基于多目標粒子群算法的稀疏分解參數優化

王 強, 張培林, 王懷光, 張云強, 李一寧

(軍械工程學院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

基于多目標粒子群算法的稀疏分解參數優化

王 強, 張培林, 王懷光, 張云強, 李一寧

(軍械工程學院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

針對振動信號稀疏分解過程中存在的復雜參數設置問題，提出利用多目標粒子群算法進行稀疏分解參數優化，以實現振動信號的有效壓縮。根據多目標粒子群理論，建立稀疏分解參數優化模型，確定粒子群優化目標函數、待優化參數，分析參數設置與目標函數之間的泛函關系。設計仿真實驗，研究數據壓縮指標之間的約束關系，指導多目標粒子群算法參數優化，改善數據壓縮效果。應用實測數據，驗證多目標粒子群算法的參數優化能力，實驗結果表明：多目標粒子群算法能夠優化振動信號稀疏分解參數，取得良好的振動信號數據壓縮效果。

振動信號；稀疏分解；多目標粒子群算法；參數優化；數據壓縮

Mallat等[1]首次提出稀疏分解算法，經過不斷發展與完善，它能夠將信號在過完備冗余字典上展開，實現信號的稀疏表示，在機械故障診斷[2]、特征辨識[3]、降噪[4]、壓縮[5]等領域應用廣泛。

機電設備的振動信號中包含著大量設備狀態信息，因此作為機電設備狀態監測以及故障診斷的依據[6]，應用在機電設備的狀態監測系統中，但是在實時遠程監測過程中，產生的振動信號數據量龐大，給信號的傳輸帶來了巨大困難。稀疏分解算法能夠將信號進行稀疏表示，有效降低信號的冗余信息，實現振動信號的有效壓縮，解決狀態監測振動信號的傳輸問題。稀疏分解算法參數選擇在很大程度上影響了稀疏表示性能，影響數據壓縮效果。現階段，稀疏分解算法的參數設置主要依賴于經驗值，參數復雜多樣，取值范圍廣，因此依賴經驗獲得的參數值可能不是最優值。

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)通過模擬鳥群捕食的行為，建立優化模型，優化粒子位置信息。該算法利用速度、位置等概念實現優化的功能，概念簡單，容易實現[7]。為此本文引入粒子群算法解決上述稀疏表示參數優化問題，優化稀疏表示參數設置，改善稀疏表示性能，提高振動信號壓縮效果。

1 基于稀疏表示的數據壓縮

1.1 振動信號稀疏表示模型

振動信號的稀疏表示主要包含兩方面的內容，即冗余字典設計和稀疏分解算法。將振動信號在冗余字典下進行稀疏分解，得到信號的稀疏表示，其數學模型[8]可以描述為如下形式：

(1)

式中：x為振動信號；x∈Rn；D為冗余字典；G為稀疏系數；ε為最大容許誤差。‖G‖0表示求解G的0范數，即G中非零系數的個數。

振動信號為高頻采樣的復雜信號，信號數據間相關性不明顯，這就給振動信號的稀疏表示帶來很大困難。冗余的字典設計方法能夠改善字典對振動信號的稀疏表示效果，冗余字典的更新過程采用K-SVD算法[8]，K-SVD利用原始振動信號構造訓練樣本，能夠通過自適應的學習訓練獲得與原始信號相適應的冗余字典，因此很大程度上保證了冗余字典的稀疏表示效果。

振動信號的稀疏分解采用正交匹配追蹤算法[9](Orthogonal Matching Pursuit，OMP)，正交匹配追蹤由Pati提出，利用迭代的方式得到信號在冗余字典下的稀疏表示系數。在迭代過程中，通過保留每次迭代的最佳字典原子，構成用于稀疏分解的字典原子集合，從而保證了字典集合與殘差信號的正交性，因此迭代過程能夠在有限的次數內完成，收斂速度快。

振動信號稀疏表示后。通過存儲稀疏表示系數、冗余字典、以及系數中的標志位信息，能夠大大壓縮原始振動信號的數據量，同時包含了完整重構原始振動信號的信息，有效實現對原始振動信號的數據壓縮。

