橫向磁場中旋變運動導電圓板的參強聯合共振

李 哲， 胡宇達

(1. 燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

橫向磁場中旋變運動導電圓板的參強聯合共振

李 哲1,2， 胡宇達1,2

(1. 燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

研究變速旋轉圓板的非線性磁彈性參強聯合振動問題。給出旋轉圓板在磁場中的磁彈性振動方程，應用伽遼金法離散變量，得到橫向磁場中旋轉圓板軸對稱參強聯合振動微分方程。運用多尺度法求解振動微分方程，分析久期項得到系統發生參強聯合共振時的兩種共振狀態，并分別給出兩種狀態下系統的幅頻響應方程。通過數值計算，給出圓板的協調參數、磁場、轉速、激勵力等參數變化對振動特性的影響，對比兩種共振條件下的幅值-參數曲線，討論不同參數變化對系統穩定性的影響。通過系統的全局分岔圖，討論分岔參數變化對系統動力學特性的影響。

磁彈性；圓板；參強聯合共振；旋轉運動；多尺度法；穩定性

旋轉圓板、圓環類構件在航空航天、大型發電機組、機械工程等領域都有著廣泛的應用，其在電磁場、機械場等復雜環境下系統初始條件和物理參數的變化可能導致圓板大幅振動以至失穩，甚至會損害系統。因此，分析旋轉系統參數變化引起的動態響應是十分重要的。針對結構磁彈性振動國內外學者做了許多理論研究。Bekhoucha等[1]研究了磁場中非線性旋轉組合梁的強迫振動，給出了系統響應曲線并分析角速度對系統的影響；Pratiher等[2]針對懸臂梁的磁彈性非線性振動和頻率特性進行了系統的分析，給出系統的響應方程，通過多尺度法進行求解并分析各參數對系統振動的影響；胡宇達等[3-5]推導出了磁場中圓板及矩形板的基本方程，對系統自由振動及強迫振動問題進行了分析；胡宇達等[6]針對磁場中旋轉圓板，推導了磁場中旋轉圓板的振動方程并對軸對稱問題進行了分析，為研究圓板的復雜振動問題提供了基礎；Hu等[7]針對磁場中矩形板的諧波振動進行分析，研究了其分岔和混沌行為，為控制系統振動提供了理論基礎。針對系統的參數振動及參強聯合振動，?zhan等[8]分析了非線性連續系統的主參數共振問題，運用多尺度法得到近似解析解并討論了穩態解及其穩定性；Shahgholi等[9]對非軸對稱系統的主共振和參數共振進行了研究，討論了偏心主軸和外部阻尼對穩態響應的影響并運用數值模擬驗證了多尺度法的結果；胡宇達等[10-11]針對磁場中軸向運動矩形薄板的參數振動及主參數共振進行了研究，分析各參數對系統穩定性的影響；張偉等[12]研究了參數與強迫激勵聯合作用下非線性系統的分差問題，給出了分叉集和分叉響應曲線，得到了許多有價值的結論；康厚軍等[13]針對斜拉索大幅振動問題進行了研究，分析在參數振動和強迫振動激勵下斜拉索的非線性振動問題，給出了引起系統參強聯合共振的條件；賈啟芬等[14]研究了機電系統的參強聯合激勵作用下系統的分岔問題，分析了參數激勵、強迫激勵聯合作用下的動力學特征，為有效控制電機的穩定運行提供理論依據。本文在給出旋轉圓板的磁彈性橫向振動方程的基礎上，推導參強聯合共振微分方程并通過多尺度法對其進行求解，得到兩種系統共振的條件并分別對其求解。通過算例，分析系統不同物理參數和初始條件對共振特性的影響。

1 變速旋轉運動圓板的參數振動方程

考慮導電旋轉圓板在外加橫向磁場B0z中以轉速Ω做變速旋轉運動，并受到均布橫向載荷Pz的作用。如圖1所示，圓板半徑為R，板厚為h。基于動能、應變能的表達式，通過哈密頓原理可推導出旋轉圓板的磁彈性橫向振動微分方程為[6]

(1)

圖1 磁場中旋轉圓板力學模型Fig.1 The mechanical model of rotating circular plate in magnetic field

