高層建筑原型實測測點優化布置方法研究

李正農, 朱愛民

(湖南大學 建筑安全與節能教育部重點實驗室， 長沙 410082)

高層建筑原型實測測點優化布置方法研究

李正農, 朱愛民

(湖南大學 建筑安全與節能教育部重點實驗室， 長沙 410082)

通過應用運籌圖論中求P-重心的方法，重點研究高層建筑風致響應實測時的測點優化布置問題。具體操作是提取所監測高層建筑在風荷載作用下的數據進行處理，將高層建筑簡化為層模型，再將該模型轉為圖論中研究的網絡圖，計算圖中的頂點權重、邊值以及權距離矩陣，最后利用求P-重心問題下界的算法得到重心，對所得重心分析確定測點。同時通過一個高層建筑動態響應的實例具體說明該方法，在優化布置后得到新的響應信息，算出此時結構適應度函數值并與結構適應度函數的最優值進行比較，發現兩者相差很小，說明應用這種方法得到的結構風致響應數據具有相當高的精度，很好的解決了測點優化布置問題。

高層建筑； 測點布置； 優化； 圖論

高層建筑結構因其本身的復雜性，計算方法的不完善，很難準確得到其加速度、速度、位移等物理參數信息，為了較準確的獲取這些數據，往往需要在結構本身布置若干個傳感器進行數據實測采集，這些傳感器布置的位置即為測點。關于傳感器優化布置的研究最早在航空領域出現，近些年來，不少學者對傳感器在建筑結構中的優化布置做了很多的研究工作。Kammer[1]提出有效獨立法(Effective Independent algorithm，EI)，通過改良Fisher信息陣，反復迭代遍尋每一個候選測點，剔除對模態向量線性獨立性貢獻小的測點，留下貢獻最大的測點，最終達到以最少的傳感器獲取最多的測量數據；Reynier等[2]利用遺傳算法來確定最優控制力施加點; 崔飛等[3]提出模態置信度矩陣法(Modal Assurance Criterion，MAC)，因為振型向量間的空間交角過小會引起模態信息的丟失，該方法很好的保證了振型向量的空間交角；Li等[4]在監測橋梁結構的健康時，對傳感器進行了一系列詳細研究，將生物領域的遺傳算法應用到測點的最優布置中；Bruant等[5]在進行結構控制時，詳細探討了傳感器和作動器的位置布置問題；李正農等[6-7]在考慮了結構的振型以及在適應度函數中加入振型參與系數，研究了高層建筑結構和高聳結構動態反應實測中測點優化布置；伊廷華等[8]提出自適應猴群算法，改進爬過程和望過程提高局部搜索力，以及引入跳過程，提高全局搜索力，得到最優解傳感器布置位置。

本文通過應用運籌圖論中求P-重心的方法，研究高層建筑風致響應實測時的測點優化布置問題，以在保證實測精度的前提下選擇最優測點位置。

1 測點優化布置的適應度函數

一般通過拾振器等相關傳感器設備檢測實際結構的動態響應。由結構動力學知識可知，結構的動態響應主要取決于其前幾階振型，所以通常將測點布置在結構前幾階振型分量相對較大的位置，以保證實測振型與實際振型有較高相似性。具體方法如下：

假設通過對結構自振特性分析計算出L個振型

Φ=[{φ1},{φ2},{φ3},…,{φL}]

(1)

式中，{φi}=[φi1,φi2,φi3,…,φin]T。

后期判斷振型相似性，可通過定義適應度函數[9-10]來實現。常用的適應度函數主要有如下兩種，具體如下：

型式1 模態比例因子法(MSF法)。結構的第i階的實際振型和實測振型分別為{φai}和{φbi}，計入振型參與系數的影響，其前L階振型相似與否由以下公式度量，即適應度函數為

(2)

當測點選擇為最優時

(3)

型式2 模態置信度矩陣法(MAC法)。結構的第i階的實際振型和實測振型分別為{φai}和{φbi}，也計入振型參與系數的影響，其前L階振型相似與否由以下公式度量，即適應度函數為

(4)

當測點選擇為最優時

(5)

2 結構在水平風荷載作用下的振型參與系數

由結構動力學知，不同的水平荷載作用在結構上其振型參與系數會受到影響，下面給出在風荷載作用下高層建筑結構的振型參與系數:

(6)

