Adams法求解渦激振動壓電能量獲取問題

尹忠俊， 趙久松， 張 航， 韓 天

(北京科技大學 機械工程學院， 北京 100083)

Adams法求解渦激振動壓電能量獲取問題

尹忠俊， 趙久松， 張 航， 韓 天

(北京科技大學 機械工程學院， 北京 100083)

研究流-機-電三相耦合圓柱渦激振動能量獲取問題，使用矩陣法求解機電耦合頻率和機電耦合阻尼，應用Fluent軟件求解機電耦合振動方程得到圓柱振動響應，使用Adams法求解機電耦合輸出電壓和機電耦合輸出功率。研究外接載荷對機電耦合輸出電壓、機電耦合輸出功率的影響，以及尾流干涉下，機電耦合輸出電壓隨外接載荷變化的情況。結果表明：Adams法求解機電耦合輸出電壓的頻率范圍更加廣泛，機電耦合輸出電壓與外接載荷成正比，機電耦合輸出功率在外接負載R=106Ω達到了最大值；在約化速度Ur=5時，尾流干涉下的機電耦合阻尼表現出對下游圓柱振幅起明顯的抑制作用。

渦激振動； 輸出電壓； 流機電耦合； Adams求解法

從周圍環境中獲取能量可用來給電子元器件供電，微型能量收集器可從振動、溫度差、旋轉等獲取能量成為許多學者的關注點[1-4]。水動能是一種清潔的可再生能源[5]，利用壓電材料從渦激振動系統中獲取能量具有很高的實際應用價值。渦激振動壓電能量獲取研究需要考慮流固耦合振動和機電耦合，涉及了流體場、固體場和電場，是一個多物理場相互耦合的能量獲取研究，具有較高的學術研究價值[6]。

Dai等[7]研究渦激振動和基礎激勵壓電能量獲取問題。壓電懸臂梁自由端與圓柱連接組成；研究能量獲取的簡化模型，將離散化Galerkin方法應用在拉格朗日和非保守功；根據Facchinetti的研究，渦激振動受力是由尾流振動圓柱運動引起的，可用脈動升力、阻力系數和圓柱運動速度表示，圓柱渦街脫落的尾跡運動同樣可以表示出來；通過將上述幾個方程簡化，可以得到渦激振動能量獲取的方程組；并且發現數值預測模型和實驗數據有很好的吻合，當風速在同步區域時，能量獲取功率有較大的提升。羅竹梅等[8]研究耦合四圓柱渦激振動的力特性及水動能獲取分析；水動能及能量密度隨著組合間距比的增加先增加，隨后發現獲取能量增加緩慢，而能量密度卻不斷減少。Mehmood等[9]研究壓電傳感器渦激振動能量收集問題；在圓柱兩端使用2根細長的PZT壓電薄片進行支撐，將帶有電阻的電路連接到PZT壓電懸臂梁上用于收集電荷。雷諾數設定在96≤Re≤118區間，此區間涵蓋了前同步、同步、后同步區域，負載電阻范圍為500 MΩ≤R≤5 MΩ。負載電阻對機電耦合系統的阻尼和固有頻率有影響，負載電阻的增大會使同步區域增大和輸出電壓升高。王軍雷等[10]研究了外界載荷對三相耦合圓柱繞流渦激振動能量轉換的影響。使用矩陣法分析外界載荷對渦激振動能量轉換系統阻尼和固有頻率的影響，并使用準穩態近似理論推導獲得機電耦合系統電壓輸出的準穩態解析式，應用OpeanFOAM開源平臺對Navier-Stokes、二階范德波爾方程和高斯定律進行渦激振動耦合計算，當滿足98