將彎矩內力和電磁力矩表達式代入到振動方程中，得到旋轉運動圓板關于橫向撓度的磁彈性軸對稱非線性振動方程：

(2)

設滿足邊界條件的位移解為如下展開形式：

(3)

將式(3)代入到方程(2)中，應用伽遼金法進行積分，得到橫向磁場中圓板的振動微分方程：

A5f3(t)+A6Pz=0

(4)

其中，

設轉速Ω=Ω0+Ω1cosω1t；載荷Pz=P1cosω2t。其中，Ω0為恒定速度，Ω1為變速度擾動量，P1為強迫激勵幅值，ω1為轉速變化頻率，ω2為強迫激勵頻率。代入方程(4)中，得到變速旋轉運動圓板的參數振動方程：

η4f3(t)+η5P1cosω2t=0

(5)

2 旋轉圓板磁彈性參強聯合共振問題的理論分析

(6)

下面應用多尺度法[15]對方程(6)進行求解。選用兩個時間變量(T0,T1)，設系統參強聯合共振的一次近似解為

q(τ,ε)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)+O(ε2)

(7)

式中：T0=τ；T1=ετ。

將式(7)代入方程(6)中，令ε同次冪相等，得到：

(8)

(9)

式中：D0=?/?T0；D1=?/?T1。

設方程(8)解的復數表達形式為

(10)

將式(10)代入方程(9)中，得：

(11)

為了避免方程中的久期項的出現，函數A應滿足：

(12)

此時設：

(13)

此條件下久期項為

(14)

(15)

(16)

式中：φ1=2σ1T1-2β;φ2=σ2T1-β。

(17)

(18)

為了便于對方程(17)、(18)求解，進行變量變換，設：

M=acosφ2N=asinφ2

(19)

同時考慮方程(15)、(16)，可以得到：

(20)

(21)

對于穩態運動，應有M′=N′=0，解出M和N：

(22)

(23)

再由M2+N2=a2，得到旋轉圓板參強聯合共振下的幅頻響應方程：

(24)

此時設：

(25)

此條件下久期項為

(26)

(27)

(28)

式中：φ1=σ1T1-2β；φ1=σ2T1-β。

參照狀態(1)的求解方法，最終可以得到旋轉圓板軸對稱參強聯合共振下的幅頻響應方程：

(29)

3 算例分析

針對銅制圓板磁彈性參強聯合共振的問題進行計算分析。主要參數：密度ρ=8 920 kg/m3，板厚h=5 mm，半徑R=0.5 m，電導率σ0=5.714 3×107(Ω·m)-1，波松比μ=0.33，彈性模量E=108 GPa。

3.1 穩態運動下的共振幅值特性

圖3給出了共振振幅a隨著磁感應強度B0z變化的曲線圖(選取參數為：Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min，P1=50 N/m2)。圖中顯示共振振幅曲線以B0z=0 T為對稱軸呈左右對稱分部。曲線變化規律對協調參數的變化比較敏感。隨著磁感應強度的增大，共振振幅變化不是十分明顯，當磁感應強度增加到某一值時，系統出現鞍結靜態分岔，共振振幅急劇變小。由此可以得到在保持系統的旋轉速度、強迫力不變時，通過調整磁感應強度可以起到控制系統共振振幅的目的。

圖4給出了共振振幅隨著激勵力P1變化的曲線圖(選取參數為：Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min)。從圖4(a)和圖4(b)中可以看出磁感應強度對系統的多值性以及共振振幅有著較大的影響。圖4(c)和圖4(d)給出了不同協調參數下系統的共振振幅隨著激勵力變化的曲線。綜合圖3和圖4，可以得到，隨著協調參數減小、磁感應強度的增加，系統的多值性逐漸消失。

