面向微小衛星的類桿錐式軟對接三維動力學建模與參數分析

戚 杰， 張 翔， 趙 勇， 黃奕勇

(國防科技大學 航天科學與工程學院，長沙 410073)

面向微小衛星的類桿錐式軟對接三維動力學建模與參數分析

戚 杰， 張 翔， 趙 勇， 黃奕勇

(國防科技大學 航天科學與工程學院，長沙 410073)

針對面向自主無人在軌服務的微小型航天器上使用的桿錐式對接機構，提出了一種在對接桿末端加緩沖系統的軟對接方案。基于Lagrange方法建立了對接系統的三維動力學模型，并運用虛功原理求解廣義力矩陣；接觸點的確定采用接觸搜索算法，提出了截面法，將三維空間搜索問題轉化為二維平面求解；根據接觸點的相對位置和速度關系，提出了三維空間中求解切向接觸力的方法。 并且通過有限元方法與理論模型相比較，對理論模型進行了驗證。通過對捕獲鎖的簡化設計，制定了對接系統捕獲的評判準則，并在不同的緩沖性能下進行動力學仿真分析，探討緩沖參數變化對微小衛星對接過程的影響，提出了緩沖參數的優選方法，為錐桿式對接機構的緩沖系統設計提供有價值的參考。

桿錐式對接機構；三維動力學；Lagrange方法；接觸搜索算法；截面法

自20世紀60年代首次實現空間交會對接以來[1]，空間交會對接技術得到了迅猛發展，迄今為止，人類已成功進行了300多次的交會對接任務[2]。隨著小型化、無人化空間飛行器的快速發展，針對面向微小衛星的自主對接機構逐漸引起了各國的關注。美國、意大利、日本相繼開展了演示驗證研究，主要項目包括美國密歇根宇航公司的AMDS[3-4]、意大利的ARCADE[5-6]、美國軌道快車對接捕獲系統OECS[7-9]、日本的MS-DS 納衛星對接系統[10-11]、哈工大類桿錐式對接機構[12]等項目。其中，意大利帕多瓦大學空間研究中心(CISAS)于2013年開發出微小衛星桿錐式對接實驗系統(ARCADE)，該系統是基于桿錐式的，主要采用彈性阻尼系統來緩沖接觸過程中的接觸力，并在平流層開展了空間微重力實驗，該實驗驗證了對接實驗系統的可行性和可靠性，但是在文獻中沒有深入的理論建模部分，也沒有對彈簧阻尼器的緩沖性能進行理論分析；哈爾濱工業大學設計出的類桿錐式對接機構具有重量輕、可靠性高及對接范圍大的優點，在完成緩沖、初始偏差補償、捕獲、姿態校正、剛性連接等對接任務的同時，能夠提供較大對接平面，滿足接口布局要求，容易建立電氣、電液連接，適合在軌服務使用。本文主要面向微小衛星軟對接需求，提出了一種帶彈簧阻尼緩沖系統的桿錐式對接方案，并運用Lagrange方法與接觸搜索算法建立系統的三維動力學模型。

Lagrange分析力學方法對研究系統動力學響應具有明顯的優勢，運用廣義經典力學中的廣義Lagrange 函數、廣義坐標和廣義力等概念，可以推導出力學系統的能量函數，為力學系統能量函數的推廣和進一步應用提供了一種途徑[13]。基于分析力學的Lagrange方法的已經在很多領域得到了研究[14]，但在對接系統中研究較少。在接觸問題的研究中，現在主要采用有限元方法[15]，把實體結構(網格劃分為二維單元或三維單元)相互接觸的兩個表面稱為主表面(其上的節點稱為主節點)和從表面(其上的節點稱為從節點)，在每一計算的時間步長內，檢查從(主)節點是否穿越主(從)表面，如果沒有穿越則對該節點不作處理；如有穿越，則對該節點與相應的表面進行處理。但是這樣的搜索算法將耗費大量的時間[16]，接觸搜索占總計算時間的比例最高可達60%～80%[17]，而且網格劃分的方式對求解精度的影響十分顯著。