上述文獻中研究雷諾數大部分在同步區域的小范圍內，采用Morse等[12]的準穩態模型描述渦激振動振幅，并計算出機電耦合輸出電壓。本文用Adams法求解機電耦合輸出電壓和機電耦合輸出功率，對于不能用準穩態模型描述的渦激振動振幅同樣適用，可以適用于更大范圍的雷諾數，應用更加廣泛。本文使用矩陣法計算外接載荷對機電耦合阻尼和固有頻率的影響，并以上述結果為基礎利用Fluent軟件計算圓柱渦激振動，得到圓柱振動位移響應，以振動位移的數據點為基礎計算出機電耦合輸出電壓和輸出功率。主要研究外界載荷和流體速度對渦激振動振幅、機電耦合輸出電壓以及輸出功率的影響；以及尾流干涉下，外接載荷對機電耦合輸出電壓的影響。

1 數學模型

渦激振動機電耦合物理模型如圖1所示，壓電懸臂梁和末端圓柱體組成的渦激振動能量收集系統簡化為二維單自由度質量-彈簧-阻尼系統，其中M為系統質量，C為系統阻尼，K為系統彈簧剛度，U∞為均勻來流水流速度，R為外接電阻。

圖1 渦激振動機電耦合物理模型Fig.1 Machine-clectvicity coapling model of vortex- induced vibration

1.1 流固耦合模型

本文求解非穩態雷諾平均Navier-Stokes方程組，不可壓縮流體連續性方程和動量方程為

(1)

(2)

式中:ρ為流體密度;v為運動黏性系數；u為速度矢量；f為作用在單位質量流體微團的質量力，流體介質為水。

單自由度范德波爾振動方程表示為:

(3)

其中M,K,C存在以下關系：

(4)

ωn=C/2ζ·M

(5)

式中：M為單位長度圓柱質量；ζ、ωn為振動系統的阻尼比和圓頻率；Fy為圓柱升力。范德波爾振動方程與流體控制方程在Fluent中求解，可以得到圓柱的動態振動響應。

1.2 機電耦合模型

機電耦合振動方程組需要考慮渦激振動系統對電路輸出電壓的影響，同時運用高斯定律[13]考慮電路對渦激振動系統的負反饋作用；結合流固耦合振動計算結果，即可研究流-機-電三相耦合渦激振動問題。機電耦合振動方程如下：

(6)

(7)

式中：θ為機電耦合系數，Cp為電容系數，V為機電耦合輸出電壓。

將方程式(6)中的電壓項V消除，實現降維，研究外接載荷對機電耦合阻尼和機電耦合固有頻率的影響。使用矩陣法求解方程式(6)的線性方程式(8)：

（3）排除故障后，閉合開關，電壓表示數為1V，小燈泡實際亮度偏____（選填“亮”或“暗”）；為了使小燈泡正常發光，則滑動變阻器滑片應向________移動（選填“C”或“D”）。

(8)

(9)

將上述方程組化為矩陣形式：

(10)

B(R)的解有三個特征值ki(i=1,2,3)；X的特征值中前兩個k1，k2的值與無電路振動系統類似，存在共軛關系，其中共軛解的實部和虛部分別表示機電耦合系統中的機電耦合阻尼和固有頻率；而第三個特征值k3是常負實數，無實際物理意義，可忽略。機電耦合振動方程中的電壓項V被消除，機電耦合振動方程式(6)修正為

(11)

式中:Ccoup為機電耦合阻尼;Kcoup為機電耦合剛度。

本文機電耦合部分系統參數采用文獻[14]中的數值，機電耦合系統參數如表1所示。

表1 渦激振動機電耦合系統參數Tab.1 Parameters of vortex induced vibrationelectromechanical system

(12)

機電耦合輸出電壓可用四階Adams法求解，下式：

Vn+1=Vn+

(13)

其中：

(14)

(15)

將上述初始條件代入方程式(13)中即可求出每個時間點的機電耦合輸出電壓數值，得出機電耦合輸出電壓時程圖。

2 數學模型驗證

如圖2所示，計算區域網格用四邊形網格劃分，且隨圓柱整體運動；在圓柱振動過程中，壓縮和拉伸最外層網格高度，最外層網格可進行分裂和合并，避免動網格出現扭曲及變形的問題，提高了計算效率和計算精度。

