基于隔震結構Benchmark模型的復振型疊加反應譜方法

陳華霆， 譚 平， 彭凌云， 李志山， 周福霖

(1. 廣州大學 減震控制與結構安全國家重點實驗室(培育)， 廣州 510405； 2. 北京工業大學 建筑工程學院，北京 100022)

基于隔震結構Benchmark模型的復振型疊加反應譜方法

陳華霆1， 譚 平1， 彭凌云2， 李志山1， 周福霖1

(1. 廣州大學 減震控制與結構安全國家重點實驗室(培育)， 廣州 510405； 2. 北京工業大學 建筑工程學院，北京 100022)

隔震體系一般由隔震層和上部結構組成，隔震層包括隔震支座和耗能裝置，其阻尼特性與上部結構有較大差別。因此，隔震體系阻尼分布具有顯著的非比例特性，從而導致其阻尼矩陣不滿足無阻尼振型解耦的條件，故在隔震體系中經典的振型疊加反應譜方法已不適用?；陔S機振動理論，結合隔震結構的特點，推導了能夠考慮非比例阻尼特性的多維地震復振型疊加反應譜方法。針對目前常用的強迫解耦方法，對其誤差進行了探討，發現其阻止了隔震層與上部結構的能量傳遞，導致上部結構的地震響應偏小。基于隔震結構Benchmark模型對復振型疊加反應譜方法、強迫解耦假定下的反應譜方法、時程分析方法進行了對比，結果表明隔震層阻尼較大時，強迫解耦方法精度較差，并且無法反映隔震層阻尼引起的上部結構地震響應放大效應，復振型疊加反應譜方法計算精度較好，可充分反映隔震結構非比例阻尼的特點。

反應譜方法； 非比例阻尼； 復振型疊加方法； 強迫解耦方法； 隔震結構Benchmark模型

隔震結構可分為上部結構和隔震層兩部分，其阻尼特性相差較大，具有明顯的非比例阻尼特性，無阻尼振型不能對其運動方程解耦，因此傳統的與振型疊加相關的時程分析與反應譜方法已不再適用。目前較為常用的一種方法是忽略無阻尼振型坐標下廣義阻尼矩陣的非對角項，稱之為強迫解耦法[1]。這是一種近似方法，在阻尼非比例特性較強的情況下有較大誤差[2]。Traill-Nash等[3-4]提出在狀態空間中可利用復振型將運動方程解耦，從而得到與經典振型分解方法類似的復振型分解方法。在此基礎之上，Igusa等[5-9]研究了復振型分解反應譜方法，主要包括振型組合規則、相關系數表達式、相對速度反應譜、振型截斷的修正以及多維多點地震輸入下的振型組合等一系列問題，使之成為了與傳統振型疊加反應譜方法平行的一種抗震設計方法。

對于隔震結構，Tsai等[10]認為精確的復振型分解方法與強迫解耦方法的差別可以忽略不計，但作者的結論是基于一個5質點的平面“糖葫蘆串”模型，并且隔震層阻尼比僅為10%。通常情況下，隔震層的阻尼比在10%～20%的范圍[11-12]，一些高阻尼橡膠隔震支座在20%以上[13]，有時為了更保守的限制隔震層的位移甚至將阻尼比提高到50%的水平[14]。隨著隔震層阻尼的增大，強迫解耦方法引起的誤差也在增大。

本文基于Zhou給出的CCQC組合規則，結合隔震結構的特點將復振型分解反應譜方法應用到隔震結構中，同時推導了多維地震動輸入下的復振型組合規則。目前對于隔震結構的反應譜分析仍常用強迫解耦方法，為此對該方法的誤差進行了探討，并將其與復振型分解反應譜方法在隔震結構Benchmark模型上進行了對比。

1 隔震結構Benchmark模型

1.1 Benchmark模型簡介[15]

隔震結構Benchmark模型是一個標準的、被廣泛接受的隔震結構模型，為研究各類隔震方案、控制算法和分析方法提供了一個公共平臺，它由美國土木工程師協會(ASCE)與杜克大學Gavin、南加州大學Johnson提出。該模型取自美國加州洛杉磯的一個真實結構—USC醫院(The University of Southern California Teaching Hospital)如圖1所示，其建筑平面1到6層呈L形，長寬尺寸為82.4 m×54.3 m，7到8層呈矩形，長寬尺寸為82.4 m×29.8 m。上部結構(圖2(a))的支撐沿著建筑平面的周邊布置，由壓型鋼板和鋼格梁組成的結構支撐著所有的混凝土樓板，上部結構支撐在一個剛性混凝土基礎板上。所有樓板及基礎板平面內的剛度都可視為無窮大，考慮結構的平扭耦聯振動，上部各層和隔震層在質心處被定義成具有X方向、Y方向和扭轉方向3個自由度的質點，因此整個結構具有27個動力自由度。上部結構的各階振型阻尼比為5%，其對應的前三階自振周期分別為0.89 s、0.78 s、0.66 s，下部隔震層布置了92個位置固定的橡膠隔震支座，其分布如圖2((b))所示。