圖5為系統初始狀態變化時的動相平面軌跡圖(選取參數為：B0z=3 T，Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min，P1=50 N/m2)，箭頭方向為系統軌跡方向。圖中可以看出夾支和簡支邊界條件下選取不同協調參數時系統穩定解的變化。在圖5(a)中存在一個穩定焦點S1，其幅值大小為S1=0.332 6，記為S1(0.332 6)。在圖5(b)中存在兩個穩定焦點S1(0.138 7)、S3(0.448 7)和一個鞍點S2(0.359 4)。圖5(c)中存在一個穩定焦點S1(0.362 3)。圖5(d)中存在兩個穩定焦點S1(0.078)、S3(0.570 2)和一個鞍點S2(0.500 7)。這與圖2(a)和圖2(b)兩圖中對應點的幅值大小一致，可以推斷出當圖2中的曲線出現三個解時，最大和最小的解是穩定的，中間的解是不穩定的。在圖3和圖4中的曲線也有相同的性質。

(a) 夾支邊界

(b) 簡支邊界

(c) 夾支邊界

(d) 簡支邊界

(f) 簡支邊界圖2 幅頻響應曲線Fig.2 Frequency response curves

(a) 夾支邊界

(b) 簡支邊界圖3 幅值-磁感應強度曲線Fig.3 Amplification-magnetic induction intensity curves

(a)夾支邊界(σ=0.03)(b)簡支邊界(σ=0.03)(c)夾支邊界(B0z=4T)(d)簡支邊界(B0z=4T)

圖4 幅值-激勵力曲線

Fig.4 Amplification-forced excitation curves

圖6給出了夾支和簡支條件下，改變磁感應強度時系統穩定焦點位置的變化圖(選取參數為：Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min，P1=50 N/m2)。圖6(a)中三個焦點分別為：焦點S1(0.393 3)，磁感應強度B0z=3 T；焦點S2(0.148 3)，磁感應強度B0z=5 T；焦點S3(0.087 8)，磁感應強度B0z=7 T。圖6(b)中三個焦點分別為：焦點S1(0.570 2)，磁感應強度B0z=3 T；焦點S2(0.076 8)，磁感應強度B0z=5 T；焦點S3(0.073 3)，磁感應強度B0z=7 T。對比圖6(a)和圖6(b)，可以得出磁感應強度的增加可以抑制系統的共振振幅，并且能更快的到達穩定狀態。

(a)夾支邊界(εσ=0.01)(b)夾支邊界(εσ=0.03)(c)簡支邊界(εσ=0.05)(d)簡支邊界(εσ=0.2)

圖5 動相平面軌跡圖

Fig.5 The phase plane curves

(a) 夾支邊界(εσ=0.02)

(b) 簡支邊界(εσ=0.02)圖6 動相平面軌跡圖Fig.6 The phase plane curves

綜合圖5和圖6，可以看出，物理量的變化以及初值對系統穩態響應有著明顯的影響，同時系統的初值決定了系統在存在多值解時取哪一個穩態解。

3.2 磁場變化時系統的不同動力響應

為進一步分析系統在參強共振下呈現的其他非穩態復雜動力學現象，直接對微分方程(6)進行數值求解，圖7繪制了以磁感應強度B0為分岔控制參數的系統響應全局分岔圖。由分岔圖可知，在磁感應強度B0<0.2 Τ時，系統近似處于混沌運動狀態；隨著磁感應強度值的增加，系統逐漸出現概周期運動狀態；當B0>0.5 Τ時，系統呈現倍周期運動狀態。總體而言，隨著磁感應強度的增大，系統從最初的類似混沌運動狀態逐漸變為概周期運動狀態，最終變為倍周期運動狀態，并保持相對穩定。

圖7 磁感應強度B0的全局分岔圖(P1=2 000 N/m2)

Fig.7 Global bifurcation of magnetic induction intensityB0(P1=2 000 N/m2)

圖8給出當磁感應強度比較小時，龐加萊映射點陣截面呈現出封閉曲線。系統時程圖表現為往復周期運動方式。從功率譜圖中發現，振動能量主要分布在0.16倍頻和0.29倍頻，相軌跡圖多圈相套。系統近似處于混沌狀態。

圖9給出當B0=0.25 T時，龐加萊映射點陣截面呈現多個封閉曲線形式。系統時程圖表現為往復周期運動方式。從功率譜圖中發現，振動能量主要分布在0.16倍頻和0.29倍頻，相軌跡圖多圈相套。系統出現概周期運動。