圖2 網格示意圖Fig.2 Schematic diagram of mesh

在計算渦激振動時，動網格的處理是影響計算效率及計算精度的重要因素之一，因此本文將以單圓柱流機電耦合為基礎，其中的工況設置為：機電耦合固有圓頻率為12.67 rad/s，機電耦合阻尼比為0.190 3，采用疏密程度不同的網格進行網格收斂性驗證，將圓柱邊界網格數增加。結果如表2所示，表中給出了圓柱無量綱振幅(Ymax/D)，升力系數均方根值(Clrms)，阻力系數平均值(Cdmean)的對比結果；可以得到，不同網格下的數值計算結果非常接近，表明在當前網格密度下，數值計算結果已近趨于收斂，下文將以網格1作為基準。

表2 網格收斂性驗證結果Tab.2 Comparisons of numerical results with differentmesh resolutions

本文用上述模型及網格劃分方法，對低雷諾數Re=100的條件下，單圓柱渦激振動數值計算結果同及春寧等[15]的研究進行對比，結果如圖3所示。

圖3 無量綱振幅隨約化速度Ur的變化情況Fig.3 Variation of the non-dimensional amplitude with the reduced velocity

從圖3中可以看出：無量綱振幅Ymax/D的模擬結果與及春寧論文的數值結果吻合較好，由于本文的約化速度Ur(Ur=U∞/fnD)為3-12，兩數據間隔為1；及春寧的論文中Ur為2.4-12，兩數據間隔為1.2；約化速度點采取的不同造成了曲線的不同，本文的數據和變化趨勢和參考文獻都吻合的較好，因此可以驗證本文數值方法的正確性。

3 結果和討論

3.1 機電耦合阻尼和圓頻率

在流速為0.1 m/s時，表3為機電耦合圓頻率、機電耦合阻尼和無量綱振幅在不同外接負載下的情況。

表3不同外接負載下，機電耦合圓頻率、機電耦合阻尼和無量綱振幅

Tab.3Underdifferentexternalload,electromechanicalcouplingcircularfrequency,electromechanicalcouplingdampingandnondimensionalamplitude

外接負載R/Ω機電耦合圓頻率ωncoup機電耦合阻尼Ccoup無量綱振幅Ymax/D10412.570.08730.51210512.670.7570.33110616.2761.76270.24010716.8910.20290.49710816.8980.03160.526

表3中可以看出，隨著外接負載R的增大，機電耦合圓頻率也增大；而機電耦合阻尼呈現出先增大后減小的趨勢，在外接負載R=106Ω時，達到最大值；無量綱振幅呈現出先減小后增大的趨勢，在外接負載R=106Ω時，達到最小值；機電耦合阻尼越大，相對應的無量綱振幅越小。

3.2 機電耦合輸出電壓和輸出功率

在不同約化速度下，機電耦合輸出電壓隨外接負載的增大而增大，當外接負載106Ω5時，不同約化速度下的機電耦合輸出電壓相差不大，在外接負載R>107Ω時，系統具有較高的輸出電壓。

圖4 不同約化速度下，機電耦合輸出電壓隨外接 負載的變化情況

Fig.4 The change of output voltage of electromechanical coupling with external load under different reduced speed

圖5給出了不同約化速度下，機電耦合輸出功率隨外接負載的變化情況。機電耦合輸出功率隨外接負載都呈現出先增大后減小的趨勢，當Ur=4時，機電耦合輸出功率在外接負載R=105Ω達到了最大值，來流速度較小，對應的機電耦合輸出電壓遠小于其他約化速度對應的機電耦合輸出電壓；對于其他的約化速度來說，機電耦合輸出功率都在外接負載R=106Ω達到了最大值，此時由于分流阻尼效應，系統阻尼較大，無量綱振幅較小。

圖5 不同約化速度下，機電耦合輸出功率隨外接 負載的變化情況

Fig.5 The change of output power of electromechanical coupling with external load under different reduced speed