圖1 UCS醫院Fig.1 UCS hospital

(a)上部結構(b)隔震支座布置

圖2 隔震結構Benchmark模型

Fig.2 The isolated benchmark building

1.2 運動方程

隔震體系可分為上部結構和隔震層，通常隔震層剛度較大可將其假定為剛性隔板，記上部結構固定時的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為Ms,Cs和Ks，其相對隔震層的運動方程為

(1)

(2)

由于上部結構屬于經典阻尼體系，因此運動方程(1)可表達為解耦的無阻尼振型坐標下的運動方程形式

(3)

對于具有自由度數目為Nb的隔震層，其質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣用Mb、Cb和Kb表示，運動方程可表達為

(4)

式中，Rs3是隔震層關于地面運動的影響矩陣。

將式(3)與式(4)合并為矩陣形式

(5)

式中：

矩陣C*為仍為非經典阻尼，為利用復振型分解方法，需要將其表達為狀態方程的形式

(6)

式中：

(7)

式中，zi(t)為復振型坐標，由下式求得

(8)

(9)

(10)

將式(9)代入式(7)，并把上部結構的振型空間響應轉換到物理空間中，可到整個隔震結構位移

(11)

在工程實踐中，通常關心的反應量有層位移、層間位移以及剪力、彎矩等，這些反應量是與位移相關的，故任意地震反應量R(t)=νTu(t)，ν是響應轉換向量，與結構的幾何、物理屬性有關。利用式(11)，R(t)可進一步表示為

(12)

式中，

2 反應譜方法

(13)

(14)

(15)

式中，

式中：Rkx,Rky分別表示反應譜Dk(ω,ξ)與Vk(ω,ξ)作用在結構x,y方向下的最大響應，Rkxy為Rkx與Rky的交叉項。式(15)即多維地震作用下的反應譜復振型組合方法，可見式中除了已知的位移譜還需要提供速度譜，通?？捎蓚嗡俣茸V代替。若假設地震動為白噪聲過程，則相關系數有解析表達式

其中，r=ωi/ωj。

3 強迫解耦法誤差探討

記整個隔震體系的質量、阻尼、剛度矩陣分別為M,C和K，為了表述的方便，考慮一維地震作用下的運動方程

(16)

式中:u為N維相對地面的位移向量;r為影響向量。若將u在無阻尼振型空間Φ中展開，即u=Φq，則式(16)用振型運動方程表達

(17)

(18)

(19)

(20)

式中，隨著ξb的增大，耦合系數μi1與振型阻尼比ξi都會增大，而Qi(ω)的大小由μi1與ξi的相對大小決定。事實上，Qi(ω)是先減小后增大，也就是說當ξb增大到一定程度時，響應會增大。而這些振型響應是反映的上部結構，因此對于上部結構存在一個最優阻尼比ξb。

對于強迫解耦方法，由于其忽略了耦合項，振型位移幅值為

(21)

顯然，隨著ξb的增大，振型響應是不斷減小的。這與考慮耦合項對上部結構的影響是顯著不同的。只有非比例阻尼特性比較弱時，強迫解耦方法才能提供較好的結果，因為此時振型運動方程之間的能量傳遞較小。

4 算例及分析

基于Matlab平臺對隔震結構Benchmark模型進行地震響應分析。隔震層共92個支座，其中各個支座編號詳見文獻[15]，剛度屬性由表1所示，隔震支座的阻尼屬性通過整個隔震層阻尼比反映。在隔震層阻尼比為20%和40%的水平下整個隔震體系的動力特性見表2，其中EXACT表示復特征值方法，是精確解，FDM表示強迫解耦方法，可以看出兩種方法計算出的振型阻尼比與自振周期相差不大，這是由隔震結構本身的特點決定的。

表1 隔震支座剛度屬性Tab.1 Stiffness of the elastomeric bearings

表2 隔震體系周期與振型阻尼比Tab.2 Periods and modal damping ratios of the isolated system

對于地震響應分析采用了三種分析方法，即基于New-markβ積分的時程分析方法、強迫解耦方法(FDM)以及復振型分解反應譜方法(本文推薦方法)，其中時程分析方法作為精確解。地震動由Clough- Penzien功率譜模型[17]生成，其表達式為

(22)

式中:S0為強度因子;ωg、ξg為土層的自振圓頻率和阻尼比;ωf、ξf為第二過濾層的自振圓頻率和阻尼比。本文取ωg=5 rad/s、ωf=0.5 rad/s、ξg=0.2及ξf=0.6，對于S0的取值使生成的地震動最大峰值平均值為0.4 g，共生成的100組人工波。另外，與此功率譜對應的反應譜通過單自由度體系時程分析得到。