1.2 稀疏分解參數研究

基于稀疏表示的數據壓縮算法中涉及的參數之間相互影響，共同作用于數據壓縮效果，同時數據壓縮效果指標多樣，因此在數據壓縮參數優化過程中存在較大困難。

利用稀疏分解算法實現信號的數據壓縮過程中涉及的參數主要包括K-SVD冗余字典個數M、最大容許誤差ε、訓練樣本容量K、訓練字典過程中的迭代次數n。

(2)

n1=m×M+S0+S1

(3)

式中：m為原始振動信號分割長度；S0為稀疏表示后信號的稀疏度；S1為標志位數據量。

式(1)中，最大容許誤差ε直接影響稀疏分解系數gi以及稀疏分解后稀疏度S0的大小，最大容許誤差ε公式為

(4)

式中：sima為噪聲標準差；k為誤差系數，對于指定信號，可以利用k的取值表征ε大小，在小容許誤差條件下，稀疏分解過程中迭代次數增加，稀疏度增加，運算時間變長。

訓練樣本容量K為整數，與冗余字典之間相互影響，一方面在K-SVD字典學習訓練過程中，K影響到D的訓練效果，另一方面，K與冗余字典個數之間存在如下不等關系：

K≥M

(5)

字典訓練過程中需要多次迭代以保證字典對原始信號的適應性要求。迭代次數通常為大于0的整數，迭代次數的大小直接影響冗余字典的訓練效果以及運算時間。

2 振動信號稀疏表示參數優化

2.1 多目標粒子群算法

粒子群優化算法是模擬生物群體而產生的智能優化算法，其操作簡單，容易實現，準確度高，在解決實際問題中優勢明顯。

粒子群中的每個粒子具有位置、速度以及適應度三個屬性，位置信息中包含了待優化參數的可行取值，速度信息表征了粒子位置的變化趨勢，適應度表征在不同位置上的粒子優劣程度。粒子群算法的核心是速度以及位置的優化更新，更新過程迭代進行，模擬了生物群體捕食的過程，其公式[10]可以表達為

vi+1=w×vi+c1×r1×(pbesti-pi)+

c2×r2×(gbesti-pi)

(6)

pi+1=pi+vi+1

(7)

式中：w為慣性權值，其大小影響了粒子飛行的慣性；c1、c2為加速常數，分別影響了局部和全局加速度的大小；r1、r2為0～1之間的隨機數，產生局部加速度與全局加速度的融合效果；pbesti為局部最優適應度的位置信息，是單個粒子個體歷史最優位置；pi為當前粒子的位置信息；gbesti為全局最優適應度的位置信息，是當前粒子群中的最優位置。求得粒子的飛行速度vi+1后，即可獲得迭代后粒子的位置。

Coello等[11]提出多目標粒子群算法(Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO)是粒子群算法的推廣，用于解決多個目標函數條件下的參數優化問題，在多目標粒子群中，適應度不再是單一數值，而是包含多個目標函數值的數組，因此會出現不同粒子的優劣無法明確的情況。對于全局最優粒子，MOPSO采用了網格法來確定多個非劣粒子全局領導者，引導粒子群的飛行方向。網格法將目標函數值的取值范圍進行均勻的網格劃分，根據單個網格中粒子的疏密程度確定領導者，網格中粒子越多，則粒子被選擇的概率越小，因此在比較稀疏的網格中，粒子被選擇的概率較大。對于局部最優粒子，在存在多個非劣粒子的情況下隨機選取一個作為局部最優。

2.2 稀疏表示參數優化模型

(1)確定目標函數

數據壓縮過程中，數據壓縮效果評價指標主要包括重構峰值信噪比PSNR、壓縮比CR、運算復雜度t。其中PSNR和CR計算方式如下：

(8)

(9)

(10)

(2)多目標粒子群優化流程

粒子群中每個粒子的位置由所有的待優化參數構成，即冗余字典個數M、誤差系數k、訓練樣本容量K、訓練字典過程中的迭代次數n，因此設計pi(Mi、ki、Ki、ni)。

每個粒子的適應度由峰值信噪比PSNR、壓縮比CR、運算時間t構成，優化過后，輸出當前粒子以及每次迭代過程中產生的所有非劣粒子位置、適應度。非劣粒子由每次迭代過程中的當前粒子產生，當出現粒子的多個目標函數值僅部分劣于任意一個粒子的情況時，粒子被認定為非劣粒子。

基于多目標粒子群優化的稀疏表示參數優化過程，如圖1所示。

2.3 仿真信號分析

為檢驗多目標粒子群算法對振動信號稀疏表示參數優化效果，設定仿真信號進行分析。

y=y1+y2

(11)