本文主要面向微小衛星桿錐式對接過程，基于Lagrange分析力學理論，提出了一種帶有緩沖裝置的類桿錐式對接系統三維動力學建模方法。在接觸碰撞過程中，根據桿錐式對接自身的特點，采用截面法，將三維搜索問題轉化為二維平面問題進行求解，大大縮短搜索了時間。接著利用Hertz接觸碰撞理論，確定法向碰撞力的大小和方向，同時，根據接觸點的相對位置和速度關系，求解切向接觸力的大小和方向。通過虛功原理，計算緩沖力、碰撞力的廣義力矩陣，從而構建出對接系統動力學方程。模型的求解采用四階Runge-Kutta法，在不同的對接條件和不同的模型參數下，進行仿真分析，探討模型參數變化對微小衛星對接過程的影響情況。通過參數分析，提出了緩沖參數的優選方法。

1 基于Lagrange方法的三維動力學模型

1.1 問題描述

類桿錐式對接機構主要包括分別安裝于主動和被動對接飛行器上的主動對接機構及被動對接機構兩部分，對接過程分為捕獲、緩沖校正、拉緊這幾個階段，其中捕獲過程的動力學特性最為復雜，也是本文研究的重點。

為了改善對接機構的緩沖性能，在課題組原有地面樣機的基礎上，設計出新型的帶緩沖裝置的對接機構，如圖1所示。主動對接機構由對接球頭、緩沖阻尼器、對接桿筒、噴氣氣缸等部件組成，緩沖裝置安裝于對接球頭末端。

圖1 主動對接機構緩沖系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of buffer system of active docking mechanism

對接球頭與滑動活塞相連，滑動活塞另一端與緩沖彈簧相連，當對接球頭受到碰撞時，滑動活塞沿阻尼器內壁向后滑動，即可實現緩沖；與緩沖阻尼器相連的是對接桿筒，解鎖頂針可沿其內壁滑動，當加注完成后，往噴氣氣缸里注入高壓氣體，接著在氣壓的作用下，解鎖頂針向前滑動，直至頂針頭部撞擊捕獲鎖，實現解鎖。

捕獲鎖的設計如圖2所示，從圖2(a)中可以看出，當對接球頭到達捕獲區域后，與凸輪捕獲鎖相碰撞，凸輪逆時針轉動，推動滑塊向后運動，在彈簧作用下，推動滑塊運動到另一個卡口區域，實現鎖緊，如圖2(b)所示。

(a) 捕獲前

(b) 捕獲后圖2 捕獲鎖工作原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of capture lock

為了方便建模，這里對對接機構進行了簡化，如圖3所示。緩沖裝置簡化為一自由度彈簧，捕獲鎖簡化為捕獲滑塊。

當追蹤星與目標星在一定的位置姿態偏差的條件下，追蹤星以一定的初始速度相對于目標星沿主動對接方向運動。此時相對距離不斷減小，對接球頭開始與接納錐發生碰撞，經緩沖后，球頭沿著接納錐內壁滑入捕獲區域，與捕獲滑塊發生碰撞，當捕獲滑塊的行程達到一定數值后，則實現了對球頭的捕獲。

圖3 對接機構簡化示意圖Fig.3 Schematic diagram of docking mechanism

1.2 三維動力學建模

1.2.1 模型假設

為研究方便且不失一般性，首先需要對整個對接系統進行適當簡化。

(1) 在對接過程中主動航天器、被動航天器、主動對接機構和被動接納錐的小變形忽略不計，視為剛體，主要考慮緩沖裝置的變形；

(2) 對接捕獲過程中接觸碰撞為點——點接觸碰撞；

(3) 主動對接機構和主動航天器之間由一組緩沖阻尼器相連，主動對接機構可以相對于主動航天器沿軸向運動，不考慮緩沖系統的質量慣量特性，僅考慮其彈性阻尼特性；

(4) 捕獲鎖簡化為捕獲滑塊，捕獲滑塊通過彈簧與目標星連接，可以沿目標星軸向運動，主動對接機構通過撞擊捕獲滑塊，實現捕獲；

(5) 主動航天器和被動航天器在空間環境下均可實現六自由度運動。簡化后得到機構動力學關系如圖4所示。

1.2.2 坐標系的建立以及廣義坐標的選取

空間對接過程涉及到追蹤星、目標星以及主動對接機構之間的相對運動，為描述它們之間的相對位置和姿態信息，需定義合適的坐標系。坐標系的定義如圖4所示。

在追蹤星上建立體坐標系b1，原點O1選在追蹤星的質心上，X1軸指向主動對接方向，Y1軸和Z1軸分別構成右手系。在目標星上建立體坐標系b2，原點O2選在目標星的質心上，X2軸指向主動對接方向，Y2軸和Z2軸分別構成右手系。