式中，將結構分為n個質量集中點，mi為結構i點處的質量；φji為j振型在i點處的分量，可通過計算求解；pi為高層建筑在i點處受到的風荷載。

3 圖論中的設點問題

在圖論中的設點問題或稱選址問題[11-13]，是指為一個或幾個服務設施在一定區域內選定它的位置，使某一指標達到最優值。

設點問題有很多類型，高層結構的測點優化布置問題屬于多設施離散類型。下面具體針對這一類型進行詳細考察。

3.1 一般設點問題

討論平面中的重心問題之前，首先要解決在一定區域內的一般平面設點問題是否能轉化成網絡問題。區域內的通道網絡，為一般平面設點問題轉化成網絡問題提供了條件。顯然，設點問題主要解決結構測點與質點的聯系效率或效益問題，多數情況下，當實測測點有相對集中的區域位置時，通道網絡將可以很方便的構成反映結構質點之間的聯系關系。當用一些離散的頂點來代表分散的測點時，相對集中的區域位置，則有利于問題的簡化。

設有網絡:

N=(V,E,W,Q)

(7)

式中：將結構當中的每一個質點當成圖中的一個頂點vi，頂點集為V，vi∈V

質點與質點之間的連線當成圖中的一條邊(i,j)，邊集為E，(i,j)∈E

W為邊的權值，表示質點間的距離，本文指W={ωij}的是兩測點間的振型向量差的絕對值。

記Qi為頂點vi上的權重，Q={Qi}

下圖1是某一個網絡圖的實例。在該網絡圖中，共有6個候選測點，取結構前兩階振型，故網絡圖上有12個頂點，頂點的權重皆為1為圖看起來簡便起見未在圖上標識，邊上的數字為邊的權值，反映了同一位置兩階主振型相對偏移程度。

可以簡化為多個質點的計算模型，可能需要求出若干個重心，即選擇在部分質點上布置測點，這些測點可以反映結構整體的動態響應狀況。而未布置測點的質點對于結構整體動態響應影響相對較小，可以通過線性插值方法解決。

其基本模型如下：

目標：

minS=(∑cij·xij+∑fi·yi)

(8)

約束：∑xij=1,j∈C,

yi-xij≥0i∈F,j∈C

(9)

圖1 某結構體系網絡Fig.1 A network graph

cij為位于i處的測點與j處質點間的距離。

fi為選擇i質點作為測點所對應的影響。

3.2 結構測點數有限的設點問題

定理1一個帶有測點數限制的一般設點問題的下界，可由系數為(cij,fi+λ0)的一般設點問題的一個最優解(從任一下界)中減去Pλ0(λ0≥0)而得到。

證明如下：

(10)

3.3 P-重心問題

需要選擇P個測點，布置于一個高層結構動態響應問題的網絡時，要求從最近的測點到每一質點的權距離總值為最小。

約束：

|Z|=P

(11)

定理2P-重心問題存在一個最優解Z,Z是由P個測點所組成。

引理一個P-重心問題的下界，是由以系數為 (cij,fi+λ0)的一般設點問題的任一個下界中減去Pλ0(λ0≥0)而得到。

步驟1開始。令k=1

取λ0=某一個給定的非負整數

f1=f2=…=fi=λ0

e1=e2=…=ei=0,i∈F

步驟2進行迭代。對所有j∈C執行步驟2a

λj=λj+εj,ei=ei+εj對所有i，cij≤λj，

設點問題與測點布置問題有一定的相似性。本文中將高層結構實測時測點布置等同于服務設施的布置，進而通過圖論方法得到高層結構在動態響應實測時的測點最優布置。

4 基于圖論的高層結構動態響應測點的最優布置方法

下面通過一個實例來說明求取結構P-重心的方法。某高層建筑物，建筑底部尺寸為48 m×48 m，結構高度420 m，層數88層，主體結構形式為框架核心筒體系。由計算得出其X方向(結構南北方向)前3階振型的固有頻率、振型向量和振型參與系數。

本文研究的是結構單方向風致響應的測點優化布置問題，因而可以將結構的力學模型簡化為層模型，即“糖葫蘆串”模型，以得到結構的加速度、速度、位移時程反應曲線，該模型無法獲取構件的內力和變形，但本文研究的是結構的加速度時程，故可以選擇。又結構本身樓層太多，可以將多個樓層凝聚為一個質點，每個質點層模型的質量、剛度為等效質量(被凝聚各樓層的總質量)，等效剛度(由等效質點位置的剪力與位移比確定)，蘇萬林[14]將這種簡化后的模型數據與原結構實測數據進行對比，發現兩者差別很小，故本文也采用該方法簡化建模。對結構在20 m高度左右凝聚成一個質點，最終得到20個質點，每個質點為方便起見，將質點編號1～20并對第20號質點的振型向量作歸1化處理。詳見下表1、表2所示。繪出其振型圖，見圖4。