圖10給出當B0=0.79 T時，龐加萊映射點呈現分散的五點形式，此時系統做五倍周期運動，時程圖也可以驗證此結論。從功率譜圖中可以發現，振動能量不只有五個主要頻率，由此可知此時振動是由多個倍頻疊加而成。

(a)龐加萊映射圖(b)時程圖(c)功率譜圖(d)相圖

圖8 B0=0.1 T時系統響應圖Fig.8 Response diagram of system with B0=0.1 T

圖9 B0=0.25 T時系統響應圖Fig.9 Response diagram of system with B0=0.25 T

圖10B0=0.79 T時系統響應圖

Fig.10 Response diagram of system withB0=0.79 T

3.3 兩種組合共振特性比較

圖11 幅頻響應曲線(B0z=4 T, P1=50 N/m2)Fig.11 Frequency response curve(B0z=4 T, P1=50 N/m2)

圖12 幅值-磁感應強度曲線(εσ=0.03, P1=50 N/m2)Fig.12 Amplification-magnetic induction intensity curve(εσ=0.03, P1=50 N/m2)

圖13 幅值-激勵力曲線(εσ=0.04, B0z=4 T)Fig.13 Amplification-forced excitation curve (εσ=0.04, B0z=4 T)

4 結 論

本文針對磁場中變速旋轉運動圓板，給出了參數振動微分方程。運用多尺度法求解方程，得出了兩種不同共振狀態的幅頻響應方程，數值計算結果表明：

(1)系統發生參強聯合共振時，共振振幅隨著磁感應強度和旋轉速度的增加、激勵力振幅的減小而減小；隨著初始條件和物理變量的變化，系統的共振振幅出現多值性。同時隨著磁感應強度的增加，系統逐漸從類似混沌運動狀態轉變為倍周期運動狀態，可見控制磁感應強度可以使系統更快的達到穩定狀態。

(2)對比夾支和簡支兩種不同的邊界條件，可以得出夾支邊界條件下振幅對協調參數變化比較敏感：當協調參數在一定范圍內發生微小變化時系統振幅急劇變化，隨著協調參數繼續增加系統快速達到穩定狀態。

(3)當速度激勵頻率取二倍固有頻率時，系統的最大穩定解和不穩定解要比速度激勵頻率取一倍固有頻率的解要高，同時共振振幅的峰值也會大大增加；而最小穩定解卻比一倍固有頻率的解低。其他的系統共振特性在兩種情況下均有相同的體現。

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Magnetoelasticresonanceofaconductivecircularplaterotatingwithvaryingvelocityundercombinedparametricandforcedexcitations

LI Zhe1,2, HU Yuda1,2

(1. School of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China； 2. Hebei Provincial Key Lab for Mechanical Reliability of Heavy Equipment and Large Structures, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Magneto-elastic resonance of a conductive circular plate rotating with varying velocity under combined parametric and forced excitations was investigated. The conductive circular plate was subjected to parametric excitations due to the time-varying rotating speed and magnetic field forces. The magneto-elastic parametric vibration equations of the variable-velocity rotating conductive circular plate were established, its axisymmetric vibration differential equation under combined parametric and forced excitations was obtained through the application of Galerkin method. Then, the multi-scale method was applied to derive two conditions for resonance occurring, two corresponding amplitude-frequency response equations were deduced, respectively. The influences of plate’s coordination parameters, magnetic field parameters, rotating speed and excitations on the vibration performance of the circular plate were studied. Amplitude-parameter curves of two resonance conditions were compared, and the influences of parameters on the system’s stability were discussed. According to the global bifurcation diagram of the system, the influences of changes of bifurcation parameters on the system dynamic characteristics were discussed.

magneto-elastic; circular plate; resonance under combined parametric and forced excitations; rotary motion; multi-scale method; stability

國家自然科學基金(11472239)；河北省自然科學基金(A2015203023)；河北省高等學校科學技術研究重點項目(ZD20131055)；河北省研究生創新(2016SJBS023)

2016-04-27 修改稿收到日期：2016-09-09

李哲 男，博士生，1990年5月生

胡宇達 男，博士，教授，1968年11月生

O442; O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.012