慣性坐標系到體坐標系的向量變換按照321的轉序進行，俯仰角為Ψ，偏航角為θ，自旋角為φ。

圖4 對接系統示意圖Fig.4 Schematic diagram of docking system

1.2.3 系統動能

根據剛體的動能公式，剛體的動能等于剛體質心的平動動能與繞質心的轉動動能之和。所以系統動能的矢量表達式為

(1)

根據矢量關系：

(2)

(3)

所以：

(4)

(5)

將式(4)、(5)代入式(1)得系統動能的廣義坐標表達式：

(6)

式中：x02為被動航天器質心到捕獲滑塊末端的長度，lc2為捕獲滑塊質心的位置。各部分參數如圖4所示。

1.2.4 系統動力學方程

根據Lagrange方程[18]：

(7)

式中：qi為各個自由度；Qqi為各個自由度方向上的廣義力。

將式(6)代入式(7)，那么桿錐式對接機構三維動力學方程為

(8)

M和D見附錄

1.3 廣義力矩陣求解

1.3.1 緩沖力的廣義力矩陣

根據虛構原理，緩沖力的虛功為

(9)

式中：k1,c1分別為緩沖裝置的剛度系數和阻尼系數；k2,c2分別為捕獲滑塊的剛度系數和阻尼系數。

所以緩沖力的廣義力為

Qh=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

(10)

1.3.2 接觸力的廣義力矩陣

(1)法向接觸力的廣義力矩陣

圖5 法向接觸力示意圖Fig.5 Schematic diagram of normal contact force δW法向接觸力=Nδ球頭-Nδ錐點=

(11)

(12)

轉化為慣性系下有：

(13)

(14)

(15)

(2)切向接觸力的廣義力矩陣

(16)

2 接觸算法

2.1 接觸點確定

在捕獲過程中，對接球頭與接納錐內壁發生接觸，由于球頭和接納錐均在三維空間中運動，在三維空間搜索接觸點是比較困難的。本文采用截面法，把空間接觸點搜索問題轉化到二維平面進行求解。

對于球頭來說，球面上任意一點均可以由過球心的平面截得；對與接納錐來說，錐為回轉體，錐內壁面上的任意一點均可以由過回轉軸線的平面截得。當球頭與接納錐內壁發生碰撞時，球面上的接觸點與錐內壁面上的接觸點重合，那么這個碰撞點可以由球心與回轉軸線所確定的平面截得。根據Herz接觸碰撞理論，球頭與接納錐發生碰撞時，將發生相互侵入，已知某一時刻，該截面所顯示的相對位置關系，如圖6所示。

圖6 碰撞點截面示意圖Fig.6 Schematic diagram of section of collision point

此時球頭上的碰撞點是點C，接納錐上的碰撞點是點B，以b2坐標系為計算坐標系，已知對接球頭球心坐標A=[xA,yA,zA]T，球頭半徑為R，錐角為α，目標星質心到接納錐頂點的距離為l2。又有截面過球心，所以截得的圓為球的大圓，圓點為A，把BA延長至與回轉軸相交于點Q，過點A作回轉軸的垂線，與回轉軸交于點P，與接納錐內壁相交于點A′，那么根據幾何位置關系：

P=[xA,0,0]T

求出點C的坐標后，即可判斷C點有無侵入。

那么，

如果C點有侵入，那么侵入深度

那么此時球頭和接納錐上的碰撞點分別為

2.2 接觸力的求解

2.2.1 法向接觸力求解

(17)

(18)

圖7 彈簧阻尼模型示意圖Fig.7 Schematic diagram of spring-damper model

當δ≥0時，對接球頭與對接錐面之間處于接觸碰撞階段，其法向接觸力FN為

FN=Fk+Fd

(19)