3.3 尾流干涉下，機電耦合輸出電壓

上游固定相同直徑圓柱，下游圓柱進行橫流向振動，兩圓柱之間的間距比為L=3D，下游圓柱渦激振動系統參數與上述單圓柱相同；研究尾流干涉下，下游圓柱機電耦合輸出電壓的變化情況，并與單圓柱機電耦合輸出電壓對比。圖6給出了單圓柱與尾流干涉下圓柱機電耦合輸出電壓隨外接負載的變化情況。在外接負載R=104Ω時，單圓柱渦激振動機電耦合輸出電壓要小于尾流干涉下的下游圓柱渦激振動機電耦合輸出電壓，兩者相差不大；對于其他外接負載的情況，單圓柱渦激振動機電耦合輸出電壓較大。尾流干涉下，在外接負載R=106Ω時，機電耦合輸出電壓有一個極小值，下游圓柱的無量綱振幅幾乎為零，因為此時機電耦合阻尼達到最大值；在外接負載R≥106Ω時，下游圓柱的機電耦合輸出電壓也迅速增長，因為機電耦合阻尼開始迅速減小。可得在約化速度Ur=5時，尾流干涉下的機電耦合阻尼表現出對下游圓柱振幅起明顯的抑制作用，造成了尾流干涉下的機電耦合輸出電壓比單圓柱的機電耦合輸出電壓小。

圖6 機電耦合輸出電壓隨外接負載的變化情況Fig.6 The change of output voltage of electromechanical coupling with external load

4 結 論

本文研究流機電三相耦合圓柱渦激振動能量獲取問題，使用矩陣法計算外接載荷對機電耦合阻尼和固有頻率的影響，用極限法求解機電耦合輸出電壓，分析不同約化速度下，機電耦合輸出電壓、功率隨外接負載的變化情況以及尾流干涉下，下游圓柱渦激振動機電耦合輸出電壓隨外接負載的變化情況。得到如下結論：

(1) 用極限法求解機電耦合輸出電壓，此方法適用于渦激振動各個區域，振動位移響應能否用表達式表示不會影響此方法的求解，此方法應用更加廣泛。

(2) 在不同約化速度下，機電耦合輸出電壓隨外接負載的增大而增大。

(3) 機電耦合輸出功率在外接負載R=106Ω達到了最大值，此時由于分流阻尼效應，系統阻尼較大，無量綱振幅較小。

(4) 在約化速度Ur=5時，尾流干涉下的機電耦合阻尼表現出對下游圓柱振幅起明顯的抑制作用，造成了尾流干涉下的機電耦合輸出電壓比單圓柱的機電耦合輸出電壓小。

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SolvingpiezoelectricenergyacquisitionproblemforvortexinducedvibrationwithAdamsmethod

YIN Zhongjun, ZHAO Jiusong，ZHANG Hang，HAN Tian

(School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Here, the energy acquisition problem of vortex-induced vibration in a flow-machine-electricity three-phase coupling flow around a cylinder was studied. The electro-mechanical coupled frequency and damping of the system were solved by using the matrix method, and the cylinder vibration response was obtained by solving the electromechanical coupled vibration equation with the software FLUENT. Then the electromechanical coupled output voltage and output power were solved with Adams method. The effects of external load on the electromechanical coupled output voltage and output power were investigated. Besides, the changes of electromechanical coupled output voltage with external load variation under wake interferences were examined. The results showed that the electromechanical coupled output voltage solved with Adams method has a wider frequency range; the electromechanical coupled output voltage is proportional to external load; the electromechanical coupled output power reaches its maximum value when the external load R=106 Ω; when the reduced velocity Ur is equal to 5, the electromechanical coupled damping has an obvious suppression effect on the vibration amplitude of the downstream cylinder under wake interferences.

vortex-induced vibration; output voltage; flow-machine-electricity coupling; Adams method

2016-09-08 修改稿收到日期：2016-11-10

尹忠俊 男，博士，教授，1962年8月

韓天 男，博士，副教授，1977年7月

O353.1； TK79

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.022