式中：y1仿真機械設備振動信號，信號中包含兩個特征頻率：32 Hz、90 Hz。其表達式為

y1=sin(2×π×32×t)+

sin(2×π×90×t)

(12)

y2為高斯白噪聲，仿真振動信號中的噪聲，其標準差為0.5。仿真信號的采樣頻率為1 024 Hz，采樣點數為6 400，信號分割長度為16，仿真信號如圖2所示。

圖1 稀疏表示參數優化流程Fig.1 The flow chart of parameter optimization for sparse representation

圖2 仿真信號時域圖Fig.2 Simulatied signal in time domain

設定粒子群粒子容量為100，最高迭代次數為50，慣性權值為0.3，并隨著迭代次數的增加而逐漸降低，c1=1、c2=2。設定待優化參數取值范圍：冗余字典個數M在20～50之間取整數值，誤差系數k位1～3之間的任意數值，字典訓練迭代次數在1～20之間變化，訓練樣本容量M≤K≤100。應用多目標粒子群算法對參數進行優化，圖3為當前粒子群以及累積的非劣粒子適應度分布圖。

從圖3中可以看出，經過迭代后，粒子群中的粒子穩定在特定范圍內飛行，累積非劣粒子群描繪出粒子群收斂效果，結果表明：① 峰值信噪比與壓縮比之間存在明顯約束關系。② 粒子群的非劣集合集中與空間曲面當中，空間曲面與z坐標平行，表明算法復雜度與峰值信噪比、壓縮比之間沒有約束關系。

設定目標函數為峰值信噪比與壓縮比，進一步研究峰值信噪比與壓縮比之間的約束關系，其他參數設置不變，圖4為粒子分布效果。

(a)迭代1次

(b)迭代25次

(c)迭代50次圖3 三目標函數粒子分布Fig.3 Particle distribution with three objects

(a)迭代1次

(b)迭代25次

(c)迭代50次圖4 雙目標函數粒子分布Fig.4 Particle distribution with double objects

經過迭代后，粒子群集中在曲線附近，累積非禮粒子描繪結果表明，峰值信噪比與壓縮比之間存在限制關系，即隨著峰值信噪比的提高，壓縮比在不斷下降，并且在不同信噪比階段內，下降的幅度不同，針對仿真信號，從圖中可以發現信噪比低于23.97 db時，曲線斜率較大，在23.97～24.51 db附近時較為適宜，此時隨著信噪比的提高，壓縮比降低較為緩慢，信噪比在24.51～39.50 db時，隨著信噪比的提高，壓縮比下降速度變快，當信噪比超過39.51 db時，隨著信噪比的提高，壓縮比迅速降低。

非劣粒子群在空間集合生成的曲面與z坐標軸平行，表明pi中存在部分參數在變化過程中，壓縮比、信噪比趨于穩定，運算時間卻顯著增加，為此對pi中各參數對目標函數的影響效果進行進一步研究。pi中各參數逐個進行分析，待分析參數在其變化范圍內均勻取值，其他參數固定在中值。為同時比較峰值信噪比PSNR、壓縮比CR、運算時間t的變化趨勢，對以上三個指標進行歸一化處理，計算過程中采用多次試驗取平均值得方法排除誤差干擾，試驗次數為10次，結果如圖5所示。

結果表明：在給定范圍、控制其他參數不變的條件下，字典個數M增加會不斷提高信噪比，降低壓縮比，同時運算時間也隨之增加；誤差系數k的影響效果與之相反，隨著k的增加，信噪比降低，壓縮比提高，運算時間不短縮短；從圖中可以看出，隨著訓練樣本K的增加，壓縮比迅速提高，并達到穩定，信噪比迅速提高后，緩慢提高，趨于穩定，而運算時間呈現出不斷上升趨勢；樣本訓練迭代次數n的影響效果與訓練樣本類似，當n達到一定數值后，信噪比與壓縮比不再變化，運算時間卻不斷增加。因此在滿足一定信噪比以及壓縮比的條件下，可以通過控制訓練樣本數K以及樣本訓練迭代次數n來有效降低運算時間。

