幅衰減后呈現小幅的持續振蕩。兩個柔性附件的廣義位移也不再一致，而出現了顯著差異，即發生模態局部化現象。系統的總能量曲線也不再趨于穩定，而是持續的減少。

圖5 參數失調時系統的響應曲線Fig.5 Response curves with parameter detuning

在圖6所示的幅值譜曲線中，姿態運動在0.125 7 Hz位置出現了一個大小為0.761 4×10-3rad的峰值，而兩個柔性附件在該頻率位置處的峰值大小分別為0.486 5 m和0.390 2 m。

2.3 解耦與控制仿真分析

下面圖7給出了2%的彎曲剛度失調率時，姿態運動和兩個柔性附件廣義位移的振動信號解耦誤差結果，注意仿真中實際信號考慮為基于理論響應分析獲得的理論解。很顯然，基于最小二乘法的振動信號解耦方法非常有效。

圖8給出了柔性附件2的彎曲剛度2%失調時，姿態運動響應的解耦控制效果與控制力矩信號。控制仿真中取反饋控制增益系數為-5 500，很顯然加上控制力矩后，姿態運動的穩定性獲得了顯著增強，穩定階段轉角響應由控制前的2.541×10-3rad下降到0.505×10-3rad，控制效果達80.1%。圖9給出了柔性附件2的彎曲剛度2%失調時解耦控制幅值譜效果，也可以發現控制系統中姿態響應中的第2、3階頻率信息(干擾信號)被有效地抑制了，轉角幅值譜曲線在0.125 7 Hz處的峰值控制效果達95.0%。很顯然，當前提出的基于振動信號解耦方法的姿態干擾信號抑制方法非常有效，且僅對調姿激勵進行設計，無外加激勵影響。

圖6 參數失調時系統的響應幅值譜曲線Fig.6 Response spectrum curves with parameter detuning

圖7 柔性附件2的彎曲剛度2%失調時響應信號解耦誤差

Fig.7 Decouple errors of response when bending stiffness of flexible appendage (2) is with 2% detuning

圖8 參數失調時解耦控制效果與控制力矩信號

Fig.8 Control effect and control moment of decouple system with parameter detuning

圖9 參數失調時解耦控制幅值譜效果

Fig.9 Amplitude spectrums of non-control and control decouple system with parameter detuning

3 結 論

本文建立了典型柔性相似結構的動力學耦合模型，并開展了結構參數失調情況下的系統局部模態化研究。并進一步通過對系統的振動響應理論解形式的分析和基于最小二乘法，給出了耦合系統中振動響應信號的解耦方法，仿真發現該系統可實現高精度的信號解耦分析。同時，基于比例速度負反饋控制律設計，實現了參數失調時姿態運動響應的振動控制。

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Vibrationcontrolofflexiblesimilarstructureswithdetunedparameters

LUO Yajun, XU Minglong, ZHANG Shuai, ZHANG Xinong

(State Key Lab for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049)

Coupled dynamic modeling and vibration control of flexible similar structures with detuned parameters are important for designing aerospace structures. The coupled dynamic model of a system was established with Lagrange method and its responses were decoupled based on the least square method. Furthermore, the active vibration control model was built and simulated to study the suppression of unstable responses of flexible similar structures with detuned parameters. Finally, the system modal localization caused by detuned parameters was simulated and analyzed. According to vibration control simulation results, it was indicated that the proposed active vibration control method for flexible similar structures with detuned parameters based on their decoupled responses is effective.

flexible similar structure; detuned parameters; modal localization; vibration control

國家自然科學基金項目(11572240)

2016-07-12 修改稿收到日期：2016-09-19

羅亞軍 男，博士，講師，1980年3月生

0327；V414.9

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.003