式中：Fk為接觸過程中的彈簧恢復力；Fd為接觸過程中的阻尼力。

彈簧恢復力Fk由Hertz接觸理論[19]確定：

(20)

式中：K為接觸剛度；K值一般與接觸體的幾何形狀和材料有關：

應用Hertz模型對本套機構接觸碰撞力進行計算，模型中考慮了碰撞過程中存在能量消耗，并認為能量損耗由材料阻尼引起，那么基于Hunt Crossley[20]阻尼模型，阻尼力的計算公式為

(21)

碰撞力的方向與過接觸點的法線向量方向一致：

(22)

2.2.2 切向接觸力求解

圖8 切向接觸力方向示意圖Fig.8 Schematic diagram of direction of tangential contact force

(23)

3 模型求解與分析

3.1 模型參數

對接桿和接納錐的基本幾何參數設計如表1所示。

表1 對接桿和接納錐的基本幾何參數表Tab.1 The basic geometric parameters table ofDocking probe and Receiving cone

對接機構質量屬性如表2所示。

表2 對接機構質量屬性表Tab.2 The quality attribute table of Docking mechanism

3.2 模型驗證

本文為了驗證上述所建三維模型的正確性，采用有限元方法對理論模型進行驗證，通過有限元商業軟件ABAQUS，對對接捕獲過程進行模擬。兩星的軸向偏差為0.04 m，初速度為0.1 m/s，相對姿態角和姿態角速度均為0，在緩沖參數K1=1×105N/m,C1=1×103N·s/m的情況下，對接觸力、質心速度、緩沖裝置行程和捕獲距離的時間歷程曲線進行比對。

圖9中，(a)為接觸力時間歷程曲線，接觸過程是一個極為復雜的過程，在接觸力的求解過程中，理論模型和有限元方法運用的求解方法不一樣，所以導致接觸力不能完全匹配得上，但是二者所求得的接觸力的趨勢是相近的，從而證明了理論模型的合理性。

(a) 接觸力

(b) X軸向速度

(c) 緩沖彈簧行程

(d) 捕獲距離圖9 理論模型與有限元方法對比圖Fig.9 Theoretical Model and Finite Element Method comparison chart

圖9(b)、(c)、(d)分別為質心速度(X方向)、緩沖裝置行程和球心距捕獲中心距離的時間歷程曲線，在圖中可以看出，在1.38 s時刻發生碰撞，導致了對接系統的運動狀態發生改變。理論模型所計算的曲線和有限元方法計算的曲線吻合得比較好，充分顯示了理論模型的合理性。

3.3 結果與分析

為了研究緩沖參數對對接系統捕獲性能的影響，本文主要對緩沖系統的剛度系數進行分析。表3為對接系統的初始條件。

表3 對接初始條件表Tab.3 The docking initial condition table

捕獲成功的評價準則為：

(1)對接球頭進入捕獲區域，球心與捕獲中心在主動對接方向上的距離小于等于0。

(2)對接球頭撞擊捕獲鎖，使得捕獲鎖的行程大于5 mm。

表4給出了不同的剛度系數，在阻尼值C1=100 N·s/m的條件下進行仿真分析。

表4 剛度系數表Tab.4 The stiffness coefficient table

結果中，T表示對接球頭與捕獲鎖發生碰撞，并且撞開捕獲鎖順利進入捕獲區域；N表示對接球頭與捕獲鎖發生了接觸，但是沒能撞開捕獲鎖；F表示對接球頭沒有與捕獲鎖接觸，捕獲失敗。通過采用表3種不同的剛度系數，求解出桿和錐首次碰撞的碰撞力時間歷程曲線，如圖10所示。

根據圖10碰撞力時間歷程曲線可以看出，一次碰撞由許多小的碰撞峰值組成，每次小的碰撞持續的時間很短，在毫秒量級。在不同的剛度系數下，除第一個峰值的值比較接近以外，其余的峰值則表明，剛度越小，碰撞力越小，這說明緩沖裝置的緩沖效果是顯著的。當K1=500時，可以實現成功捕獲，較大的剛度系數使得機構得不到足夠的緩沖而使捕獲失敗。