為了研究隔震層阻尼大小對結構地震反應的影響，取隔震層阻尼比為0～60%，基本涵蓋了所有可能的阻尼水平。計算結果如圖3～圖7所示，圖3、圖4表示地震動輸入方向對地震反應的影響(隔震層阻尼比固定為20%)，可以看出地震輸入方向對結果影響不大。圖5～圖7反映了隔震層阻尼比大小對頂層位移和底層層間位移的影響，顯然，隨著隔震層阻尼比的增

大強迫解耦方法誤差增大，且無法反映隔震層阻尼過大導致上部結構響應放大的效應，但當隔震層阻尼比在10%以下時具有良好的精度，這與Tsai和Kelly的研究結果是一致的。在所有阻尼水平下本文方法與精確解都非常接近，明顯比強迫解耦方法更有優勢。

5 結 論

本文經過理論推導和實例分析，得出以下幾個重要的結論：

(1) 基于隨機振動理論，結合隔震結構的特點，推導出了多維地震激勵輸入下的反應譜復振型組合規則，其假定和表達形式與傳統方法一致，易于設計人員掌握和工程應用。

(2) 復振型疊加反應譜方法能夠較好的預測隔震結構的地震響應，充分反映隔震體系的非經典阻尼特性，并能體現出較大隔震層阻尼會引起上部結構響應放大的特點。

(3) 強迫解耦方法忽略了隔震層與上部結構的相互作用，當隔震層阻尼比在10%以下時計算結果具有一定精度，但隨著隔震層阻尼的增大，計算誤差也隨之增大。此時，強迫解耦方法過高的估計上部結構的阻尼耗能作用，導致其地震響應偏小。

(a) X方向

(b) Y方向

圖3 不同地震動輸入角度下隔震層最大位移平均值

Fig.3 Mean maximum displacements of the isolation base with different incident angle

(a) X方向

(b) Y方向

圖4 不同地震動輸入角度下頂層最大位移平均值

Fig.4 Mean maximum displacements of the top storey with different incident angle

(a) X方向

(b) Y方向

圖5 不同隔震層阻尼比水平下隔震層最大位移平均值

Fig.5 Comparison of mean maximum displacements of the isolation base under different damping of the isolation system

(a) X方向

(b) Y方向圖6 不同隔震層阻尼比水平下頂層最大 位移平均值

Fig.6 Comparison of mean maximum displacements of the top storey under different damping of the isolation system

(a) X方向

(b) Y方向圖7 不同隔震層阻尼比水平下上部結構底層 最大層間位移平均值

Fig.7 Comparison of the mean maximum storey drifts of the bottom level in the superstructure under different damping of the isolation system

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Complexmodalshapessuperpositionresponsespectrumapproachbasedonvibrationisolationstructurebenchmarkmodel

CHEN Huating1, TAN Ping1, PENG Lingyun2, LI Zhishan1, ZHOU Fulin1

(1. State Key Lab for Seismic Reduction Control & Structural Safety (Cultivation), Guangzhou University, Guangzhou 510405, China; 2. College of Architecture and Civil Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100122, China)

A vibration isolation structure is composed of a superstructure and a vibration isolation layer including vibration isolation bearings and dampers with different damping features from those of superstructure, which possess typically non-proportional damping features. So, the damping matrix of this system can’t be decomposed via the system’s undamped modal shapes and the traditional modal shapes superposition response spectrum method is not applicable to this system. Here, based on the random vibration theory and considering features of vibration isolation structures, a multi-dimensional earthquake complex modal shapes superposition response spectrum method was proposed, it could consider non-proportional damping features. The error of the forced decoupling method, an approximate approach commonly used, was studied. It was found that the energy transfer between the superstructure and the vibration isolation layer is prevented with this method to cause smaller seismic responses of the superstructure. The vibration isolation benchmark model was taken as an example to implement the time-history method, the forced decoupling method and the proposed complex modal shapes superposition response spectrum method, respectively. Three results were compared, it was shown that the proposed method has a better accuracy and can fully reflect the non-proportional damping characteristics in vibration isolation systems; when the damping of the vibration isolation layer is larger, the forced decoupling approach has a worse accuracy, it can’t reflect the amplification effects of the superstructure seismic responses due to damping of the vibration isolation layer.

response spectrum method; non-proportional damping; complex modal shape superposition approach; forced decoupling method; base-isolated structure benchmark model

長江學者和創新團隊發展計劃(IRT13057)

2016-06-29 修改稿收到日期：2016-09-04

陳華霆 男，博士，1988年4月生

譚 平 男，教授，博士生導師，1973年9月生

TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.023