該高層建筑實測的儀器主要有：中國地震局工程力學研究所研發的超低頻拾振器(用于采集主體結構在風荷載作用下的加速度響應)，941型信號放大器，優泰動態信號分析系統及相應的動態信號分析軟件。拾振器和優泰數據采集系統見下圖2圖3所示。

表1某大廈X方向前3階自振頻率及振型參與系數

Tab.1NaturefrequencyandmodeparticipationcoefficientonthefirstthreeordersofonebuildinginXdirection

振型123自振頻率/Hz0.1620.4660.737振型參與系數10.36390.1942

在本文確定測點的最優布置時，假設測點的可能布置位置已經確定，即每個質點都是測點的可能布置位置。以前面所定義的選擇P-重心進行測點優化布置，并且與適應度函數最優值進行比較，從而以較少計算來達到與實際振型曲線較好擬合的效果。對于沒有布置測點位置的振型向量用線性插值方法確定。

圖2 超低頻拾振器(圖中對結構X、Y向進行布置)Fig.2 Vibration pickup

圖3 優泰數據采集系統Fig.3 Data acquisition system of uTekL

通過分析該高層建筑的振型圖，在不影響計算精度又減小計算量的實際背景要求下，可以對這20個質點進行分段選取測點，不妨先以第二振型作為分段依據，若計算結果不合理再進行相應的新的分段。第二振型在質點7處為該振型向量的最小值點，質點12、13為該振型向量的從負到正的兩個過渡點，質點20處為該振型向量的最大值點。這四個點對于該結構的第二振型影響最大。綜上分析，現將結構分成三部分進行測點布置，做法如下：① 高度0～141 m，質點段1～7，這段只有6個要選擇的質點，但由于這一段振型向量變化大，所以布置4個測點；② 高度141～245 m，質點段7～12，這一段由于質點數量相對較少，加上質點7、12已經確定為測點，所以再布置2個測點；③ 高度267～420 m，質點段13～20，由于這一段變化相對均勻，所以布置3個測點；另外質點7、12、13、20處也布置測點，所以共布置13個測點。

表2 某大廈X方向前3階振型向量Tab.2 Mode vectors on the first three orders of one buildingin X direction

通過以上的結論，開始計算質點段1～7、7～12、13～20這三段的P-重心，從而選擇出比較理想的測點位置。現在將該高層建筑簡化模型轉為網絡圖，轉化依據如下：因為每個質點幾乎都是20 m左右多個樓層凝聚而來，故這里近似認為每個質點的權重一樣，記各質點權重為1。其次，由于一階振型相對于二、三階振型起到的作用更大，故將結構一階振型的質點連接起來，作為網絡圖的中心軸，再將各質點的二階、三階振型與一階振型相關聯。邊的權值取各階振型向量的差值的絕對值，這樣做的好處是，最大化的在圖中包含了結構的前三階振型信息，并且主次分明，由下面計算分析知，采用這樣的網絡圖所得結果比較合理準確。質點段1～7的網絡圖如下圖6。

圖4 某大廈結構X方向的前3階振型Fig.4 Vibration shape digram

圖5 測點為3、4、5、6、7、9、10、12、13、 15、17、18、 20質點時的前3階振型Fig.5 Sensor lacation in points 3、4、5、6、7、 9、10、 12、13、15、17、18、20

圖6 該高層建筑質點段1～7網絡圖Fig.6 A network graph of points 1 to 7

(1) 質點段1～7。首先計算該圖的權距離矩陣：

[cij]=[Qj·dij]

此處權距離矩陣指的是對質點距離矩陣賦有頂點的權重，dij為質點間邊值，物理意義上面已述及。由于各質點的權重相同，都為1，故[cij]=[dij]。

其中頂點權重Q=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]T，距離矩陣為[dij]([dij]為對稱矩陣)，權距離矩陣[cij]具體計算如下：