圖10 接觸力時間歷程曲線Fig.10 Time history curve of contact force

圖11反映了球心距捕獲中心距離隨時間變化的曲線，當K1=500時，在T=0.6 s時刻，距離達到最小值0，實現了成功捕獲。當K1=2 000和K1=5 000時，最小距離均大于0，并在該距離后逐漸增大，這表明球頭距捕獲中心越來越遠，捕獲失敗。

圖11 球心距捕獲中心的距離(沿主動對接方向)時間歷程曲線

Fig.11 Time history curve of the distance of globe center from the center of captureing(along the direction of the active docking)

圖12給出了追蹤星和目標星質心速度隨時間變化的曲線，對接過程中，對接桿和接納錐每次接觸時，追蹤星質心沿主動對接方向速度逐漸減小，目標星質心沿主動對接方向速度逐漸增大；每次接觸結束后，追蹤星和目標星質心沿主動對接方向的速度保持恒定。當K1=500時，在T=0.6 s時刻實現捕獲，此時追蹤星質心速度大于目標星質心速度，兩星不斷靠近；當K1=2 000和K1=5 000時，兩星質心速度呈交替變化后，目標星質心速度大于追蹤星質心速度，兩星呈不斷分離，捕獲失敗。

圖12 質心速度(沿主動對接方向)時間歷程曲線

Fig.12 Time history curve of centroid speed(along the direction of the active docking)

4 結 論

(1) 本文以面向微小衛星在軌服務的桿錐式對接機構設計為背景，提出了一種在對接桿末端加軸向緩沖裝置的軟對接方案，并將捕獲滑塊引入到對接系統中，把捕獲滑塊的行程作為判斷捕獲成敗的準則之一。基于Lagrange分析力學方法，建立了系統的三維動力學模型，并根據虛功原理，確定緩沖力、法向接觸力、切向接觸力的廣義力矩陣；在接觸搜索算法中，通過截面法將接觸點的搜索范圍從三維空間減小到二維平面，大大提高的搜索效率；運用Hertz接觸理論，對法向接觸力進行求解；根據接觸點的相對位置和相對運動關系，提出了切向接觸力的求解方法。

(2) 運用有限元商用軟件(ABAQUS)建立了對接系統的有限元模型，通過計算對接過程中的接觸力、X軸向速度、緩沖彈簧行程以及捕獲距離的時間歷程曲線，與理論模型作對比，驗證了理論模型的正確性。

(3) 對緩沖系統的剛度系數進行了分析，提出了緩沖參數的優選方法。通過選取不同的剛度值，對接觸力、球心距捕獲中心的距離、質心速度進行了分析。結果表明，緩沖系統對對接系統動力學特性的影響十分顯著，合適的彈簧剛度系數的選取能有效提升對接系統的捕獲能力。

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Three-dimensionaldynamicmodelingandparametricanalysisforquasiprobe-conesoftdockingusedinminiaturesatellites

QI Jie, ZHANG Xiang, ZHAO Yong, HUANG Yiyong

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Aiming at probe-cone docking mechanisms used in miniature spacecrafts for unmanned autonomous on-orbit service, a soft docking scheme of adding a buffer system at the end of the rod butt was proposed. A three-dimensional dynamic model for the docking system was built based on Lagrange method, the principle of virtual work was used to solve the generalized force matrix. The contact search algorithm was utilized to determine contact point positions, the section method was employed to convert a three-dimensional space search problem into a two-dimensional planar solution. According to relative position and relative speed of contact points, a method was proposed to solve a tangential contact force in a three-dimensional space. Moreover, the theoretical model was verified through comparing the results of the finite element method with those of this model. Assessment criteria of docking system capture were established through the simplified design of capture lock. Dynamic simulation analyses were performed under different cushioning characteristics. The influence of changes of buffer parameters on docking process of micro-satellites was analyzed, the optimization method for buffer parameters was proposed to provide a valuable reference for the buffer system design of a probe-cone docking mechanism.

probe-cone docking mechanism; three-dimensional dynamics; Lagrange method; contact search algorithm; section method

國家自然科學基金(91216201；51205403；11404405)

2016-05-26 修改稿收到日期：2016-09-05

戚杰 男，碩士生，1992年生

趙勇 男，博士，教授，碩士生導師，1977年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.010