圖5 各參數分析

Fig.5 Analysis on every parameter

為比較多目標粒子群對稀疏表示參數的優化結果，在峰值信噪比21～22、31～32、38～39之間各選取一個非劣粒子與普通粒子作對比，比較數據壓縮效果，如表1所示。

表1 壓縮效果對比Tab.1 Compression effect comparison

從表1中可以看出，非劣粒子在壓縮效果上互有優劣，無法選出較優者，普通粒子的壓縮效果存在三個指標都劣于某一非劣粒子的情況，因此經過粒子群優化的非劣粒子的參數設置更為合理，在不同的壓縮條件要求下，能夠取得最佳的參數組合，達到最佳的壓縮效果。

3 實測信號驗證與分析

為進一步檢驗多目標粒子群算法對振動信號稀疏表示的參數優化能力，運用實測數據對算法進行驗證并對實驗結果進行分析。實測數據引用文獻[12]齒輪箱信號。實測信號的采樣頻率為6 400 Hz，采樣點數為6 400，按照信號分割長度16構造訓練矩陣，參數變化范圍不變。實測信號時域特征，如圖6所示。

圖6 實測信號時域圖Fig.6 Measured signal in time domain

對實測信號應用多目標粒子群算法進行參數優化，記錄下當前粒子群在飛行搜索過程中發現的非劣粒子，飛行迭代次數為50，粒子群容量為100，c1，c2，w值與仿真信號相同。

圖7為實測信號三目標函數以及雙目標函數迭代后的粒子分布圖，從圖中可以看出實測信號的粒子分布規律與仿真信號相吻合，(a)圖中空間曲面與z坐標軸平行(b)圖中，在峰值信噪比較低時，曲線斜率大，壓縮比下降較快，在信噪比高于43 db時，斜率緩慢降低，隨著信噪比的降低，壓縮比下降速度變緩。

(a) 三目標函數

(b) 雙目標函數圖7 實測信號粒子分布Fig.7 Particle distribution of measured signal

在信噪比滿足43～46之間的粒子中各選取一個非劣粒子與普通粒子作對比，圖7為兩種參數設置下信號的重構效果圖，圖8為重構信號對比。

(a)非劣粒子 M=29，k=2.6745，K=81，n=12

(b)普通粒子 M=44，k=3，K=92，n=17圖8 重構信號對比Fig.8 Comparison of restricted signal

實測數據結果驗證了多目標粒子群算法對振動信號稀疏表示參數的優化能力，實驗結果表明，經過粒子群優化的參數設置能夠獲得良好的數據壓縮效果，同時降低運算時間，在實際應用過程中，可以根據不同的數據壓縮效果要求，依據粒子群算法的優化結果，優化稀疏表示參數，改善數據壓縮效果。

4 結 論

引入多目標粒子群智能優化算法，對機械設備振動信號稀疏分解過程中的多個參數同時進行優化，從而達到良好的振動信號數據壓縮效果；設計仿真實驗，分析了振動信號數據壓縮指標之間的約束關系，為參數優化提供指導；應用實測數據驗證算法的實際應用效果，結果表明，多目標粒子群算法提供的優化參數能夠獲得良好的數據壓縮效果。

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Parametricoptimizationofsparsedecompositionbasedonmulti-objectiveparticleswarmoptimizationalgorithm

WANG Qiang, ZHANG Peilin, WANG Huaiguang, ZHANG Yunqiang, LI Yining

(Department of Vehicles and Electrical Engineering, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Aiming at complex parameter setting in sparse decomposition process of vibration signals, the multi-objective particle swarm optimization algorithm was put forward for parameter optimization of sparse decomposition to realize effective compression of vibration signals. According to the multi-objective particle swarm theory, a model was established to determine objective function for the particle swarm optimization algorithm and parameters to be optimized, and the functional relation among parameters and the objective function was analyzed. A simulation test was designed to study constraint relations among indexes for data compression, guide the parameter optimization of the multi-objective particle swarm optimization algorithm, and improve the effects of data compression. The measured data were used to verify the parameter optimization ability of the multi-objective particle swarm optimization algorithm. The test results showed that the multi-objective particle swarm optimization algorithm can be used to optimize parameters for sparse decomposition of vibration signals, and get the good effects of data compression of vibration signals.

vibration signal； sparse decomposition； multi-objective particle swarm optimization algorithm； parameter optimization； data compression

國家自然基金(E51305454)

2016-05-10 修改稿收到日期：2016-10-11

王強 男，碩士生，1992年7月生

張培林 男，教授，博士生導師，1955年12月生

TH17

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.008