[cij]=[dij]=

×10-2

權距離矩陣外的系數10-2對于最終結果并不影響，所以在計算時可以忽略。下面應用前述一般設點問題求下界的算法。利用fi=λ0,λ0≥0,λ=∑λj。

得到P-重心問題的下界LB(λ0)=λ-Pλ0。 同理，當λ0取其他值的時候可以計算出最后的λ和相應的e。 通過Matlab編寫程序，計算結果見下表3所示。

表3 1～7質點的P-重心問題下界計算結果Tab.3 Caculated results from point 1 to point 7

通過前面的計算，在結構P-重心問題的計算中，由表3知在λ0=4.5時對應P=17比較符合前面選取測點的原則。相應的(f-e)的值以及建議的解向量y(得自：若fi-ei=0令yi=1否則yi=0)。

計算得出：

f=(4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5);

e=(4,4.5,4.1,4.2,4.5,3.8,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5);

f-e=(0.5,0,0.4,0.3,0,0.7,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0);

相應的解向量：

y=(0,1,0,0,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)。

即當λ0=4.5時，取17-重心LB(λ0)取得最大值為8，得到點2、5、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21。又實際1～7質點段共有7個候選測點，當1、3、4、6不取時，即測點1、2不取，這樣才符合實際情況。故此時選擇實際測點的3、4、5、6、7。

(2) 質點段7～12。

同樣根據前述一般設點問題求下界的算法，質點段7～12選取測點9、10。

(3) 質點段13～20。

質點段13～20選擇測點15、17、18、20。

下面通過本文前述的兩種型式的適應度函數來比較測點布置優化后所測出的振型與原振型的相似程度。將得到的數據帶入適應度函數進行計算，具體的計算結果如表4和圖5所示。

表4 不同適應度型式測點優化結果比較Tab.4 Coparision of optimization results

通過表4可以看出，按照本文的方法所確定的測點優化結果，其適應度函數的值與適應度函數最優值非常接近。在上述兩種適應度函數下，三個質點段的相對改變量都很小，即相對誤差很小，說明按照本文的方法布置測點比較合理。再從上面的測點布置圖5中可以看出測點布置結果能夠反映出結構前三階振型的實際情況，說明將整個結構分為3段分別求出各段的P-重心的策略是成功的。

5 結 論

本文通過應用運籌圖論中求P-重心的方法，重點研究高層建筑風致響應實測時的測點優化布置問題。具體得到的結論如下：

(1) 通過理論分析得出，設點問題與測點布置有一定的相似性，本文中將高層結構實測時測點布置等同于服務設施的布置。

(2) 首先將一個實際問題轉化為圖論的語言，求出從最近的測點到每一質點的權距離總值為最小。

(3) 由一般設點問題求下界的算法，算出各振型段的P-重心的下界，得到P個重心，再通過分析選擇合適的若干個測點。

(4) 從實際的計算結果來看，該方法較簡單，并且有較高的精度，具有較為廣泛的適用性。相比于高聳結構本身的復雜性，本文的方法也可應用于非高聳結構，因為結構本身所含信息更少，所需要的候選測點數更少，操作起來會更加準確方便。

(5) 該方法還有很多問題需要進一步研究，特別是還要根據實際情況加以改進，以滿足實際工程的需要。

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Optimalsensorslocatingforwind-inducedresponsesmeasurementoftallbuildings

LI Zhengnong, ZHU Aimin

(MOE Key Lab of Building Safety and Energy Efficiency, Changsha 410082, China)

A methodology to seek a network graph’s P-gravity center utilizing graph theory was used to study optimal sensors locating for wind-induced responses measurement of tall buildings. Firstly, the measured data of high-rise buildings bearing wind loads were collected, then these data were processed, the tall building was simplified as a layer model, and the model was converted into a network graph. The graph’s parameters, such as, vertex weighting, boundary value and weighted distance matrix were calculated. Finally, the gravity center of the graph was calculated with the algorithm to seek the lower bound of P-gravity center. The obtained gravity center was analyzed to determine sensors’ locations. An example of tall building was used to illustrate this method. After optimizing sensors locating, the tall building responses’ new information was obtained. With the new information, the structure’s flexibility function was computed and compared with the known optimal value of the structure’s flexibility function. It was shown that both of them agree well; so the proposed method has a good accuracy and the optimal sensors locating problem is well solved.

tall buildings; sensors locating; optimization; graph theory

2016-07-27 修改稿收到日期：2016-09-01

李正農 男，博士，教授，1962年11月

朱愛民 男，碩士生，1992年3月

TU973

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.020